V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ПАЛИНДРОМЫ И РЕПЬЮНИТЫ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Сурова А.А. 1

---

1г. Уфа, МБОУ гимназия № 121

Шагина Э.М. 1

---

1МБОУ Гимназия № 121 г. Уфы

Работа в формате PDF

1.1 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков помогает сэкономить время на уроке, успешно сдать экзамен как в 9-м, так и в 11-м классе по математике.

Числа палиндромы и репьюниты образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, удивительными свойствами.

Было проведено исследование среди 7, 8, 9, 11 классов и выяснилось, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. Многие из опрошенных учащихся хотели бы узнать об этих числах больше.

В настоящее время при переходе на новые стандарты меняются цели основного и среднего (полного) образования. Одна из главных задач, стоящих перед нами, учителями, в условиях модернизации образования - вооружить учащихся осознанными, прочными знаниями, развивая их самостоятельное мышление. В условиях развития новых технологий возрос спрос на людей, обладающих нестандартным мышлением, умеющих ставить и решать новые задачи. Поэтому в практике работы современной школы все большее распространение приобретает исследовательская деятельность учащихся как образовательная технология, направленная на приобщение учащихся к активным формам получения знаний. Научно-исследовательская деятельность является:

мощным средством, позволяющим увлечь новое поколение по самому продуктивному пути развития и совершенствования;

одним из методов повышения интереса и соответственно качества образовательного процесса.

Цель: познакомиться с числами палиндромами и репьюнитами и выявить эффективность их применения для обучения современных школьников. Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена.

Задачи:

- раскрыть историю возникновения счета;

- рассмотреть некоторые приемы устных вычислений и на конкретных примерах показать преимущества их использования;

- литературу по теме ;

- рассмотреть свойства и репьюнитов;

- установить между и репьюнитами;

- выяснить, роль играют числа в изменении заинтересовавших нас .

Гипотеза: если исп нестандартные приемы , то скорость вычислений , а количество уменьшается.

Простые – это часть чисел, из состоят все натуральные .

Исследуя простых чисел, получить удивительные множества с их необыкновенными .

Предмет – множество простых .

Объект исследования – палиндромы и репьюниты.

исследования:

анкетирование

анализ

все математические понятия, так или , опираются на понятие , а конечный любой математической , как правило, выражается на чисел.

Работа изучению чисел: палиндромов и , установлению связи ними.

Теоретическая

1 Палиндромы

палиндрома насчитывает два тысячеле­тия. Определено назание - квадропалин. Палиндром – фракталов, кристаллов и материи. Способность лежит в человеческой глубоко, на уровне. Молекулы ДНК палиндромные элементы. Сам являет собой пример , точнее, частный вертикальной симметрии.

такие удивительные , которые одинаково и слева , и справа налево. я читала книгу Константиновича «Буратино», то обратила внимание на такую : А роза упала на Азора. её просила написать в неуча Буратино Мальвина.

Называются взаимообратные палиндромами, что в переводе с означает «бегущий , возвращающийся». Палиндром – из древнейших литературных экспериментов. европейских палиндромов греческому поэту (300 г. до н.э.).

греческий палиндром, на купели византийского Софии в Константинополе: anomhmata mh oyin (омывайте так же как и тело). Здесь уже заговорный характер – записанная по надпись должна заклятием от злых сил, не их к святой купели.

Вот н палиндромные : Аргентина манит . Умер, и мир ему. Лезу на . У дуба буду. Миши . Вот сила типа . Ешь немытого ты меньше! тапок-то? "Пустите!" - супу Максиму. - "Пустите, суп!" Я не реву - я. А муза рада без ума да разума. , храни лук. Ты, милок, иди : у дороги мина, за огород, а за ним и город у ; иди, коли мыт. Он в аду . Ого, вижу живого. манит негра. , и мир ему. Лезу на санузел. У буду. Миши молоко. Вот типа капиталистов. Ешь ты меньше! Откопать ? "Пустите!" - супу миска . - "Пустите, летит !" Я не реву - уверен я. А рада без ума да разума. Кулинар, лук. Ты, милок, иди яром: у мина, за дорогой , а за ним и город у ; иди, коли мыт. Он в аду давно. Ого, живого.

Меня вопрос. Интересно, ли палиндромы в ? И можно ли перенести эту же – идею взаимообратного, прочтения – в математику. (греч.) – , одинаковость в расположении . Симметричным называется объект, который как-то , получая в результате то же, с начали. Многие живой природы, , лист, , бабочку объединяет то, что они . Если их мысленно вдоль начерченной , то их половинки . А если поставить вдоль прочерченной , то отражённая в нём половинка дополнит её до . Поэтому такая называется зеркальной. , вдоль которой зеркало, осью симметрии. каждый из нас по несколько раз в видит своё в зеркале. Это обычно, что мы не удивляемся, не вопросов, не делаем . И только философы и не теряют удивляться.

Что же меняется в при его отражении в зеркале? Мы опыты с зеркалами. поставить сбоку от буквы А, то в зеркале туже букву. Но если зеркало , отражение уже не похоже на А - это А дном. А вот если зеркало снизу В, отражение также. Зато поставив сбоку от неё, получим В наперёд.

Буква А вертикальную , а буква В – горизонтальную. , мы выяснили, что зеркальная меняет местами , лево - . Оказывается и среди есть палиндромы. числа – палиндромы в не составило . Я попыталась составить числа для этих – палиндромов.

- в двузначных – палиндромах единиц совпадает с десятков.

– в числах – палиндромах сотен совпадает с числом .

- в четырехзначных числах – число единиц совпадает с единиц, а число с числом десятков и т.д.

формулы вызвали у больший . Под формулами – палиндромами выражение, состоящее из или разности чисел, которого не в результате прочтения справа налево.

сложить числа – , то сумма не .

Например: 22 + 66 = 66 + 22.

В общем это можно записать так:

+ = +

1.Найти все пары двузначных , чтобы результат их не менялся в результате суммы справа , например, 42 + 35 = 53 + 24.

равенство:

Представим числа в виде разрядных слагаемых:

(10₁ + у₁) + (10х₂ + у₂) = (10₂ + х₂) + (10у₁ + х₁)

10х₁ + у₁ + 10х₂ + у₂ = 10у₂ + х₂ +10у₁ + х₁. с х перенесем в левую равенства, а с у – в правую:

10х₁ - х₁ + 10х₂ - х₂ = 10у₁ - у₁ + 10у₂ - у₂.

распределительное :

9 х₁ + 9 х₂ = 9 у₁ + 9 у₂

9(х₁ + х₂) = 9(у₁ + у₂)

х₁ + х₂ = у₁ + у₂.

То есть для решения задачи сумма цифр должна равна их вторых цифр.

можно составлять суммы:

76 + 34 = 43 + 67

25 + 63 = 36 + 52 и т.д.

Задача 2. все пары двузначных чисел, результат их вычитания не в результате прочтения справа .

Представив наши в виде суммы слагаемых и выполнив преобразования, , что для решения нашей . У таких чисел быть равны цифр.

(10₁ + у₁) – (10х₂ + у₂) = (10у₂ + х₂) – (10₁ + х₁)

10х₁ + у₁ – 10х₂ - у₂ = 10у₂ + х₂ – 10у₁ - х₁

10х₁ + х₁ + у₁ + 10у₁ = 10у₂ + у₂ + 10х₂ + х₂

11 х₁ + 11 у₁ = 11х₂ + 11у₂

11(х₁ + у₁) = 11(х₂ + у₂)

х₁ + у₁ = х₂ + у₂

можно составлять разности:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 = 61 – 25 и т.д.

В умножения имеем: 63 ∙ 48 = 84 ∙ 36, 82 ∙ 14 = 41 ∙ 28, ... — при произведение первых у чисел N₁ и N₂ равно их вторых (x₁ ∙ x₂ = y₁ ∙ y₂).

Наконец, для деления такие примеры:

В случае произведение цифры N₁ на вторую цифру N₂равно произведению других их цифр, т.е. x₁ ∙ y₂ = x₂ ∙ y₁.

Я доказать для произведения. Вот что у меня .

N₁ = = 10х₁ + у_1N3 = = 10у₂ + х₂

N₂ = = 10х₂ + у_{2 N4} = = 10у₁ + х₁

N₁ ∙ N₂ = ∙ = (10х₁ + у₁) ∙ (10₂ + у₂)

N₃ ∙ N₄ = ∙ = (10у₂ + х₂) ∙ (10у₁ + х₁)

100₁∙х₂ + 10х₁∙у₂ + 10у₁∙х₂ + у₁∙у₂ = 100у₁∙у₂ + 10х₁∙у₂ + 10у₁∙х₂ + х₁∙х₂

99х₁∙х₂ = 99у₁∙у₂; х₁∙х₂ = у₁∙у₂, что и доказать.

С помощью числа - палиндром и можно решать на делимость , которые часто в олимпиадах по математике. Вот из них:

Задача.Докажите, что из трёхзначного вычесть число, теми же цифрами, но в о порядке, разность делиться на 9.

.,т.е. данное произведение на 9.

Между прочим, поколению выпала удача, не человеку выпадает хотя бы один год, а уж тем более два - 1991-й и 2002- предыдущий был в 1881-, а следующий — в 2112-м. В работе мы прикоснулись к математическому явлению - , в частности к её – палиндромам.

В своей я рассмотрела числа – , формулы – палиндромы для и разности, и частного двузначных и смогла их доказать. познания законов и красоты и труден, и мы находимся в его начале.

С помощью числа-палиндром и формулы-палиндромы решать на делимость чисел, часто встречаются в по математике. Вот одна из них:

. Докажите, что из трёхзначного числа число, записанное же цифрами, но в обратном , разность будет делиться на 9.

.,т.е. данное произведение на 9.

Числовые палиндромы – это числа, одинаково читаются налево и слева . Иначе говоря, симметрией (расположения цифр), число знаков быть как чётным, так и .

Например: 121; 676; 4884; 94949; 1178711 и т. д.

Изучая , автор данной задаёт : «Как из других можно получить ?»

Палиндром можно как результат над другими числами. Для воспользуемся известным .

Алгоритм получения :

Возьми двузначное число

его (переставь цифры налево)

Найди их

Переверни число

Найди их

Повторяй аналогичные до тех пор, пока не получится

Пример:

96

96 + 69 = 165

165 + 561 = 726

726 + 627 +

1353 + 3531 +

В результате проделанной я пришла к выводу, что, составленный , из любого двузначного можно получить .

Можно рассмотреть не сложение, но и операции над палиндромами. ( 2)

Приведем два примера , как при помощи одних получаются :

а) 212² - 121² = – 14641 = 30303;

б) = 2·11² ·101² = = 1111· = 2468642.

Теперь к числам простым. В их множестве имеются семейства . Только среди ста миллионов натуральных насчитывается 781 простой , причём приходится на первую , из них четыре числа – 2; 3; 5; 7 и всего одно – 11. С такими связано немало интересных :

Существует единственный палиндром с чётным цифр – 11.

и последней цифрами простого палиндрома быть только 1; 3; 7 или 9. Это из известных делимости на 2 и на 5. Все простые числа, записанные с перечисленных цифр ( 19), можно на пары.

Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97.

простых трёхзначных встречаются пары , у которых цифра отличается на 1.

Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.

Аналогичная наблюдается у больших чисел.

: 94849 и 94949; и 1178711.

Все однозначные являются палиндромами.

26 – число, не палиндромом, квадрат палиндром

Например: 26² = 676

А вот чисел - «перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при в квадрат также пары «»: 169 — 961 и 12769 — 96721. пытно, что даже их цифр связаны хитрым :

(1+3)²=1+6+9,(1 + 1 + 3)² = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Из простых - палиндромов, располагая их образом, построчно, можно симметричные фигуры, оригинальным рисунком из цифр.

1- Примеры палиндромов

2 Репьюниты

– натуральные числа, которых состоит из единиц. В системе счисления обозначаются короче Rn: R₁ = 1, R₂ = 11, R₃ = 111 и т. д., и вид для них:

Общий вид репьюнита быть в другом виде:

: 11; 111; 1111; 11111; 1111111 и т. д.

Обнаружено интересных репьюнитов:

Репьюниты - случай чисел-палиндромов, остаются неизменными при и обратном .

Репьюниты относятся к палиндромам, которые на произведение своих .

Известно простых репьюнитов: R₂, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇ и R, причем, что самое - индексы этих также числа. Самое число репьюнит – 1. большое – ещё не найдено.

В репьюнитов пока только 9 чисел: 2, 19, 23, 317, 1031, 86453, 109297, (индексы ).

Раскладывая некоторые репьюниты на простые :

111 = 3∙37

1111 =

11111 = 41∙ 271

= 3∙7∙11∙13∙37

1111111 =

11111111 = 11∙73∙101∙137

= 3∙37∙333667 и т. д. можно числа .

В результате умножения репьюнитов мы получили палиндромы:

11∙11 = 121

= 1221

= 12221

111∙111 =

11111∙111 = 1233321

= 12344321

11111∙11111 = и т.д.

Перемножив репьюнитов, можно вывод о том, что каждый раз число палиндром. ( 3).

Число 7 - , т.к. его запись по основанию 2: 111, а по 6: 11 (i.e. 7₁₀ = 11₆ = 111₂).

Другими словами, 7 является репьюнитом по мере в основаниях b > 1.

Определим целое число с свойством как сильный . Можно , что существует 8 сильных меньше 50: {1,7,13,15,21,31,40,43}. , сумма всех меньше равна 15864.

2- Пример репьюнита

В областях науки репьюнитов не найдены.

часть

две интересные задачи из «Квант» №5 за 1997 год.

№1

Какими цифрами заменить , чтобы сумма слагаемых стала репьюниту?

Решение: +12345679+12345679=111111111 –

Ответ: 111111111

№2

Произведением каких репьюнитов является 123455554321?

:

Перемножив два репьюнита, мы

11111111 · 11111 =

Ответ: 11111111 ·

Прослеживается : цифры в записи сначала по возрастанию, а по убыванию, причём цифрой длина меньшего , а количество повторений цифры в середине равно длин репьюнитов, на единицу. Перемножив репьюнитов, делаем о том, что каждый раз число палиндром. ( 3)

Также экспериментально , что при перемножении репьюнитов по правилу число единиц быть меньше 10. То максимальное произведение : 1(19 ) * 1(9 раз)= 1 234 567 899 999 999 999 987 654 321. палиндром не получается.

занимательных и олимпиадных

Вычислительный .

1)



Ответ: 12 345 654 321

2)

: 12 345 554 321

Задача 1.

количество чисел - , делящихся на 2:

а)

б) трехзначных

в) четырехзначных

г)

Ответ.

На 2 делится четное число. ,

а) среди чисел - палиндромов - 22, 44, 66 и 88. То есть 4 числа.

б) у чисел - палиндромов и последняя одинаковые и должны четными. Четных 4 (2, 4, 6 и 8). В середине может любая из 10 от 0 до 9. Поэтому, всего трехзначных чисел - .

в) у четырехзначного искомого должны четными одинаковые и последняя цифры - их 4. При одинаковые вторая и цифры быть любыми из . Значит, четырехзначных - палиндромов тоже 40.

г) у чисел - первая и последняя одинаковы и четны, их быть 4. При этом 2 и 4 также и их может быть 10. цифра также быть любой из 10. , всего чисел - палиндромов -

Итак, все мы убедились в том, что важна не только по себе. подход к окружающему помогает лучше его . И математический стиль нужен всем – и языковеду, и , и химику, и физику, и , и художнику, и поэту, и .

Проведя по данной теме, я свойства палиндромов и , установила связь ними, какую роль простые числа в свойств данных .

Результаты (сходство и различие) в таблицу.

Таблица 3- свойств палиндром и .

исследование по данной , я изучила свойства и репьюнитов, установила между , выяснила какую играют простые в изменении свойств чисел.

исследования (сходство и ) занесены в таблицу.

опроса

Таблица 4- « ли знать об этих числах?»

Результаты показали, что все учащиеся знать больше о палиндромах и .

Также провела «Используете ли вы эти числа в ?». Данные занесла в .

Таблица 5- « ли вы эти числа в жизни?»

по опросу: Чем школьник, тем он чаще палиндромы и репьюниты в жизни.

Заключение

Мир настолько и увлекателен, что занимаясь д работой, исследовано, что бы каждый из нас уделял ему внимания, то бы для себя много и интересного.

Познакомившись с натуральными числами: и репьюнитами. Все они своими свойствами числам.

Значит, гипотеза о том, что простые ч – это часть , из которых состоят все числа.

Исследуя простых чисел, получить числовые множества с их свойствами.

В своей большое внимание проектам, конкретное общественно-полезное . Часто эти проекты долгосрочными, ориентированными на системы: - внеклассная деятельность.

метод проектов сочетание индивидуальной работы с в сотрудничестве, в малых и в коллективе. Реализация проектов на практике к изменению учителя. Из носителя знаний он превращается в познавательной, исследовательской своих . Изменяется и психологический в классе, так как учителю переориентировать свою работу и учащихся на разнообразные самостоятельной деятельности, на деятельности исследовательского, , творческого . Обеспечение и сопровождение деятельности строится на сотрудничества и включает:

в определении замысла проектной ;

консультирование стадий : поиска информации, проектных , поощрение практического непосредственной работы с ;

внимание к индивидуальным и способам и образного мышления, и интерпретации, инициирование продумывания деятельности и ее продукта;

инициативы и творческого проектной деятельности;

в обеспечении презентации и экспертизы проектной деятельности .

В результате активного метода проектов на и во внеурочной у учащихся формируются учебные умения, и обобщенные способы . Обучающиеся прочно усваивают , полученные в ходе решения поставленных . Ученики опыт вдумчивой с текстом художественного , опыт работы с объемом из различных источников. приобретают навыки сотрудничества и коммуникации: работать в , планировать работу и в группе, учатся ситуации и принимать .

Проектная на уроке и во внеурочное способствует формированию у духовности и культуры, , самостоятельности, к успешной социализации в и активной адаптации на труда.

Метод деятельности в связи с изменениями, в образовании. Компьютеры и стали неотъемлемой образовательного . В работе использую как необходимое условие современного урока. техника представлять результаты деятельности ярко, , подбирать систему , иллюстраций к вопросам темы.

В работы над проектом с средств ИКТ формируется , умеющий не только по образцу, но и , получающий необходимую из максимально большего источников, ее анализировать и делать . Метод проектов школой, так как он демон высокую , мотивированность обучения, перегрузки, повышение потенциала учащихся.

1

Операции над

Выполняя действия над палиндромами в результате можно получить и палиндром, и репьюнит.

Приложение 2

Произведение репьюнитов дает палиндром.

Перемножив немало репьюнитов, делаем вывод о том, что каждый раз получается число палиндром.

Приложение 3

Приложение 4

Фото опыта

Список использованных источников информации

Депман И.Я. За страницами учебника математики //пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989.

Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды // издательство «Мир». – 1992.

Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел // книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995.

Кордемский Б. А. На часок к семейке репьюнитов // Квант. -1997. - № 5. - с. 28-29.

Перельман Я.И. Занимательная математика // издательство «Тезис». – 1994

http://arbuz.uz/t_numbers.html.

Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1995. - 239с.

Карпушина Н.М. Репьюниты и палиндромы// Математика в школе. – 2009, №6. – С.55 – 58.

Строгов И.С. Жар холодных чисел. Очерки. – Л.: Детская литература, 1974.

Перельман Я.И. Живая математика. – М.: «Наука», 1978.

29