V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение уравнений средствами приложения Microsoft Excel
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Постановка проблемы и актуальность исследования. Школьный курс математики, начиная с начальной ступени и до 11 класса, включает в себя большое количество способов решения различных видов уравнений и систем уравнений. Некоторые уравнения решаются нестандартными методами, которые применить может небольшая часть выпускников школ. Анализ изученной литературы показал, что уравнения и системы уравнений встречаются в различных отраслях промышленности и экономики. И как правило, эти уравнения выглядят не так привлекательно, как школьные, и имеют нецелые решения. Чтобы автоматизировать процесс решения уравнений и систем уравнений, мы решили найти способы с помощью электронных таблиц. Электронные таблицы широко используются в профессиональной деятельности специалистов самых разных областей науки, производства и сферы услуг, в различных государственных и коммерческих организациях и фирмах. Кроме того, электронные таблицы могут быть использованы при решении бытовых задач, таких, как создание домашней картотеки книг или компакт-дисков, ведение учета коммунальных платежей или домашнего бюджета и т.п.
К настоящему времени существует достаточное количество различных учебных материалов, где подробно раскрываются способы решения производственных задач с помощью уравнений и систем уравнений [1, 3, 7, 8, 9], а также методы их решения с помощью электронных таблиц [2, 4, 5, 7-9].
Тем не менее, в ходе исследования было обнаружено, что недостаточно исследованы способы решения уравнений высших степеней, а также уравнений, имеющих бесконечное множество решений (например, тригонометрических).
Актуальность обозначенной проблемы определила выбор темы исследования: «Решение уравнений средствами приложения Microsoft Excel».
Цель работы: исследовать инструменты приложения Microsoft Excel для решения уравнений разного порядка.
Объект исследования: приложение Microsoft Excel.
Предмет исследования: применение инструментов ПОДБОР ПАРАМЕТРА и ПОИСК РЕШЕНИЯ приложения Microsoft Excel при решении уравнений.
Гипотеза исследования: использование инструментов приложения MS Excel ПОДБОР ПАРАМЕТРА и ПОИСК РЕШЕНИЯ значительно упрощает процесс решения уравнений различного вида.
Задачи исследования:
Изучить литературу по применению уравнений при решении производственных задач.
Изучить литературу по использованию приложения Microsoft Excel в практической деятельности.
Рассмотреть способы решения уравнений с помощью инструментов ПОДБОР ПАРАМЕТРА и ПОИСК РЕШЕНИЯ приложения Microsoft Excel.
Создать видеокурсы по решению различных видов уравнений.
Теоретическая значимость: проведен анализ ряда источников по возможностям приложения Microsoft Excel при решении уравнений разного порядка.
Практическая значимость: предложены способы решения уравнений высших порядков и тригонометрических уравнений с помощью приложения MS Excel, систематизирован и обобщен материал в форме видеокурсов.
Методы исследования: теоретический анализ и обобщение научной литературы и материалов сети Интернет; проведение экспериментов по решению уравнений различного вида с помощью инструментов Подбор параметра и Поиск решения; создание видеокурсов по использованию инструментов Подбор параметра и Поиск решения при решении различных уравнений.
УРАВНЕНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ ОТРАСЛЯХ
В современном обществе уравнения нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и производства, а также практически во всех новейших технологиях. Конечно, математика, как и любая другая наука, не стоит на месте. Уже выработано достаточно способов решения различных видов уравнений различных степеней. Появление компьютеров и стремительное развитие информационных технологий позволило в несколько раз упростить задачи нахождения корней различных уравнений. В данной главе, в качестве примеров, нами представлены виды уравнений, решаемых в некоторых отраслях хозяйства и производства.
1.1. Уравнения при решении экономических задач
Пример 1.1.1. Рассчитать, с какого возраста необходимо уплачивать по 1000 рублей в качестве дополнительных страховых взносов, чтобы получить прибавку к пенсии в 2000 рублей за счет участия в государственной программе софинансирования?
Входные данные:
ежемесячные отчисления – 1000 руб.;
период уплаты дополнительных страховых взносов – расчетная величина (пенсионный возраст (в примере – для мужчины) минус возраст участника программы на момент вступления);
пенсионные накопления – расчетная величина (накопленная за период участником сумма, увеличенная государством в 2 раза;
ожидаемый период выплаты трудовой пенсии – 228 мес. (19 лет);
желаемая прибавка к пенсии – 2000 руб.
пенсионные накопления – расчетная величина (накопленная за период участником сумма, увеличенная государством в 2 раза).
Пусть х – возраст, с которого необходимо производить отчисления. Тогда прибавка к пенсии (в размере 2000 рублей) будет рассчитана по формуле:
Получили линейное уравнение, в котором необходимо найти параметр x.
Пример 1.1.2. Пусть дана структура цены договора: собственные расходы, прибыль, НДС. Известно, что собственные расходы составляют 150 000,00 руб., НДС 18%, а целевая стоимость договора 200 000,00 руб. Необходимо подобрать такое значение прибыли, при которой стоимость договора равна Целевой (то есть Расхождение должно равняться нулю) [8].
Пусть х – прибыль. Тогда цену продукции будем рассчитывать как сумму Собственных расходов и Прибыли: 150000+х. НДС от цены продукции будет равен (150000+х)*0,18. Стоимость договора вычислим как сумму Цены продукции и НДС: (150000+х)+ (150000+х)*0,18=(150000+х)*1,18.
Итак, получили уравнение (150000+х)*1,18=2000.
Пример 1.1.3., решение которого также сводится к линейному уравнению. Определить максимальную сумму кредита, которую мы можем себе позволить взять в банке, если известно, что ежемесячно мы можем выплачивать сумму в размере 1 800,00 руб. Известны также процентная ставка по кредиту и срок, на который мы хотим взять кредит (количество месяцев) [8].
Пример 1.1.4, решение которого сводится к системе линейных уравнений. Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части - шар, колокольчик, мишура [9].
В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в таблице.
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1, x2, x3 и x4 штук;
2) провести подсчеты для значений x1 = 500, x2 = 400, x3 = 300 и x4=200.
Для решения данной задачи необходимо найти корни системы линейных уравнений:
y1 = 5· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4) = 25x1 + 30x2 + 40x3 + 50x4
y2 = 4· (3x1 + 4x2 + 6x3) = 12x1 + 16x2 + 24x3
y3 = 3· (5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4) + 75· (3x2 + 5x3 + 8x4) = 15x1 + 243x2 + 399x3 + 630x4
Уравнения в электроэнергетике
Рассмотрим применение уравнений в электроэнергетике [3, С. 11].
Пример 1.2.1. Приведена схема электрической цепи постоянного тока. Найти токи в ветвях цепи.
Для решения данной задачи необходимо составить и решить систему линейных уравнений на основе законов Кирхгофа (здесь не рассматривается процесс составления системы уравнений):
Уравнения в транспортной отрасли
Пример 1.3.1. Для решения задач проектирования транспортных сооружений и принятия обоснованных решений при планировании, контроле и управлении технологическими процессами дорожного строительства необходимо выявлять взаимосвязи между параметрами, определяющими ход этих процессов, и представлять их в количественной форме – в виде математических моделей. В связи с этим на практике часто применяется регрессионный анализ.
Регрессионный анализ – метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств путем выявления взаимосвязи между зависимой переменной y и одной или несколькими независимыми переменными x1, x2, ..., xn.
Независимые переменные иначе называют факторами, аргументами, или регрессорами, а зависимые переменные – функциями, откликами, результирующими, объясняемыми.
На практике уравнение регрессии чаще всего подбирается в виде линейной и нелинейной функции (наиболее простые – гипербола, экспонента и парабола) [1, С.7-8].
Пример 1.3.2. Транспортная задача
Требуется составить план перевозок, при котором все запасы (строительных материалов или конструкций) поставщиков (АБЗ, ЦБЗ, карьеры) будут вывезены, спрос потребителей (объекты дорожных работ, участки) полностью удовлетворен, и при этом суммарные транспортные издержки будут минимальными (стоимость перевозок, сроки, другие ресурсы).
При решении данной задачи составляется система линейных уравнений относительно xij – количества груза (материалов), перевозимого из пункта i в пункт j [1, С. 14].
Уравнения в строительной отрасли
Пример 1.4.1. Вычислить стрелу прогиба ( в середине) прямоугольной пластины. Прямоугольная пластина загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q. Пластина защемлена по контуру, края неподвижны [7].
Стрела прогиба вычисляется как корень нелинейного уравнения на интервале [0; 0,05]:
Пример 1.4.2. Определить критическую силу для стальной колонны двутаврового сечения, если известны длина колонны L, модуль упругости стали Е, коэффициент жесткости упругой опоры С, момент инерции I.
Критическая сила вычисляется по формуле:
где – коэффициент приведения длины колонны, который определяется по формуле
Параметр находится из решения уравнения
на интервале [3,2; 4,6].
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНСТРУМЕНТА ПОДБОР ПАРАМЕТРА ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ
При решении производственных задач достаточно часто возникает проблема подбора параметра. Например, в экономических расчётах применяются алгоритмы расчёта стоимости товара, расчёта фонда заработной платы, прибыли от деятельности предприятия, которые, в свою очередь, зависят от множества изменяемых и неизменяемых факторов [4, 5].
Пример 2.1. Итак, сначала, с целью изучения принципа работы надстройки ПОДБОР ПАРАМЕТРА, рассмотрим решение линейного уравнения вида Ах+В=С с помощью приложения Microsoft Excel.
В ячейку В3 введем любое первоначальное значение переменной x, например, 0, а в ячейку С1 введем левую часть уравнения в виде формулы: =B1*B3+B2. Вызовем диалоговое окно ПОДБОР ПАРАМЕТРА с помощью команд Данные – Анализ «что-если» - Подбор параметра. В этом окне в поле Установить в ячейке введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение – ожидаемый результат (т.е. 7), в поле Изменяя значение в ячейке – ссылку на ячейку, в которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).
Рисунок 1 – Диалоговое окно ПОДБОР ПАРМЕТРА
После нажатия кнопки ОК, получим результат.
Рисунок 2 – Решение линейного уравнения с помощью диалогового окна ПОДБОР ПАРАМЕТРА
Известно, что инструмент Подбор параметра в основном используется при решении линейного уравнения. Если пытаться, например, решать с помощью Подбора параметра квадратное уравнение (которое имеет два корня), то инструмент найдет решение, но только одно, то, которое ближе к начальному значению.
Пример 2.2. Рассмотрим пример решения квадратного уравнения. Найдем корни квадратного уравнения . Сначала создадим первоначальную таблицу.
Рисунок 3 – Первоначальные данные квадратного уравнения
Зададим любое первоначальное значение х, например, 0. Далее воспользуемся инструментом ПОДБОР ПАРАМЕТРА.
Получили результат: 2.
Второй корень найдем, задав другое начальное значение, например, 5. И проделаем те же действия.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАДСТРОЙКИ ПОИСК РЕШЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ
Пример 3.1. Рассмотрим решение квадратного уравнения (с предыдущей главы) с помощью инструмента ПОИСК РЕШЕНИЯ.
Введем начальные данные
Рисунок 4 – Первоначальные данные квадратного уравнения
Вызываем инструмент ПОИК РЕШЕНИЯ, выбрав команду ДАННЫЕ.
Рисунок 5 – Надстройка ПОИСК РЕШЕНИЯ при решении квадратного уравнения
В поле «Установить целевую ячейку» выбираем ячейку с формулой квадратного уравнения С1. Далее установим переключатель в положение «Равной значению 0». В поле «Изменяя ячейки» добавим ячейку В4. Нажмем кнопку «Выполнить». Получили решение.
Рисунок 6 – Решение квадратного уравнения, найденного с помощью надстройки ПОИСК РЕШЕНИЯ
При решении данным способом также получили только один корень.
Для нахождения второго корня зададим другое начальное значение переменной х, например, равно 1.
Однако, на любом производстве чаще всего приходится сталкиваться с уравнениями высших степеней.
Пример 3.2. Рассмотрим уравнение пятой степени –3x5+x3+2x2–3x–3=0.
Прежде чем находить корни уравнения (а у этого уравнения должно быть максимум 5 корней), выясним, в каких интервалах содержатся эти корни. Воспользуемся графиком функции, с помощью которого мы наглядно увидим промежутки расположения корней уравнения.
Построим график функции. Для этого в ячейке А1 введем «х», в ячейке В1 введем «у». Значения х внесем в ячейки А2:А22, значения у будем рассчитывать в ячейках В2:В22 соответственно.
Рисунок 7 – Формула уравнения пятой степени
Известно, что корень уравнения (уравнение записано в виде f(x)=0) – это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. В графическом представлении – это может быть точка пересечения или касания графика функции с осью абсцисс.
Построим график функции.
Рисунок 8 – График функции на промежутке [–10; 10] с шагом 1
График функции показывает, что уравнение, имеет единственный действительный корень (остальные – комплексные), который находится в промежутке [–1; 0].
Найдем его с помощью инструмента ПОИСК РЕШЕНИЯ. Для этого в таблице выберем точку, близкую к решению уравнения, например, –0,7.
Рисунок 9 – Нахождение корня уравнения с помощью надстройки
ПОИСК РЕШЕНИЯ
Установим с помощью команды «Формат ячеек» относительную погрешность 0,0001.
Итак, решением уравнения является х≈ –0,668.
Таким образом, получили алгоритм решения уравнения высшей степени:
поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню;
уточнение корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).
Тригонометрические уравнения
Особенность тригонометрических уравнений заключается в том, что они имеют бесконечно много решений, и все решения отличаются между собой на определенный период.
Пример решения одного из тригонометрических уравнений подробно рассмотрен в Приложении 1.
В Приложении 2 также рассмотрен пример нахождения решений системы линейных уравнений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проведенной исследовательской работы было выявлено, что решение различных уравнений и систем уравнений применяется во многих отраслях экономики и промышленности.
В ходе исследований мы научились находить корни уравнений и систем линейных уравнений с помощью инструментов ПОИСК РЕШЕНИЯ и ПОДБОР ПАРАМЕТРА приложения Microsoft Excel, создали видеокурсы по решению уравнений с помощью приложения Microsoft Excel.
Таким образом, поставленные цель и задачи данного исследования были выполнены.
Кроме того, экспериментальным путём, было выявлено, что использование инструментов ПОИСК РЕШЕНИЯ и ПОДБОР ПАРАМЕТРА приложения Microsoft Excel значительно упрощает процесс нахождения корней уравнений и систем уравнений. Таким образом, поставленная в начале исследования гипотеза подтвердилась.
Результаты выполненной работы позволят использовать возможности изученных инструментов в будущей профессиональной деятельности, особенно если выполнение задания будет содержать сложные расчеты.
Исследование может быть полезно не только учащимся в учебной деятельности, но и специалистам различных отраслей экономики и промышленности, занимающимся проектированием объектов.
Результаты проведенной работы могут быть использованы при изучении других возможностей приложения Microsoft Excel.
На этом исследование не закончено. Мы планируем продолжить рассмотреть способы решения систем нелинейных уравнений с помощью Microsoft Excel.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ:
Богомолов, С.В. Экономико-математические методы проектирования транспортных сооружений [Электронный ресурс] : методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе для студентов специальности 270205 «Автомобильные дороги и аэродромы» всех форм обучения / С.В. Богомолов. – Электрон. дан. – Кемерово: КуГТУ, 2013. – 30 с.
Информатика для экономистов. Практикум: учебное пособие для бакалавров / под ред. В.П. Полякова, В.П. Косарева. – М.: Издательство Юрайт, 2013. – 343 с.
Митрофанов, С.В. Использование системы MathCAD при решении задач электротехники и электромеханики : методические указания к выполнению РГЗ по дисциплине «Прикладные задачи программирования» / С.В. Митрофанов, А.С. Падеев. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2005. – 40 с.
Репкин, Д.А. Применение MS EXCEL для решения прикладных задач в экономике: учебное пособие для студентов направления 080100 «Экономика» всех профилей подготовки, всех форм обучения / Д.А. Репкин. - Киров: ПРИП ФГБОУ ВПО «ВятГУ», 2012. [Электронный ресурс]
Федулов, С.В. Использование MS Excel в финансовых вычислениях : учеб.-метод. пособие / С.В. Федулов. – Екатеринбург: Изд-во УрГУПС, 2013. – 94 с.
Численные методы. Часть 1: Методические указания к лабораторным и самостоятельным работам по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика» / Сост. Ф.Г. Ахмадиев, Ф.Г. Габбасов, Р.Ф. Гизяятов, И.В. Маланичев. – Казань: Изд-во казан. гос. архитект-строит. ун-та, 2013 – 34 с.
Решение нелинейных уравнений в Excel https://www.altstu.ru/media/f/lr3nelin-uravn.pdf – сайт Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова
http://excel2.ru/articles/podbor-parametra-v-ms-excel – сайт Excel2.ru
https://knowledge.allbest.ru/mathematics/3c0b65625b3ad68b4c43a89421306d37_0.html – сайт allbest
Приложение 1
Решение тригонометрического уравнения с помощью инструмента ПОИСК РЕШЕНИЯ
Найдем решения уравнения .
Решать данное уравнение будем аналогично примеру 3.1. То есть:
Протабулируем функцию и построим ее график;
Уточним корни уравнения.
Протабулируем функцию на промежутке [-10; 10]. Сначала в ячейках А2:А22 зададим значения аргумента x и найдем значения функции в данных точках, которые запишем в ячейки В2:В22.
В ячейке В2 укажем формулу: =A2*TAN(A2)-1
Рисунок 1 – Таблица значений аргумента и функции
на отрезке [-10; 10] с шагом 1
Построим график функции на данном отрезке.
Рисунок 2 – График заданной тригонометрической фнкции
Проанализировав график и таблицу значений функции, видим, что корни уравнения расположены в промежутках (–10; –9), (–7; –6); (–4; –3) и т.п., то есть на тех промежутках, где функция меняет знак и пересекает ось Ох.
Уточним первый корень уравнения. Для этого установим курсор в ячейке В2 и вызовем инструмент ПОИСК РЕШЕНИЯ.
Рисунок 3 – Надстройка ПОИСК РЕШЕНИЯ
Итак, первый корень получен.
Рисунок 4 – Решение тригонометрического уравнения
Аналогично, найдем корень уравнения, задав начальное значение х=–7 и х= –4.
Рисунок 5 – Три корня тригонометрического уравнения
Учитывая, что период функции тангенса равен π, найдем разницу между корнями уравнения: получили 3,04 и 3,01. Итак, разность между корнями равна примерно 3. Следовательно, следующие корни уравнения: – 0,4; 2,6; и т.п.
Таким образом, для нахождения корней тригонометрического уравнения, необходимо проделать те же действия, что и при решении уравнений высших степеней.
Приложение 2
Использование инструмента ПОИСК РЕШЕНИЯ при решении систем линейных уравнений
С помощью инструмента ПОИСК РЕШЕНИЯ можно решить и систему линейных уравнений [6, С. 31].
Пример 4.1. Решим следующую систему линейных уравнений
Для этого зададим ячейки, где будут записаны решения системы уравнений. Пусть это будут ячейки A2:D2.
Рисунок 1 – Создание таблицы для решения системы линейных уравнений
Введем в ячейки, предназначенные для решения (А2:D2) произвольные величины, лежащие в области определения (начальные значения).
В ячейки (А3:D3) внесем формулы, по которым должны вычисляться правые части уравнений: (=8*A2+4*B2-6*C2; =–2*А2–4*С2–6*D2; =6*А2+4*В2+4*С2+6*D2; = 4*А2+6*В2+8*С2+8*D2)
Рисунок 2 – Первоначальная таблица для решения системы линейных уравнений
Запустим ПОИСК РЕШЕНИЯ из меню ДАННЫЕ. Выберем одну из ячеек, содержащих формулы, в качестве целевой ячейки (например, А3), сделаем её равной –18.
В поле ИЗМЕНЯЯ ЯЧЕЙКИ вставим ячейки А2:D2. Добавим ограничения, нажимая на кнопку ДОБАВИТЬ: В3=–2; С3=–14; D3=–6.
Рисунок 3 – Диалоговое окно надстройки ПОИСК РЕШЕНИЯ
Рисунок 4 – Диалоговое окно ДОБАВЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ
Нажмем на кнопку ВЫПОЛНИТЬ. Получим решение:
Рисунок 5 – Решение системы линейных уравнений
Таким образом, решение системы линейных уравнений найдено. Если проверить решение (х1=–5, х2=1, х3=–3, х4=4) подстановкой, то получим верные равенства.