V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Калькулятор перевода десятичных чисел (целых и с десятичной запятой) в системы счисления с основанием от 2 до 16

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Игнатьев М.А. 1

---

1МБОУ СШ №5

Романова  Е.И. 1

---

1МБОУ СШ №5

Работа в формате PDF

226.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В школьном курсе информатики в разделе «Кодирование информации. Системы счисления» рассматриваются способы перевода целых чисел из десятичной системы счисления в машинные системы счисления с основанием 2, 8, 16 и обратный – из двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной систем счисления в десятичную. Перевод дробных чисел, как более сложный, рассматривается факультативно. Программа Калькулятор из набора стандартных программ Windows предоставляет возможность взаимного перевода только целых чисел в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Цельюмоей работыстало написание расширенной программы перевода как целых, так и дробных чисел из десятичной системы счисления в системы счисления с основанием 2, 3, 4, …, 15, 16. Исходя из этого я поставил перед собой следующие задачи:

Разобраться в алгоритме перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления.

Разобраться в алгоритме перевода дробных десятичных чисел в другие системы счисления.

Написать программу перевода как дробных, так и целых чисел в другие системы счисления.

Протестировать программу, доказав правильность её работы.

План реализации проекта:

Найти достоверные источники с описанием перевода целых и дробных десятичных чисел в другие системы счисления и освоить их.

Изучить возможность реализации найденных алгоритмов на языке программирования Паскаль. Для этого повторить и изучить новые понятия языка программирования, необходимые для реализации поставленной задачи (подпрограммы-функции, стандартные процедуры и функции).

Разработать и отладить программу.

Составить инструкцию по работе с программой для заинтересованных пользователей.

Итогом исследования стала программа «Калькулятор перевода чисел (целых и с десятичной запятой) из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием от 2 до 16».

Программа была протестирована при написании и отладке. Кроме этого для проверки правильности её работы были привлечены обучающиеся 9, 11 классов МБОУ СОШ №5, которым я выражаю благодарность за проделанную работу.

Материалы и методика исследования

1. Математическая постановка задачи

В Интернете можно найти онлайн калькуляторы перевода чисел в системах счисления, в том числе и дробных [5], [6]. Но тексты программ не приведены. Мне было интересно самому разработать такую программу.

1.1 Алгоритм перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления

Математический способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления заключается в следующем [1, с.47]. Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления необходимо:

1) основание новой системы счисления записать в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2) последовательно выполнять деление сначала исходного числа, а затем получаемых целых частных от деления, на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим, частное, меньшее делителя (основания новой системы счисления);

3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) составить из остатков от деления число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка, т.е. справа налево.

Примеры:

Алфавит десятичной системы счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Алфавит восьмеричной системы счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Алфавит шестнадцатеричной системы счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

Алфавит двоичной системы счисления:

0, 1

Алфавит системы счисления с основанием четырнадцать:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13)

Алфавит системы счисления с основанием пять:

0, 1, 2, 3, 4

1.2 Алгоритм перевода правильной десятичной дроби

в другие системы счисления

Математический способ перевода правильной десятичнойдроби в другие системы счисления заключается в следующем [1, с.48]:

1) основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления;

2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа;

3) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Примеры:

1.3 Алгоритм перевода произвольных десятичных чисел,

содержащих целую и дробную части, в другие системы счисления

Математический способ перевода произвольных чисел [1, с.49], то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть числа, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

Примеры:

2. Реализация математических алгоритмов на языке программирования Паскаль

После вывода на дисплей функционального названия программы, запрашивается десятичное число и основание системы счисления для перевода. Программа реализует перевод только в системы счисления с основанием от 2 до 16, как самых востребованных. Это связано ещё и с задачей представления чисел в алфавитах, количество знаков в которых больше 10. В этом случае в машинных системах счисления все знаки, следующие за цифрой 9, обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.

В программе проводится проверка на корректность ввода основания системы счисления и самого числа на присутствие в нём символов, отличных от цифр и десятичной запятой.

Выполнение программы зацикливается с целью многократного повторения перевода чисел при однократном запуске программы. Выход из программы – стандартный способ закрытия окна.

Если число вводится с десятичной запятой, то появляется дополнительный запрос на ввод точности вычисления дробной части – количества знаков после запятой в результате. Если во ведённом числе присутствует десятичная запятая, то из него выделяются целая и дробная части и пересылаются в соответствующие подпрограммы-функции перевода целого числа (CCh) и дробной части числа (DCh). Результат перевода выводится на экран. Если во введённом числе отсутствует десятичная запятая, то вызывается только подпрограмма-функция перевода целого числа (CCh). Результат перевода выводится на экран.

В подпрограмму-функцию CCh перевода целой части числа в систему счисления с заданным основанием пересылаются: число – выделенная из исходного числа целая часть и основание системы счисления. Так как при переводе числа в систему счисления с основанием большим 10 в представлении числа могут появиться латинские буквы, результатом подпрограммы-функции CCh является строка, которая может состоять из цифр от 0 до 9 и латинских букв A, B, C, D, E, F. Алгоритм перевода целой части числа: если целая часть числа не равна нулю, то находится остаток от деления целой части на основание системы счисления, переводится в строковый тип и добавляется в начало итоговой строки. Затем дробная часть отсекается и вновь находится остаток от деления на основание системы счисления до тех пор, пока число больше нуля. Результат формируется в строковой переменной s из остатков, записанных в обратном порядке. Если длина строки равна нулю, то функции CCh присваивается значение ноль, в противном случае – значение строки s.

В подпрограмму-функцию DCh перевода дробной части числа в систему счисления с заданным основанием пересылаются: строка – выделенная из исходного числа дробная часть, основание системы счисления и количество знаков после десятичной запятой, которые необходимо вычислить и которые задают точность вычислений. Алгоритм перевода дробной части числа: определяется длина дробной части числа (количество цифр в дробной части) исходное число умножается на основание системы счисления, выделятся целая часть, которая является первой цифрой итогового числа. Полученная целая часть произведения, являющаяся цифрой числа в новой системе счисления, переводится в соответствии с алфавитом новой системы счисления. Этот процесс продолжается столько раз, сколько цифр нужно получить после запятой в итоговом числе. Результат формируется в строковой переменной b, значение которой присваивается функции DCh. Описание переменных и листинг программы представлены в Приложении 1 и Приложении 2.

В программе используются стандартные функции:

length(b) – определяет длину строки;

leftstr(ch,n) – возвращает первые n символов строки;

rightstr(ch,n) – возвращает последние n символов строки;

val(s,v,err) – преобразует строку в целое число;

inttostr(a) – преобразует целое число в строку;

3. Тестирование программы

Алгоритм перевода целых десятичных чисел в любую систему счисления стандартен, поэтому, в процессе разработки программы, было сделано предположение, что если программа корректно работает с системами счисления с основанием 2, 8 и 16, то она будет корректно работать и системами счисления с основанием 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15. Однако данное предположение требовало практического подтверждения.

Для тестирования разработанной программы было привлечено 25 учащихся 9 и 11 классов Средней школы № 5 города Кстово. Каждому из них было предложено выполнить задание по переводу 10 разных чисел, представленных в десятичной системе счисления в систему счисления указанную в задании (см. Приложение 3).

При проверке работоспособности программы у тестируемых возникли определённые трудности с проверкой правильности перевода дробной части чисел с десятичной запятой. Так как стандартное приложение ОС Windows «Калькулятор» (в режиме «Программист») позволяет производить перевод только целых чисел в системах счисления с основанием 10, 2, 8, 16, то его можно было использовать для проверки работы программы при переводе целых чисел. Поэтому, для перевода были использованы онлайн-калькуляторы, размещенные в сети Интернет [4], [5] и примеры из учебных пособий Угриновича Н.Д. [1], [2] (см. Приложение 3).

При несовпадении результатов с онлайн-калькуляторами были проведены ручные расчёты по математическому алгоритму, доказавшие правильность работы программы Калькулятор (см. Приложение 4).

Обзор литературы

Целью моей работы было написание расширенной программы перевода как целых, так и дробных чисел из десятичной системы счисления в системы счисления с основанием 2, 3, 4, …, 15, 16. В качестве источников необходимой информации были выбраны два пособия Угриновича Н.Д. [1], [2], так как они удовлетворяли основным требованиям:

содержали чёткий и понятный математический перевод десятичных чисел в другие системы счисления, причем как целых, так и содержащих дробную часть;

математические алгоритмы подтверждались большим количеством примеров с числами, содержащими дробную часть, которые можно было использовать для тестирования созданной программы Калькулятор (см. Приложение 3);

пособия были допущены министерством образования Российской Федерации в качестве учебников по информатике для учащихся 10-11 классов естественно-математического профиля общеобразовательных учреждений, что подтверждает надёжность приведённых в них алгоритмов.

Результаты и их обсуждение

При написании программы и её отладке были использованы тесты из пособий Угриновича Н.Д. [1], [2]. Они подтвердили правильность работы программы (см. Приложение 3).

Для дальнейшего тестирования программы «Калькулятор» были привлечены обучающимися 9 и 11 классов МБОУ СШ №5. Они работали по карточкам: сначала производился расчёт в программе «Калькулятор», а затем в двух онлайн-калькуляторах в Интернете [4], [5].

При тестировании в онлайн-калькуляторе PLANETCALC [4] по карточке №1 были несовпадения с результатами программы Калькулятор в трёх примерах (2, 6, 8), по карточке №3 – в одном примере (2). При тестировании по этим же карточкам в онлайн-калькуляторе [5] совпадение было полным. Ручной расчёт по математическому алгоритму [1], [2] также доказал правильность работы программы Калькулятор. Поэтому для расчётов по карточкам №2, №4, №5 и №6 использовался только онлайн-калькулятор umath.ru. Совпадение было во всех примерах.

Таким образом программа «Калькулятор» отлажена и работает правильно.

В ходе тестирования получены дополнительные результаты по онлайн-калькуляторам:

онлайн-калькулятор PLANETCALC [4] не может считаться надёжным, так как не во всех примерах давал верные результаты (см. Приложение 4);

онлайн-калькулятор umath.ru [5] во всех примерах давал верные результаты (см. Приложение 4). Поэтому по нему можно производить расчёты, хотя точность вычислений в нём не задаётся и одинакова для всех расчётов – 13 знаков после запятой.

Заключение

Для того, чтобы написать расширенную программу перевода как целых, так и дробных чисел из десятичной системы счисления в системы счисления с основанием 2, 3, 4, …, 15, 16 я выполнил следующее:

1) изучил математический алгоритм перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления [1], [2];

2) изучил математический алгоритмы перевода правильных десятичных дробей и смешанных десятичных чисел в другие системы счисления [1], [2];

3) реализовал математические алгоритмы перевода на языке программирования Паскаль. Используя встроенный справочник [3], я продолжил изучение Паскаля, использовав в своей программе процедуры-функции, чтобы разбить одну сложную задачу на несколько конкретных подзадач, познакомился с работой и применил в программе несколько новых стандартных функций;

4) с целью проверки правильности работы программы подобрал различные тесты из пособий Угриновича Н.Д. [1], [2] (см. Приложение 3) и разработал свои (см. Приложение 4), которые помогли выявить и исправить ошибки. Кроме этого для тестирования разработанной программы 25 учащихся 9, 10 и 11 классов Средней школы № 5 города Кстово выполнили задания по переводу 10 разных чисел, представленных в десятичной системе счисления, в систему счисления указанную в задании (см. Приложение 4), используя программу «Калькулятор» и онлайн-калькуляторы из Интернета;

5) составил инструкцию по работе с программой.

Итоги исследования: Итогом исследования стала программа «Калькулятор», переводящая числа (как целые, так и с дробной частью) из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием от 2 до 16 (см. Приложения 1, 2, 5).

Источники информации

Списоклитературных источников

Угринович Н.Д., Босова Л.Л., Михайлова Н.И. Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. – 394 с.

Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. – 511 с.

Язык программирования Паскаль – встроенный справочник программной среды PascalABC.NET

Список интернет-источников

Онлайн калькуляторы. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую – Сайт PLANETCALC. [Электронный ресурс]. URL: https://planetcalc.ru/862/ (Дата обращения 19.02.2018 г.)

Калькуляторы. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую – Сайт umath.ru Изучаем математику вместе. [Электронный ресурс]. URL: https://umath.ru/calc/perevod-drobnyx-chisel/ (Дата обращения 20.02.2018 г.)

Приложения

Приложение 1

Описание переменных

Главная программа

Переменные:

ch – строка, исходное десятичное число

l1 – целое, целая часть исходного десятичного числа

l2 – целое, дробная часть исходного десятичного числа

raz – целое, основание системы счисления для перевода

zn – целое, при переводе дробного числа, количество цифр после запятой в результате

r – целое, промежуточная константа для функции var, при успешном преобразовании строки в число r=0

Алгоритм:

1. На дисплей выводится название программы.

2. Выполнение программы зацикливается с целью многократного повторения перевода чисел при однократном запуске. Выход из программы – стандартный способ закрытия окна.

3. Программа запрашивает ввод числа и основание системы счисления для перевода. Если число вводится с десятичной запятой, то появляется дополнительный запрос на ввод точности вычисления дробной части – количества знаков после запятой в результате.

4. Если во ведённом числе присутствует десятичная запятая, то из него выделяются целая и дробная части и пересылаются в соответствующие подпрограммы-функции перевода целого числа и дробной части числа. Результат перевода выводится на экран. Если во ведённом числе отсутствует десятичная запятая, то вызывается только подпрограмма-функция перевода целого числа. Результат перевода выводится на экран.

Подпрограмма-функция перевода целого числа – CCh(a,n)

CCh – подпрограмма-функция, значение которой – строка (число, переведённое в систему счисления с основанием n)

Переменные:

a – целое, исходное десятичное число

n – целое, основание системы счисления для перевода

a1 – целое, целая часть числа при делении a на n

i – целое, количество цифр в итоговом числе в системе счисления с основанием n

i1 – целое, счётчик цикла

s – строка, результат перевода целого числа в систему счисления с основанием n (состоит из остатков от деления числа a1 на n)

Алгоритм:

Исходное число делится на основание системы счисления пока оно больше нуля. Остатки от деления записываются в строку s в обратном порядке. Если длина строки равна нулю, то функции CCh присваивается значение ноль, в противном случае – значение строки s.

Подпрограмма-функция перевода дробной части числа – DCh(a,raz,zn)

DCh – Подпрограмма-функция, значение которой – строка (дробная часть переведенного числа)

Переменные:

а - дробная часть исходного числа

raz – Основание системы счисления для перевода

zn – Количество знаков после запятой у переведённого числа

a1 – целое, дробная часть для вычислений

i – целое, счетчик цикла

i2 – целое, число для перевода

l – целое, длина дробной части

b – строка, итоговое значение числа

Алгоритм:

Исходное число умножается на основание системы счисления, выделятся целая часть, которая является первой цифрой итогового числа. Этот процесс продолжается столько раз, сколько цифр нужно получить после запятой в итоговом числе.

Приложение 2

Листинг программы

varch: string;

l1,l2,raz,zn,r1,r2,r3:integer;

l3:string;

function DCh(a:string;raz,zn:integer):string;

var

a1,i,i2,l,err:integer;

b:string;

begin

l:=length(a);

b:='';

i2:=10;

for i:=2 to l do

begin

i2:=i2 * 10;

end;

val(a,a1,err);

for i:=1 to zn do

begin

case ((a1*raz)div i2) of

0..9: b:=b+inttostr((a1*raz)div i2);

10: b:=b+'A';

11: b:=b+'B';

12: b:=b+'C';

13: b:=b+'D';

14: b:=b+'E';

15: b:=b+'F';

end;

a1:=(a1*raz)mod i2;

end;

DCh:=b;

end;

function CCh(a,n:integer):string;

var

a1,i,i1:integer;

s:string;

begin

a1:=a;

i:=0;

s:='';

while a1>0 do

begin

i:=i+1;

case a1 mod nof

0..9: s:=inttostr(a1 mod n)+s;

10: s:='A'+s;

11: s:='B'+s;

12: s:='C'+s;

13: s:='D'+s;

14: s:='E'+s;

15: s:='F'+s;

end;

a1:=a1 div n;

end;

if s''

then CCh:=s

else CCh:='0';

end;

begin

writeln('Программа перевода из 10-чной системы счисления');

writeln('в систему счисления от 2-чной до 16-чной.');

writeln;

while 2>1 do

begin

write('Введите число: ');

repeat

readln(ch);

if pos(',',ch)0

then

begin

r3:=0;

val(leftstr(ch,pos(',',ch)-1),l1,r1);

val(rightstr(ch,length(ch)-pos(',',ch)),l2,r2);

end

else

begin

r1:=0;

r2:=0;

val(ch,l1,r3);

end;

if ((r10) or (r20) or (r30)) then write('Введите корректное число: ');

until (r1=0) and (r2=0) and (r3=0);

write('Введите основание системы счисления: ');

readln(raz);

if (raz16)

then while (raz16) do

begin

write('Введите корректное основание системы счисления: ');

readln(raz);

end;

if pos(',',ch)0

then begin

write('Задайте точность вычислений - введите число знаков после запятой: ');

readln(zn);

val(leftstr(ch,pos(',',ch)-1),l1,r1);

l3:=rightstr(ch,length(ch)-pos(',',ch));

writeln('Результат: ',CCh(l1,raz),',',DCh(l3,raz,zn))

end

else begin

val(ch,l1,r1);

writeln('Результат: ',CCh(l1,raz));

end;

writeln('Для продолжения нажимите ');

readln;

end;

end.

Приложение 3

Задания для тестирования программы из пособий Угриновича Н.Д.

Примеры перевода чисел для систем счисления с основанием 2, 8 и 16

Приложение 4

Образцы заданий для тестирования программы

Задание.

Используя предложенную программу «Калькулятор» осуществите перевод десятичных чисел в указанную систему счисления.

Провести проверку правильности перевода чисел с помощью онлайн калькуляторов: https://planetcalc.ru/862/ и https://umath.ru/calc/perevod-drobnyx-chisel/

Скриншот окна программы при тестировании

Карточка №1

Карточка №1

Карточка №2

Карточка №3

Карточка №3

Карточка №4

Карточка №5

Карточка №6

Приложение 5

Инструкция по работе с программой «Калькулятор»

Программа предназначена для перевода десятичных чисел (целых и с десятичной запятой) в системы счисления с основанием 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

Если нужно перевести целые числа, вводятся два числа: исходное целое десятичное число и основание системы счисления для перевода.

При переводе смешанных чисел (содержащих целую и дробную части) вводятся три числа: исходное число с десятичной запятой, основание системы счисления для перевода и число, указывающее точность вычисления дробной части десятичного числа (сколько цифр после запятой должно быть выведено на экран).

При однократном запуске программы можно переводить любое количество чисел. Для перехода к очередному расчёту – нажать клавишу [Enter] на клавиатуре.

Для выхода из программы необходимо воспользоваться кнопкой рабочего окна программы «Закрыть».

Программа проверяет правильность ввода данных. При неверном наборе чисел появляется подсказка о необходимости повторного корректного ввода.