IV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ПРИМЕНЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Цель: исследовать возможность применения ограниченности и монотонности функций для решения уравнений.
Задачи:
Ознакомиться с понятием ограниченность функции
Исследовать применение ограниченности функции при решении уравнений
Ознакомиться с понятием монотонность функции
Исследовать применение монотонности функции при решении уравнений
Описать методы решения уравнений с применением свойств монотонности и ограниченности функций, проиллюстрировать их конкретными примерами.
Методы исследования:
Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы о монотонности и ограниченности функций.
Классификация уравнений по методам решения Анализ и обобщение методов решения нестандартных уравнений
Актуальность исследования обусловлена тем, что аналитические методы, обусловленные монотонностью и ограниченностью функций, позволят успешно решать нестандартные уравнения повышенного уровня сложности, включая комбинированные и уравнения с параметром.
Гипотеза Я предположила, что кроме наиболее известного графического способа решения нестандартных уравнений, существуют малоизвестные аналитические методы.
Глава I.
Применение свойства ограниченности функций
1.1. Определение ограниченности, примеры ограниченных функций.
Функция называется ограниченной сверху на множестве , если существует такое число М, что значение функции в любой точке не превосходит этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .
Функция называется ограниченной снизу на множестве , если существует такое число M, что значение функции в любой точке не меньше этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .
Ограниченная сверху и снизу на множестве Х функция называется ограниченной на этом множестве y=x2
Рассмотрим примеры ограниченных функций.
Квадратичная функция имеет верхнюю или нижнюю границу в зависимости от знака коэффициента а. Граница значений функции n= -
Ограниченной снизу является функция
Нижнюю и верхнюю границы имеют функции
1.2 Применение ограниченности функций в решении уравнений
Умение находить границы значений функции в дальнейшем я применила для решения нестандартных уравнений. В частности этим методом можно воспользоваться при решении некоторых комбинированных уравнений, левая и правая части которых принимают ограниченные значения
В ходе исследования я решила множество комбинированных уравнений графическим способом. В результате заметила, что достаточно часто область определения функций состоящих из левой и правой части уравнения имеют единственное общее значение или не пересекаются.
Например:
1)
2)
3)
Заметив данный факт, я пришла к выводу о том, что если из левой и правой части уравнения можно составить функции области значения, которых не пересекаются, то уравнение не имеет корней, как в примерах 2 и 3. Если же области значения функции пересекаются в одной точке, т. е E(f)E(g), то исходные уравнения можно решить системой:
Рассмотри примеры:
Пример 1.
Решить уравнение=4+(10x - 1)2
Решение
=4+(10x-1)2
=4+(10x-1)2
0x1 => f(x2)