V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Проценты вокруг нас
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области.
Проценты – это одна из сложнейших тем математики. Обучающиеся сталкиваются с процентами не только на уроках физики, химии, но и при чтении газет, просмотре телепередач. Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Широкое использование процентов в наши дни побудило меня к более глубокому исследованию данной темы.
Актуальность:
Проценты вторглись во все сферы человеческой деятельности: экономическую, политическую, социальную и даже личную. Данная тема достаточно обширная, и поэтому изо дня в день абсолютно каждый человек слышит: уровень зарплаты повысился на 7%, в магазине на молоко была скидка 30%, в состав кофты входит 80% хлопка, банк начисляет 11% годовых и т.д. Также задачи на применение процентов присутствуют на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому научившись их решать, вы облегчите свою повседневную жизнь и увеличите шансы набрать максимальное количество баллов на экзамене.
Цель исследования:
• Подобрать теоретический материал, связанный с изучением формулы «сложных процентов»
• Показать целесообразность практического применения формулы «Сложных процентов» при решении задач математического и экономического содержания
• Расширить знания по данной теме
Задачи исследования:
• Узнать историю происхождения процентов
•Разобрать основные типы задач на проценты
•Показать практическую значимость процентов для различных сфер деятельности
•Провести статистическое исследование
•Обобщить полученные результаты
•Сделать вывод
Методы исследования:
•Теоретический
•Практический
•Опросно-диагностический
ӀӀ Основная часть
История происхождения процента:
Это понятие появилось в математике в связи с развитием торговли, когда за взятые в долг деньги заимодавец получал с должника какую-либо сумму сверх долга. Обычно эта сумма выражалась в сотых долях. Несколько позже у неё появилось название - проценты.
Слово «процент» имеет латинское происхождение: «pro centum» - это «на сто».Проценты были известны индийцам ещё в V в. и это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления.
Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.
«Римляне брали с должника лихву (т.е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы».
От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584г. он впервые опубликовал таблицу процентов.
Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.
Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского procento(сто), которое в процентных расчетах часто сокращённо писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента.
Также есть предположение, что знак % возник в результате опечатки. В 1685г в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке вместо сtо было набрано %. После этого знак %, получил всеобщее признание и до сих пор мы пользуемся этим значком процента.
Один процент – это одна сотая часть числа.
Всякое целое число (например 1) составляет 100%. Его сотая часть 1 : 100 = 0,01. Следовательно, 1% от единицы составит 0,01.
Если весь объем — 100%, то каждая часть (каждая дробь) составляет величину больше 0%, но меньше 100%. а сумма всех частей в процентах равна 100%. Процент какой-то величины — это часть (доля) этой же величины, поэтому, если 1 = 100%, то и каждая дробь (обыкновенная или десятичная) равна какому-то проценту от 1.
Простейшие виды задач на проценты:
1. Нахождение процентов от числа.Чтобы найти проценты от числа, нужно:
1) Перевести % в десятичную дробь (для этого следует разделить количество процентов на 100)
2) Умножить эту дробь на данное в задаче число
Рассмотрим пример решения такой задачи.
Сплав содержит 5% меди. Сколько килограммов меди содержится в 420 килограммах сплава?
1) 5%: 100=0,05
2) 0,05·420=21 (кг) меди содержится в 420 кг сплава.
Ответ: 21 кг.
2. Нахождение числа по его проценту. Нужно:
1) Перевести проценты в десятичную дробь (количество процентов делим на 100)
2) Известное в задаче число разделить на эту дробь
Пример:
Найти число, 24% которого равны 96.
1) 24%: 100 =0,24
2) 96:0,24=9600:24=400
Ответ: 400.
3. Нахождение процентного отношения чисел.
Нужно:
1) Найти частное этих чисел
2)Результат умножить на 100
Рассмотрим задачу:
Из 400 зерен пшеницы взошло 360. Определить процент всхожести семян.
1)360:400=0,9
(Замечание: делим то число, напротив которого стоит ?, на число, напротив которого стоит 100%).
2) 0,9*100=90 (%) семян взошло.
Ответ: 90%.
Все выше приведённые задачи мы могли решать с помощью пропорции. Если A — это целое, которое принимаем за 100%, p% от него равны N, то можно составить пропорцию
100%−N
p%−A
Из пропорции получаем формулы для нахождения каждого её члена через остальные:
N=A⋅100p p=A⋅100N A=N⋅p100
Тогда, например, в 1 задаче:
100%-420
5%-х
Значит, х=(420*5)/100=21 кг.
Ответ: 21кг.
Простые и сложные проценты
И тот и другой вид процентов широко используется в банковской практике. Простые и сложные проценты отличаются друг от друга способом начисления.
Простые проценты.
При использовании простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину. Иначе говоря,
S=a(1+n*0,01p), где:
a - начальный вклад, сумма.
p – процент(ы) годовых
n- время размещения вклада в банке
Сложные проценты.
Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты).
Иначе говоря,
S=a(1+0,01p)n, где:
a - начальный вклад, сумма.
p – процент(ы) годовых
n- время размещения вклада в банке
Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?
Решим эту задачу по формуле сложных процентов
Применим формулу к нашей задаче
первоначальный вклад – 2000
процент годовых - 12
n – 6 лет, значит
2000(1 + 0,12)6 = 2000*1,126 = 2000*1,973823 = 3947,65 (руб.)
Ответ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 рублей 65 копеек.
Задачи на смеси, растворы и сплавы
Человеку часто приходится смешивать товары разной цены, жидкости с различным содержанием соли, кислоты различной концентрации, сплавлять различные металлы или разбавлять что-либо водой. Всё это включают в себя задачи на смеси, растворы и сплавы.
Задачи на смеси, растворы и сплавы бывают двух основных видов:
Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.
В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.
При решении всегда выполняется «Закон сохранения объёма и массы»: если два раствора (сплава) соединяют в «новый» раствор (сплав), то выполняются равенства:
– сохраняется объём;
– сохраняется масса;
Задачи на смеси, растворы и сплавы называют ещё задачами на процентное содержание или концентрацию.
Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Долей (а) чистого вещества и смеси называется отношение количества чистого вещества (m) в смеси к общему количеству (M) смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объёма.
Концентрация чистого вещества в смеси равна количеству чистого вещества в смеси, деленному на общее количество смеси.
Отсюда получается:
Процентное содержание чистого вещества в смеси (c) называют его долю, выраженную процентным отношением:
т.е. это концентрация вещества, выраженная в процентах
Для расчета концентрации смесей (сплавов) можно воспользоваться формулой
,
где n – концентрация
mВ – масса вещества в растворе (сплаве)
mР – масса всего раствора (сплава)
№1. При смешивании 5%-го раствора кислоты с 40%-ым раствором кислоты получили 140 г 30%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?
Решение:
Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмём для смешивания х г 5%-го раствора кислоты (или x г) и у г 40%-го раствора (или г). Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т.е. г, то получаем следующее уравнение:
+ ,
Кроме того, х + у = 140.
Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:
5x + 40y = 30 * 140,
x + y = 140
Из этой системы находим х = 40, у = 100. По смыслу задачи 0 < x < 140, 0 < y < 140. Найденные значения х и у этим условиям удовлетворяют. Итак, 5 %-го раствора кислоты следует взять 40 г, а 40 %-го раствора – 100 г.
Ответ: 40 и 100.
№2. Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?
№3. Сколько 90%-ой и 60-ой серной кислоты надо взять, чтобы получить 5,4 кг 80%-ой серной кислоты?
Применение процентов в жизни
Выборы
Различные источники СМИ, выпуски новостей и статьи в интернете твердят нам о том, что 18 марта состоятся выборы президента Российской Федерации и в преддверии этого события проводится большое количество различных опросов среди избирателей жителей разных регионов нашей страны.
Экономический кризис и задачи на проценты.
В 2014 году разразился экономический кризис, в результате которого произошёл спад в экономике. Так, в первом квартале 2015 года наиболее значительно подорожали услуги (на 5,2%) и продовольственные товары (на 4,8%). Из продуктов питания быстрее всего цены росли на крупы, а также плодоовощную продукцию – с начала года на 16,8% и 15,8% соответственно. Масло подсолнечное подорожало на 6,6%, сахар-песок на 6,5%, хлеб и хлебобулочные изделия на 5,3%, рыба и морепродукты на 4,1%, мясо и птица на 3,5%. Цены на алкогольные напитки выросли на 2,7%. В среднем по России стоимость минимального набора продуктов питания в конце марта составила 2845,1 рубля в расчете на месяц, что на 8,4% выше, чем было в начале года.»
На основании этой информации мною составлены следующие задачи.
Задача №18.
Найдите цену за 1 кг гречневой крупы в конце 2014 года, если в марте 2015 года она составила 80 рублей.
Задача №19.
Найдите цену 1 кг сахарного песка в марте 2015 года, если к концу 2014 года она составляла 33 рубля.
Распродажи.
№1.Зонт стоил 360 руб. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре – ещё на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?
Решение:
Стоимость зонта в ноябре составила 85% от 360руб.т. е 360•0,85=306руб. Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта, теперь следует искать 90% от 306руб., т.е.306•0,9=275,4руб.
Ответ: 275,4.
№2. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на24%, а потом ещё на 10%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 593 руб.?
Штрафы.
№1. В городе N в случае неуплаты земельного налога городу в установленный срок (не позднее 15 сентября) начисляется пеня в размере 0,2% не перечисленных сумм за каждый день просрочки (полный месяц считается равным 30 дням). Какая пеня будет начислена в случае уплаты земельного налога в сумме 436 000 рублей 25 сентября того же года?
Решение:
(руб.)
2) 444 720 - 436000 = 8 720 (руб.)
Ответ: 8 720 рублей.
№2. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?
Банковское дело.
За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 9% годовых. Вкладчик положил на счёт 10000 руб. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счёта и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счёте вкладчика через год? Через два года? Через пять лет?
Решение:
Задача на сложный процентный рост S=a(1+0,01p)n
1)10000*(1+0,09) = 10900 (руб.) – через год.
2) 10 000 * (1 + 0,09)2 = 11 881 (руб.) – через два года.
3) 10000 * (1 + 0,09)5 15 386 (руб.)
Ответ: через год на счёте вкладчика будет 10 900 рублей, через два года – 11 881 рубль, через пять лет – 15 386 рублей.
ӀӀӀ Мои исследования
Очень часто в жизни важно знать мнения и взгляды людей по самым разным вопросам. Чтобы узнать мнения людей, проводят специальные опросы населения или опросы общественного мнения. Полученную при этом информацию обычно переводят в проценты и изображают в виде таблиц и диаграмм. Я провела опрос среди своих одноклассников. Используя полученные данные, сделала выводы об их интересах.
В какой институт ты планируешь поступить?
|
МГУ |
ЛГУ |
ВШЭ |
РУДН |
МИЭТ |
ЛЭТИ |
РАНХиГС |
им. Баумана |
|
|
Количество учащихся |
1 |
1 |
3 |
2 |
2 |
4 |
2 |
3 |
|
Проценты |
5,5 |
5,5 |
16,7 |
11,1 |
11,1 |
22,3 |
11,1 |
16,7 |
В каких олимпиадах ты принимаешь участие, чтобы облегчить себе поступление в вуз?
|
«Высшая проба» |
«Миссия выполнима» |
«Росатом» |
«Всесибирская олимпиада» |
«Физтех» |
«Олимпиада им. А.Н. Кондратьева» |
«ОММО» |
|
|
Количество учащихся |
3 |
2 |
2 |
6 |
3 |
1 |
5 |
|
Проценты |
16,7 |
11,1 |
11,1 |
33,3 |
16,7 |
11,1 |
27,8 |
ӀV Заключение
Работа над этой темой помогла мне лучше разобраться в задачах на проценты, узнать историю их возникновения. Столь близкое знакомствос широкой областьюприменения процентов позволило по-другому взглянуть напредметы школьного курса, более осмысленно воспринимать учебный материал на уроках. После проделанной работы я стала лучше понимать новостные программы, газетные статьи, рекламные издания, научилась осознанно восприниматьпредлагаемую числовую информацию, размышлять над ней, анализировать. Познакомилась с новыми терминами, прикоснулась к разным областям окружающей жизни. Используя знания по процентным исчислениям, я изучила интересы своего класса, а также научилась решать экзаменационные задачи по данной теме. В современном мире прожить без знаний процентов невозможно!
Источники литературы
• Альхова З.Н., Макеева А.В. Внеклассная работа по математике. Саратов, изд. «Лицей», 2001.
• Виленкин Н.Я. Математика. Учебник для 6 класса средней школы. – М.: Просвещение, 2005.
• Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9 класс. – Москва «Просвещение», 2006.
• Единый государственный экзамен: математика: учебно-тренировочные материалы. Москва, 2017 г.
• Никольский С. М. Арифметика. Учебник для 6кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000.
• https://www.rbc.ru
• https://news.rambler.ru
• http://www.vestifinance.ru
18