V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Сиднев А.А. 1

---

1МБОУ "Школа № 48"

Кувшинова Л.В. 1

---

1МБОУ "Школа № 48"

Работа в формате PDF

197.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Математическое образование, получаемое в школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям.

Актуальность темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением  квадратных  уравнений. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать  квадратные уравнения,  это также может мне  пригодится при решении более сложных задач, в том числе  в 9 классе, а также 10 и 11 и при сдаче экзаменов.

Цель: Изучить стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений

Задачи

1. Изложить наиболее известные способы решения уравнений
2. Изложить нестандартные способы решения уравнений
3. Сделать вывод

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений

Методы исследования:

• Теоретические: изучение литературы по теме исследования; 
• Анализ: информации  полученной при изучении литературы;  результатов полученных  при решении квадратных уравнений     различными способами.
• Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Глава 1.Квадратные уравнения и стандартные способы решения

1.1.Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов  в или, с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах² + bх + с обращается в нуль.

Определение 4. Решить квадратное уравнение — значит найти все его

корни или установить, что корней нет.

Пример:  – 7x + 3 =0

 В каждом из уравнений вида a  + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

 Пример

х² – 11х+30=0, х² –8х=0.

1.2.Стандартные способы решения квадратных уравнений

Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х² + 10х - 24 = 0.  Разложим левую часть на множители:

х² + 10х - 24 = х² + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно,  уравнение можно переписать так:(х + 12)(х - 2) = 0

Произведение  множителей равно нулю,  если  по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

Ответ: -12; 2.

Решение квадратного уравнения по формуле.

Дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 выражение b²– 4ас = D  - по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Возможные случаи в зависимости от значения D:

1. Если D>0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D= 0, то уравнение имеет один корень: х =
3. Если D <0, то уравнение не имеет корней.

Решение уравнений с помощью теоремы Виета.

Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Приведенное квадратное уравнение имеет вид:

х² + bx + c = 0.

Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:

х² + px + q = 0, тогда

x₁ + x₂  = - p; x₁· x₂ =  q

Глава 2.Нестандартные способы решения квадратных уравнений

2.1.Решение с помощью свойств коэффициентов квадратного уравнения

Свойства коэффициентов квадратного уравнения – это такой способ решения квадратных уравнений, который поможет быстро и устно найти корни уравнения:

ax² + bx + c = 0

1. Если а+ b+c= 0, то x₁ = 1, x₂ =

Пример. Рассмотрим уравнение х² +3х – 4= 0.

a + b + c = 0, то x₁ = 1, x₂ =

1+3+(-4) = 0, тогда x₁ = 1, x₂ =  = - 4

Проверим полученные корни с помощью нахождения дискриминанта:

D= b²– 4ас=3²– 4·1·(-4) = 9+16= 25

x₁ =    =    =  =  = - 4

x₂ =  =  =  =  = 1

Следовательно, если + b +c= 0, то x₁ = 1, x₂ =

2. Если b = a + c, то x₁ = -1, x₂ =

Пример. Рассмотрим уравнение 3х² +4х +1 = 0, a=3, b=4, c=1

Если b= a + c, то x₁ = -1, x₂ =  , то 4 = 3 + 1

Корни уравнения: x₁ = -1, x₂ =  

Значит корнями этого уравнения являются –1 и . Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b²– 4ас=4²– 4·3·1 = 16 – 12 = 4

x₁ =    =    =  =  = - 1

x₂ =  =  =  =  =  

Следовательно, b= a + c, то x₁ = -1, x₂ =

2.2.Способ «переброски»

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

Пример:

3х²+4х+1=0; 3+4+1 ≠ 0

Применяя способ «переброски» получаем:

 х² + 4х+3= 0

Таким образом, с помощью теоремы Виета получаем корни уравнения:

x₁ = - 3, x₂ = -1.

Однако корни уравнения необходимо поделить на 3 (то число, которое «перебрасывали»):

Значит, получаем корни: x₁ = -1, x₂ = .

Ответ:  ; - 1

2.3.Решение с помощью закономерности коэффициентов

1. Если уравнение ax² + bx + c = 0, коэффициент b= (a²+1), и коэффициент c = a, то его корни равны x₁ = - a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

ax² + (а² +1)∙ х + а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х² +10х +3 = 0.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = -3, x₂ =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b²– 4ас=10²– 4·3·3 = 100 – 36 = 64

x₁ =    =    =  =  = - 3

x₂ =  =  =  =  =   ; Следовательно, x₁ = - a, x₂ =

2. Если уравнение ax² - bx + c = 0, коэффициент b= (a²+1), и коэффициент c = a, то его корни равны x₁ = a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

ax² -  (а² +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х² - 10х +3 = 0.

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 3, x₂ =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b²– 4ас=10²– 4·3·3 = 100 – 36 = 64

x₁ =    =    =  =  =   

x₂ =  =  =  =  = 3; Следовательно, x₁ =  a, x₂ =

3. Если уравнение ax² + bx - c = 0, коэффициент b= (a²-1), и коэффициент c = a, то его корни равны x₁ = -a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

ax² +  (а² -1)∙ х - а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х² + 8х -3 = 0..

Таким образом, корни уравнения: x₁ = - 3, x₂ =

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b²– 4ас=8²+ 4·3·3 = 64 + 36 = 100

x₁ =    =    =  =   = - 3

x₂ =  =  =  =  =  ;Следовательно, x₁ = - a, x₂ =

4. Если уравнение ax² - bx - c = 0, коэффициент b= (a²-1), и коэффициент c = a, то его корни равны x₁ = a, x₂ =

Таким образом, решаемое уравнение должно иметь вид

ax² -  (а² -1)∙ х - а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 3х² - 8х -3 = 0..

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 3, x₂ = -

Проверим данное решение с помощью дискриминанта:

D= b²– 4ас=8²+ 4·3·3 = 64 + 36 = 100

x₁ =    =    =  =   = -

x₂ =  =  =  =  = 3; Следовательно, x₁ = a, x₂ = -

2.4.Решение с помощью циркуля и линейки

            Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного    уравнения    ах²  + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.6 ).

       Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х₁; 0 ) и D (х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни уравнения   ах²  + bх + с = 0,  и  проходит  через  точки

А(0; 1) и С(0; c/a) на  оси  ординат.  Тогда по теореме о секущих  имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC =  = =  

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

SK =  =  = -

SF =  =  = 

Итак:

1) построим точки S      (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

  При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или  R > a + c/2a),  окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 7а) В(х₁; 0) и D(х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения  ах²  + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра  (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х₁; 0), где х₁ - корень квадратного уравнения.

 3) Радиус окружности меньше ординаты центра     AS<S, R<                                     

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 7в), в этом случае уравнение не имеет решения.  

 а)AS>SB, R>           б) AS=SB, R=                в)   AS<S, R<   

   Два решения x₁ и x₂        Одно решение x₁                                  Нет решения

Рис.7

 Пример.

Решим уравнение  х² - 2х - 3 = 0  (рис.8).

Решение. Определим координаты  точки центра окружности по формулам:

x = -  = -  = 1,

y =  =  = -1

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 3.

2.5.Геометрический способ решения квадратных  уравнений.

           В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.

Примеры.

      1) Решим уравнение х² + 10х = 39.

      В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.9).

      Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники  так,  что  другая  сторона   каждого   из   них    равна  2,5, следовательно,  площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в  углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

      Площадь  S  квадрата  ABCD  можно  представить  как сумму  площадей:

первоначального  квадрата   х²,  четырех  прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х² + 10х + 25. Заменяя

х² + 10х числом 39, получим, что S =  39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим:

x = 8 - 2  - 2  = 3

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у² + 6у - 16 = 0.

Решение представлено на рис 10.  где

у² + 6у = 16, или  у² + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения  у² + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой

один и тот же квадрат, а исходное уравнение у² + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = - 8 (рис.  .

                     рис.10

3) Решить геометрически уравнение у² -  6у - 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у² -  6у = 16.

       На рис 11.   находим «изображения» выражения у² -  6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у² -  6у  прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной  у  - 3. Заменяя выражение у² -  6у  равным ему числом 16,

получаем: (у - 3)² = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25, или у - 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = - 2.

Заключение

В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справился, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Нужно отметить, что каждый способ решения квадратных уравнений по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах.   При работе над темой я  ставил задачу, выяснить какие методы являются стандартными, а какие нестандартными.

Итак, стандартные методы (используются чаще при решении квадратных уравнений):

• Решение с помощью выделения квадрата двучлена
• Разложение левой части на множители
• Решение квадратных уравнений по формуле
• Решение с помощью теоремы Виета
• Графическое решение уравнений

Нестандартные методы:

• Свойства коэффициентов квадратного уравнения
• Решение способом переброски коэффициентов
• Решение с помощью закономерности коэффициентов
• Решение квадратных уравнений, с помощью циркуля и линейки.
• Исследование уравнения на промежутках действительной оси
• Геометрический способ

При этом следует заметить, что каждый способ обладает своими особенностями и границами применения.

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения, при этом легко находятся только целые корни.

Решение уравнений способом переброски

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета, при этом также легко найти только целые корни.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Доступный метод для устного нахождения корней квадратного уравнения, но подходит только к некоторым уравнениям

Графическое решение квадратного уравнения

Наглядный способ решения квадратного уравнения, однако могут возникать погрешности  при составлении графиков

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Наглядный способ решения квадратного уравнения, но также могут возникать погрешности

Геометрический способ решения квадратных уравнений

Наглядный способ, похож на способ выделения полного квадрата

Решая уравнения разными способами,  я пришел к выводу, что зная комплекс методов решения квадратных уравнений, можно решить любое уравнение, предлагаемое в процессе обучения.

При этом, следует заметить, что одним из более рациональных способов решения квадратных уравнений является способ «переброски» коэффициента. Однако самым универсальным способом можно считать стандартный способ решения уравнений по формуле, потому что данный способ позволяет решить любое квадратное уравнение, хотя иногда и за более длительное время. Также такие способы решения, как способ «переброски», свойство коэффициентов и теорема Виета помогаю сэкономить время, что очень важно при решении заданий на экзаменах и контрольных работах.

Думаю, что моя работа будет интересна учащимся 9-11 классов, а также тем, которые хотят научиться решать рационально квадратные  уравнения и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам. Также она будет интересна и учителям математики, за счет рассмотрения истории квадратных уравнений и систематизации способов их решения.

Список литературы

1. Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.
2. Гусев, В.А. Математика. Справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.: Просвещение, 1988, 372с.
3. Ковалева Г. И., Конкина Е. В. «Функциональный метод решения уравнений и неравенств», 2014 г.
4. Кулагин Е. Д. «300 конкурсных задач по математике», 2013 г.
5. Потапов М. К. «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения» М. «Дрофа», 2012 г.
6. .Барвенов С. А «Методы решения алгебраических уравнений», М. «Аверсэв», 2006 г.
7. Супрун В.П. «Нестандартные методы решения задач по математике» - Минск «Полымя», 2010г
8. Шабунин М.И. «Пособие по математике для поступающих в вузы», 2005г.
9. Башмаков М.И. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2004. – 287с.
10. Шаталова С. Урок – практикум по теме «Квадратные уравнения».- 2004.