V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Исследование "квантованных" состояний нелинейных колебательных систем на примере аргументного маятника
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Уже в работе Релея «Теория звука» с единой точки зрения рассматриваются колебательные явления в механике, акустике и электрических системах.
Как связаны друг с другом явления, происходящие в природе? Каким образом можно верно отразить зависимости между величинами, описывающими эти явления? Классический аппарат естествознания был создан, прежде всего, на линейной основе: равным изменениям одной - независимой - величины должны отвечать аналогичные изменения другой – зависимой величины. И хотя примеров линейности нашего мира множество, вся природа не укладывается в рамки такой идеальной схемы. Вне этих рамок, ближе к реальности находится нелинейность. Современную физику можно именовать нелинейной. Использование нелинейных математических моделей позволяет объединить и описать большой круг разрозненных явлений, исследовать их глубинную сущность.
Впервые с проблемами, которые можно отнести к нелинейным колебаниям, столкнулись ученые, занимавшиеся небесной механикой. Серьезная потребность в создании теории нелинейных колебаний стала ощущаться в первой половине 20 века с развитием радиотехники, аэро- и гидродинамики. Позднее нелинейные системы стало необходимо описывать в квантовой электронике, химической кинетике, астрофизике, биологии и других областях.
Самыми простыми моделями для изучения колебательных процессов являются маятники. И если в школьном курсе физики мы изучали колебания математического и пружинного маятников, то процессы, происходящие в нелинейных колебательных системах, для нас представляют новую область знаний.
Нас заинтересовали нелинейные колебания как процесс изменения состояния системы, зависящий от начальных условий и внешнего воздействия. Цель нашей работы: исследовать условия возникновения различных состояний колебательной системы при изменении ее амплитуды и параметров внешнего воздействия. Объект исследования – механические колебания в нелинейной системе, предмет исследования – внутренние и внешние параметры, влияющие на процесс протекания колебаний в нелинейной системе.
Для реализации поставленной цели нам необходимо было решить ряд задач:
Изучить научную литературу по теме исследования;
Собрать установку для изучения колебаний нелинейного маятника;
Выполнить математические расчеты колебательной системы.
Исследовать «квантованные» состояния колебательной системы при изменении ее параметров и характеристик внешнего воздействия.
Обобщить результаты исследования и сделать выводы.
В процессе исследования нами выдвинута гипотеза: нелинейной колебательной системе присущи «квантованные» состояния, которые можно моделировать математическими и физическими методами. При выполнении исследования нами использовались следующие методы: наблюдение, анализ, эксперимент, моделирование.
Результаты исследования могут быть использованы на уроках физики, во внеурочной деятельности, при проведении занятий по профориентации в физико-математических классах.
Глава 1. Основные понятия теории нелинейных колебаний
- Исторический аспект развития теории нелинейных колебаний
Возникновение, развитие и становление теории нелинейных колебаний связывают с именем советского физика Леонида Исааковича Мандельштама и его ученика Александра Александровича Андронова. Мандельштам считал, что теория колебаний представляет собой «интернациональный язык», который будет понятен представителям различных областей науки: биологии, физики, химии, экономики.
Серьёзный интерес к нелинейным колебаниям появился у физиков тогда, когда радиотехника начала овладевать процессами, происходящими в устройствах, содержащих электронные лампы. Электрический ток в вакууме не подчиняется закону Ома. Поэтому в отличие от явлений, изучавшихся классической теорией колебаний, эти процессы, в том числе важнейший из них - генерация незатухающих колебаний (автоколебания), могут быть описаны лишь нелинейными дифференциальными уравнениями; отсюда и название - нелинейные колебания. Первые (частично неопубликованные) исследования Л.И. Мандельштама и Н.Д. Папалекси о самовозбуждении и об автоколебаниях лампового генератора были начаты ими ещё в Одессе в 1918-1920 гг. Примерно в те нее годы разработка теории автоколебаний была начата в ряде других стран1.
В 1968 года братья Данил и Яков Дубошинские проводят исследование в области нелинейных колебаний и вводят понятие «макрофизического квантового эффекта»2 - явления, в котором характерные особенности квантовой механики непосредственно проявляются в поведении макроскопических объектов. Исследования выявили поразительное сходство между поведением аргументно-связанных макроскопических осцилляторов и квантовым поведением атомов и других микрофизических объектов.
- Нелинейные колебательные системы
Имея конкретную колебательную систему, обычно можно указать область параметров и динамических переменных, в которой колебания с достаточной степенью точности можно считать линейными, и область, где они существенно нелинейные. Например, для шарика в лунке (рис.1), характерный масштаб амплитуды, отвечающий включению нелинейности, есть масштаб длины, на котором форма лунки становится заметно отличной от параболической.
Нелинейные системы – это колебательные системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов. Например, нелинейными являются механические системы, в которых модули упругости тел зависят от деформаций последних, или коэффициент трения между поверхностями тел зависит от относительной скорости этих тел (скорости скольжения), или, наконец, массы тел зависят от их скоростей, и т.д. Каждая из этих нелинейных связей приводит к тому, что дифференциальные уравнения, описывающие их поведение, оказываются нелинейными.
Нелинейные системы, как правило, имеют две степени свободы, одна из которых откликается на внешние высокочастотные воздействия, а другая — на низкочастотные (внутренние). За счет нелинейного взаимодействия между динамическими переменными возникают комбинационные частоты, так что колебания становятся квазипериодическими. В результате взаимодействия этих колебаний с колебаниями источника происходит перекачка энергии высокочастотного источника в энергию низкочастотных колебаний.
1.3.Аргументный маятник как колебательная система
«Аргументный» маятник (рис.2) - маятник с низким коэффициентом трения и небольшой собственной частотой колебаний (около 0,5 Гц), к свободному концу которого прикреплён маленький постоянный магнит. Маятник взаимодействует с магнитным полем, генерируемым узким соленоидом, расположенным под положением равновесия маятника и питаемого от сети переменного тока с высокой фиксированной частотой (обычно между 30 и 1000 Гц). К примечательным особенностям аргументного маятника относят следующие: в зависимости от начальных условий он может колебаться с рядом дискретных амплитуд; колебания с промежуточными амплитудами невозможны.
1.4.Понятие «квантованного состояния»
«Квантование» в физике, в узком смысле - деление какой-либо физической величины (энергии, момента импульса, электрического заряда и др.) на дискретные порции (кванты); в классической теории эти величины могут иметь только непрерывные значения3. Физические величины, которые могут принимать лишь дискретные (квантованные) значения, называются квантованными физическими величинами. Квантование физических величин в определенных условиях является принципиально новым, важнейшим результатом квантовой механики.
В своей работе под «квантованными состояниями» мы понимаем возможные дискретные стабильные состояния колеблющегося нелинейного маятника, характеризующиеся определенной частотой (периодом) и амплитудой. Понятие заимствовано из квантовой механики. Так с помощью квантовых чисел (n=1,2.3,…) описывают состояние электрона в атоме и характеризуют энергию электрона, его спин, форму электронного облака и его ориентацию в пространстве. При переходе атома из одного состояния в другое происходит перестройка электронного облака, то есть изменяются значения квантовых чисел, что сопровождается поглощением или испусканием атомом квантов энергии.
Глава 2. Исследование колебаний аргументного маятника 2.1. Подбор установки для исследования. Расчет собственных параметров системы 2.1.1. Расчет времени пролета магнита над катушкой
На первый взгляд, установка для исследования очень проста. Однако, получить процесс устойчивых колебаний не получалось достаточно долгое время. Скорее всего, трение в системе не позволяло получить требуемый результат. В итоге пришлось отказаться от жесткого стержня и подвесить магнит на прочную нить и тщательно просчитать нужный размер катушки. Особенность расположения магнита – полюс магнита перпендикулярен катушке.
Для выполнения расчета размера катушки первоначально установим, каким должно быть время пролета магнита над катушкой, чтобы при их взаимодействии изменяющаяся магнитная сила ускоряла движение маятника. Сравним время пролета магнита с периодом колебаний Т.
Если время прохождения маятником зоны взаимодействия τ0=Т равно периоду внешней силы, то сила, ускоряющая движение маятника, будет примерно равна силе, тормозящей маятник, и устойчивые колебания не возникнут.
Необходимо, чтобы большую часть времени магнитная сила ускоряла маятник. Следовательно, τ0>Т0 ; Т≈Т0 ; Т