V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

"Может ли граф решить задачу по физике?"

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Пыстина Е.В. 1

---

1МОУ СОШ №16

Рассказова С.А. 1

---

1МОУ СОШ №16

Работа в формате PDF

551.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение.

Всем известно, что слово «граф» означает дворянский титул, например, граф Лев Николаевич Толстой. А вот в математике графы — это замечательные математические объекты, с помощью которых можно решать математические, логические, экономические задачи. Математические графы с дворянским титулом «граф» связывает общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу. Примерами графов могут служить схема метрополитена (рис. 1),

Рис. 1

схемы железных и шоссейных дорог, структурные формулы молекул, планы выставок и т. д., т.е. схемы и планы без указания масштабов, показывающие лишь связи между принадлежащими им объектами. На рис. 2 изображен еще один граф — часть генеалогического древа Л.Н. Толстого. Здесь вершины — предки писателя, а ребра показывают родственные связи между ними.

Рис. 2

Теория графов в школьной программе почти не изучается, но широко применяется при решении олимпиадных задач.

Теория графов позволяет решать наиболее легким способом, наглядно многие логические задачи, которые способствуют развитию мышления и интеллекта. Применение теории графов в физике мало изучено, поэтому тема моей работы актуальна и интересна.

Предмет исследования: применение теории графов.

Объект исследования: задачи по физике 7-8 классов.

Гипотеза: Если теорию графов сблизить с практикой, то можно получить самые благотворные результаты.

Цель работы: изучить понятие графов, продемонстрировать решение задач по физике с помощью графов.

На основании поставленной цели, сформулируем задачи:

Изучить литературу по теме исследования и рассмотреть основные понятия теории графов.

Подобрать и решить задачи с использованием понятия графа.

История возникновения теории графов

Через город Кёнигсберг протекает река Преголя. Она делится на два рукава и огибает остров. В XVIII веке в городе было семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке 3.

Рис. 3

Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда началась прогулка.

Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако придумать решение никто не смог. Этот вопрос привлек внимание ученых разных стран.

Разрешить проблему удалось известному математику Леонарду Эйлеру. (1707-1783). (Рис. 4)

Рис. 4

Причем, он не только решил эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. Эйлер поступил следующим образом: он "сжал" сушу в точки, а мосты "вытянул" в линии. (Рис. 5)

Рис. 5

Математическое понятие граф и его элементы

В математике графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами, а соединяющие линии — ребрами. Направленная линия (со стрелкой) называется дугой. Линия, выходящая из некоторой вершины и входящая в неё же, называется петлей. (рис. 6)

Рис. 6

Слово «дерево» в теории графов означает граф, в котором нет циклов, то есть в котором нельзя из некоторой вершины пройти по нескольким различным ребрам и вернуться в ту же вершину. Генеалогическое дерево будет деревом и в смысле теории графов, если в этом семействе не было браков между родственниками. (Рис. 7)

Рис. 7

Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

Есть еще одно важное понятие, относящееся к графам – понятие связности. Граф называется связным, если из любые две его вершины можно соединить путем, т.е. непрерывной последовательностью ребер.

Применение теории графов при решении задач по физике

Как известно, решение любой задачи по физике включает в себя несколько этапов:

1) чтение и уяснение условия;

2) краткая запись условия задачи;

3) перевод данных значений физических величин в систему "Си";

4) анализ задачной ситуации;

5) создание математической модели решения задачи;

6) вычисления;

7) проверка ответа и анализ.

При анализе задачи может быть использован метод графов. Он позволяет лучше уяснить приём решения задачи, наглядно представить процесс анализа задачи, последовательность действий при её решении, помогает в создании математической модели решения задачи. Число необходимых для решения задачи уравнений равно числу вершин графа, в которые входят или из которых выходят не менее двух рёбер. По количеству вершин графа можно определить уровень сложности задачи.

Я подобрала три задачи из разных тем курса физики 7 и 8 классов, которые можно решить, используя метод графов.

Задача 1. Задача про корону царя Гиерона.

Предположив, что золотая корона царя Гиерона в воздухе весит 20 Н, а в воде 18,75 Н, вычислите плотность вещества короны.

Ответ: плотность вещества, из которого изготовлена корона царя Гиерона 16000 кг/м^3.

Задача 2.

Оцените, на какую глубину H погрузится в лёд цилиндрическое ведро с кипятком (100⁰С), когда вода остынет до 0⁰С. Температура льда 0⁰С. Высота ведра h. Потерями тепла и стенками ведра пренебречь.

Рис.9 Рис. 10

Ответ: глубина, на которую опустится ведро, равна 1,39h.

Задача 3.

Какой длины надо взять никелиновую проволоку с площадью поперечного сечения 0,84 мм², чтобы изготовить нагреватель напряжением 200 В, при помощи которого можно было бы нагреть воду объемом 2 л от 20 °С до кипения за 10 мин при КПД 80%?

Ответ: потребуется проводник длиной 69 метров.

Заключение.

Теория графов находится сейчас в самом расцвете. Она пересекается со многими разделами математических дисциплин, и не только математических. В ходе данной исследовательской работы я изучила основные положения теории графов и научилась составлять графы для решения задач по физике. Язык графов нагляден и понятен. Данный метод позволяет проанализировать и выбрать правильное решение задач, но применим только при условии отличного знания всех формул. В дальнейшем я буду развивать свои знания по теории графов, применять их на практике при изучении математики, информатики и физики.

Таким образом, я выяснила, что граф может решить задачу по физике!

Список литературы

Лукашик В.И., Иванова А.И. «Сборник задач по физике 7-9 классы», М.: Просвещение, 2012

Оре О. « Графы и их применение», М.: Издательство ЛКИ, 2008.

Перышкин А.В. «Физика 7 класс», М.: Дрофа, 2010

Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.