V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Количественный анализ внутреннего строения Марса

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Архипов З.М. 1

---

1МБОУ «Лицей «Технический» имени С.П.Королева» г.о.Самара

Филиппов Ю.П. 1Архипова Ю.В. 2

---

1Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

2ООО "Леруа Мерлен Восток"

Работа в формате PDF

247.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителяСвидетельство руководителя

Введение

Одной из самых острых фундаментальных научных проблем XXI века является проблема существования внеземной жизни. Человечество с давних времен искало ответ на вопрос: есть ли жизнь на других планетах Солнечной системы и в окрестности других звезд? Однако и сегодня этот вопрос остается открытым [1].

Вероятность обнаружить примитивные формы жизни, подобные земной, увеличивается, если небесное тело имеет атмосферу и находится в пределах зоны обитаемости материнской звезды. Помимо Земли лишь Марс пребывает в зоне обитаемости Солнца, и потому космические агентства многих стран имеют программы по изучению Марса. Из-за низкого уровня содержания воды на поверхности Марса, уровень пригодности к жизни здесь является низким[2].

Исследования показывают, что в прошлом, жидкая вода была на поверхности Марса в значительных количествах, значит, и жизнь могла зародиться здесь. Сегодня, количество воды на поверхности Красной планеты и в ее атмосфере очень незначительно. Возможно, существенная часть запасов марсианской воды сохранилась в коре планеты, тогда в ее недрах возможна жизнь, подобная экстремофильным формам жизни на Земле [3,4].

Для того, чтобы найти здесь следы марсианской жизни нужны точные модели внутреннего строения планеты.

В настоящее время уже предложено множество моделей внутреннего строения Красной планеты, см. например [5,6,7,8], но между их прогнозами наблюдаются существенные различия. Кроме того, новые результаты [9] исследований гравитационного поля Марса, выполненные американскими учеными, явно указывают на пористую природу коры планеты и на ее аномально низкую плотность, что требует нового анализа внутреннего строения планеты.

В связи со сказанным, главной целью настоящей работы является построение простейшей модели внутреннего строения Марса и определение размеров и масс его основных зон.

§1. Формулировка трехзонной модели внутреннего строения Марса

Сформулируем в настоящем параграфе трёхзонную модель внутреннего строения Марса.

Тело Марса будем определять следующими тремя зонами (рис. 6): 1) силикатно – базальтовая кора, 2) мантия, 3) железо – сульфидное ядро.

Рис. 6. К определению внутреннего строения Марса.

Ядро планеты будет моделировать однородным шаром с массой MN , радиуса RNи плотностью ρN.

Мантию планеты будем моделировать однородным сферическим слоем массой M_М внутренним радиусом RN и внешним радиусом R_М, с плотностью ρ_М.

Кору будем представлять тонким однородным сферическим слоем толщины H и внутренним радиусом R_М и массой M_C, плотность вещества коры равно ρ_C, причем радиус планеты Rp удовлетворяет условию вида:

§2. Определение толщины коры Марса с использованием термодинамических свойств её основных пород

В настоящем параграфе будет решена задача об определении толщины коры Марса. Учтем, что согласно определению модели внутреннего строения Марса, толщина коры планеты должна быть намного меньше её радиуса, следовательно, небольшой участок коры можно рассматривать как плоский слой. Предельно максимальная толщина коры Марса должна определяться критическим давлением для данного вещества, при котором разрушаться межатомные связи и нарушается целостность макроскопических объемов вещества, которое сопровождается его превращением в жидкое вязкое вещество. За промежуток времени Δt на поверхность планеты, в результате падения метеороидов, оседает вещество массой Δm. При этом в основании коры давление превышает критическое значение, действующее на нижний тонкий слой коры (толщины Δh), что приводит к плавлению этого слоя в основании коры. Данный процесс сопровождается погружением нижней части коры в мантию. При этом её потенциальная энергия уменьшается. Согласно закону сохранения энергии работа силы тяжести равна количеству теплоты, необходимой для расплавления нижнего слоя коры:

Далее воспользуемся формулой для плотности коры:

Откуда следует выражение для массы всей коры и её тонкого слоя в основании:

Подставим выражения для m и Δm в уравнение (4):

Таким образом, толщина коры планеты определяется отношением удельной теплоты плавления вещества к ускорению свободного падения у поверхности планеты.

Согласно данным измерений гравитационного поля Марса, ускорение свободного падения у поверхности планеты составляет g=3.71 м/с² [10]. Согласно наблюдениям с орбиты и анализу коллекции марсианских метеоритов, значительная часть марсианской коры состоит из базальтовых пород, удельная теплота плавления которых заключена в интервале [8]:

Следовательно, мы можем определить интервал возможных значений толщины коры Марса и её среднее значение. Получаем:

Определим средне - арифметическое значение толщины коры:

Полученный результат уверенно согласуется с оценками американских учёных (см. таблицу 1), а также с более ранними оценками советских учёных (под руководством С.В. Козловской, Институт физики Земли АН СССР). С использованием формулы (6) была вычислена масса коры Марса, с учётом экспериментального факта – её большая часть состоит из базальтовых пород, плотность которых заключена в интервале =2400÷3100 кг/м³, а также результатов новой работы [9], согласно которой средняя массовая плотность коры равна =2568 кг/м³. Результаты вычислений представлены в таблице 1 Приложения 1. С учётом того, что масса всей планеты равна MP=6.42·10²³ кг нетрудно видеть, что масса коры от массы планеты составляет 4.9%. Следовательно, основной вклад в массу планеты дают ядро и мантия.

§3. Определение размеров и масс внутренних зон Марса

В настоящем параграфе мы определим радиусы внутренней и внешней границ мантии и ядра красной планеты.

Согласно принципу суперпозиции масс для составного тела, полная масса Марса есть сумма масс его основных зон. То есть

Согласно определению модели ядро планеты представлено однородным шаром с плотностью ρNи радиусом RN, следовательно, массу ядра мы можем представить как

Массу мантии можно представить в виде:

Массу коры планеты можно представить следующей формулой:

где – это средняя массовая плотность коры Марса, V_C – объём марсианской коры. Последний параметр можно представить в виде:

Радиус внешней границы мантии планеты:

Подставим формулу (18) в выражение (17). В результате получим:

В прошлом параграфе было получено значение средней толщины коры планеты, H=≈85 км, что намного меньше RP = 3390км [11] (RP=40). Пусть

Подставим значение в формулу (19). В итоге получаем

Подставим полученные результаты (12)-(20) в уравнение (11).

где = RN/RP. Поделим уравнение (21) на . Учтём далее, что средняя массовая плотность планеты представлена формулой:

В итоге уравнение (21) можно представить в виде:

Преобразуем последний результат

где B=ρP-ρ_C(1-(1-ɳ)³). Введём новую переменную

Тогда уравнение (24) можно записать в виде:

Рассмотрим задачу об определении полного момента инерции Марса. Как известно, момент инерции – аддитивная скалярная величина, следовательно, момент инерции Красной планеты можно представить в виде

где IN– это момент инерции ядра планеты, I_M– момент инерции мантии, I_C– момент инерции её коры. Из курса общей физики известно, что момент инерции однородного шара IS представляется в виде:

где M– это масса шара, а R– это радиус. Массу однородного шара можно представить в виде

R – это радиус шара, ρ – плотность шара. Следовательно, момент инерции шара мы можем представить в виде:

Последний результат для момента инерции шара представлен в терминах плотности и радиуса шара. Следовательно, момент инерции ядра планеты можно представить в виде

Наконец, момент инерции коры планеты можно представить в виде:

Далее воспользуемся формулой (18) для радиуса внешней границы мантии. Тогда момент инерции мантии и коры можно записать иначе

Последние выражения можно записать в виде

где x = RN/RP_, ɳ = H/RP= 1/40. Аналогичным образом преобразуем момент инерции коры

Подставим в уравнение (27) результаты (31), (35), (36), в результате получим уравнение

Поделим уравнение (37) на (8/15)RP⁵, учтём так же что IP можно представить в виде:

где k– коэффициент, получаемый по данным наблюдений [12], выполненных с помощью космических аппаратов, работающих на орбите Марса, MP– масса планеты, представляемая формулой,

следовательно, момент инерции планеты можно записать так

В итоге уравнение (37) с учётом (39), можно записать в виде:

Преобразуем последнее уравнение

Перепишем его иначе

где A=(5/2) k ρP -ρ_C(1-(1-ɳ)⁵).

Тогда уравнение (26) и (42), можно представить следующей системой:

Решим полученную систему уравнений относительно δρ_, ρ_M, для этого умножимпервое уравнение системы (43) на (1- ɳ)²

Вновь умножим первое уравнение системы (43) на ² и вычтем из второго. В результате получим

Таким образом, получены явные выражения для параметров δρ, ρ_M, которые зависят от одного свободного параметра x. Последний, очевидно, должен удовлетворять неравенству:

§4. Основные численные результаты модели и их анализ

В настоящем параграфе будет выполнен численный анализ основных результатов §2.3. На рис. А.1 приложения 2 представлен график зависимости δρ от параметра Из рисунка видно, что данная зависимость монотонно убывает на интервале от 0.3 до 0.76, а затем начинает возрастать, что указывает на переменный характер зависимости искомой разности.

На рис. А.2 приложения 2 представлена кривая зависимости средней массовой плотности мантии от параметра x. Очевидно, что данная зависимость является монотонно убывающей на всём интервале значений параметра x, причём на интервале от 0 до 0.62 данная зависимость является слабой. Поскольку мантия находится ближе к центру, нежели кора, то её средняя массовая плотность не может быть меньше средней массовой плотности коры – 2568 кг/м³. Это позволяет определить верхнее ограничение на параметр x, которое согласно рисунку равно x_max=0.863.

Как известно планета Земля является самой плотной планетой Земной группы. Согласно наиболее точной модели [7] внутреннего строения Земли плотность в центре её ядра не превосходит 12000 кг/м³, следовательно, плотность в центре ядра Красной планеты также не может быть больше указанного значения. На рис. А.3 приложения 2 представлена зависимость плотности ядра планеты от параметра x. С учётом указанного ограничения мы получаем нижнее ограничение на параметр x– x_min=.

Таким образом, мы получаем новые ограничения на параметр x:

В качестве итогового значения данного параметра примем среднее арифметическое предельных значений:

Полученный результат является близким по величине к значениям прогнозов предшественников. Например, в работе [13] данный параметр принимает значение 0.53. Используя значение , определяем по рис. А.2-А.3 средние массовые плотности ядра ρN и мантии ρ_M Марса. Итоговая сводка новых результатов настоящей работы представлена в таблице 2 Приложения 1.

Здесь радиус ядра RNбыл вычислен с использованием определения параметра x и его среднего значения. Радиус верхней границы мантии был вычислен по формуле (18) с использованием значения толщины марсианской коры, полученного в параграфе 2. Масса ядра была вычислена с использованием формул (12)-(13) и значений плотности ядра, его радиуса, полученных ранее. Масса мантии была вычислена по формулам (14)-(15) с использованием полученных значений для плотности мантии и её радиуса верхней границы.

Заключение

В работе представлен обзор современных представлений о природе Марса.

Сформулирована новая трёхзонная модель внутреннего строения Марса. Получена оценка для толщины коры Марса.

Решена задача об определении размеров и масс внутренних зон Марса. В частности построена замкнутая система двух линейных уравнений относительно плотности мантии, разности плотностей ядра и мантии и отношения радиуса ядра к радиусу планеты. Определен интервал возможных значений для последнего параметра, найдено среднее значение. Результаты близки к прогнозам предшественников.

Теоретическая значимость настоящей работы заключается в использовании уникальной схемы поиска основных параметров, характеризующих внутреннее строение планеты.

Практическая важность полученных результатов заключается в том, что новая завершённая модель внутреннего строения Марса может быть использована для определения внутренней структуры планет земной группы.

Приложение 1

Таблица 1. Основные результаты вычислений характеристик коры Марса

Таблица 2. Основные численные результаты новой модели внутреннего строения Марса

Приложение 2

Рис.А.3. Зависимость средней массовой плотности ядра ρN от параметра ( = RN/RP).

Список использованных источников

P. Davies Are We Alone in the Universe? – The New York Times. – 20 November 2013.

E.G. Jones; Ch.H. Lineweaver To What Extent Does Terrestrial Life "Follow The Water"? -- Astrobiology. – 2010. – 10(3). –P. 349–361.

E. Baldwin Lichen survives harsh Mars environment. -- Skymania News. – 27 April 2012.

J.-P. Jump, U. Kohler The adaptation potential of extremophiles to Martian surface conditions and its implication for the habitability of Mars. – European Geosciences Union. – 8 June 2012.

F. Sohl, T. Spohn The interior structure of Mars: Implications from SNC meteorites. – J. Geophys. Res. – 1997. – Т. 102. – E1 – С. 1613–1635.

W. M. Folkner, C. F. Yoder, D. N. Yuan, E. M. Standish, R. A. Preston. Interior Structure and Seasonal Mass Redistribution of Mars from Radio Tracking of Mars Pathfinder – Science. – 1997. – Т. 278. вып. 5344 — С. 1749-1752.

Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. Элементарное введение в планетную и спутниковую геофизику — М.: «Наука и образование», 2013. — 414 с.

Кузьмин Р. О., Галкин И. Н. Как устроен Марс. – М.: Знание, 1989. – 64с.

S. Goossens, T.J. Sabaka, A. Genova, E. Mazarico et al. Evidence for a low bulk crustal density for Mars from gravity and topography. Journal Geophysical Research Letters. -- 2017 . -- V. 44, Issue 15. -- P. 7686–7694.

Архипов З.М. «Марс-бросок» за миллионы километров от Земли // Старт в науку. – 2. – №4 – С.340-343

Куликовский П.Г. Справочник астронома любителя /Под ред. В.Г. Сурдина — М.: Эдиториал УРСС—2002. — 688с.

Folkner, W. M., et al. Interior Structure and Seasonal Mass Redistribution of Mars from Radio Tracking of Mars Pathfinder. -- Science. -- 1997. -- 278. -- P. 1749–1752.

Rivoldini A. et al. Geodesy constraints on the interior structure and composition of Mars.– Icarus.– 213(2). June 2011 – С. 451–472

Jacqué D. APS X-rays reveal secrets of Mars' core. Argonne National Laboratory. 2003. [Электронный ресурс]. URL: https://web.archive.org/web/20090221180506/http://cars9.uchicago.edu/gsecars/LVP/publication/News/X-rays%20reveal%20secrets%20of%20Mars%27%20core.htm.

Силкин Б.И. В мире множества лун/ Под ред. Е. Л. Рускол.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы -- 1982. — 208с.