V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Циркуль постоянного раствора
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Геометрические построения являются существенным фактором в математике; они представляют собой мощное орудие геометрических исследований.
Традиционное ограничение орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности. Знаменитая геометрия Евклида (III век до нашей эры) была основана на геометрических построениях, выполняемых циркулем и линейкой; при этом было совершенно безразлично, как выполнялись отдельные построения: с помощью циркуля и линейки, или с помощью одного циркуля, или одной линейки.
Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка. В школьном курсе математики этому вопросу не уделено внимания, и все задачи на построение решаются совместно линейкой и циркулем. Изучая задачи на построение в 7-8 классах, у нас возник вопрос: а можно ли решать задачи на построение только одним циркулем или же это невозможно? Перед нами встала проблема в разрешении противоречий между решением задач на построение циркулем и линейкой и решением этих же задач только одним циркулем. Считаем, что эта тема актуальна для любого школьника, интересующегося задачами на построение. В связи с этим, можно определить объект и предмет данной исследовательской работы.
Объект исследования: задачи на построение.
Предмет исследования: решение задач на построение одним только циркулем и только одной линейкой.
Цель: на примере ряда задач показать, что при решении задач на построение можно обходиться только одним циркулем и линейкой.
Задачи:
1.Изучить научно-историческую литературу по теме.
2.Рассмотреть основную теорему Маскерони и Абу-л-Вафы
3.Составить задачи на построение только циркулем и решить их.
Биография Абу-л-Вафы
Абу-л-Хасана ибн Юниса - учитель, Персидский учёный X века, один из крупнейших математиков и астрономов средневекового Востока.
Его полное имя: Абуль-Вафа Мухаммад ибн Мухаммад ибн Яхья ибн Исмаил ибн Аббас аль-Бузджани. Родился 10 июня в 940 году в Бузган (вблизи от Тегерана). Умер 15 июля в 998 году в Багдаде.
Математик и астроном из Хорасана (Иран). С 20 лет жил и работал в Багдаде - крупнейшем научном центре арабского халифата ( теократическое исламское государство, возникшее в результате мусульманских завоеваний в VII—IX вв. и возглавлявшийся халифами. В старорусских источниках известно также под именами царство Агарянское и царство Измаильтянское, что таким образом включало его в общий список царств (империй) мира, известных книжным людям на Руси того времени.)
Значение Абу-л-Вафы в математике
Написал руководство по практической арифметике, в котором показал, как работать с обыкновенными дробями, и первым в Багдаде стал использовать отрицательные числа. В написанном им комментарии к «Альмагесту» Птолемея сведены астрономические знания того времени, а также изложены результаты его собственных работ. В трактате содержатся сведения об одном из неравенств лунного движения, переоткрытом впоследствии Тихо Браге. В 998, незадолго до смерти, Абу-л-Вафа наблюдал лунное затмение в Багдаде одновременно с молодым ал-Бируни, наблюдавшим его в Ургенче, что позволило точно определить разность долгот этих городов.
Также Абу-л-Вафа писал комментарии к Евклиду (Древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III в. до н. э.), к Клавдию Птолемею (позднеэллинистический астроном, астролог, математик, механик, оптик, теоретик музыки и географ. Жил и работал в Александрии Египетской (достоверно — в период 127—151 гг.), где проводил астрономические наблюдения.)
К Диофанту Александрийскому ( Древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.)
В своих астрономических трудах он впервые пользуется секансом и косекансом, доказывает теорему и составляет более точные таблицы синусов, тангенсов и котангенсов.
Творчество Абу-л-Вафы
Что касается геометрии, то здесь Абу-л-Вафа пишет оригинальное сочинение: «Книга о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений». В ней он проводит разнообразные построения, применявшиеся в архитектуре, технике, землемерии. Одна из глав книги посвящена решению задач на составление квадрата из нескольких квадратов.
Вот пример такой задачи, носящей сегодня его имя: «Задача Абу-л-Вафы». Способом разрезания составьте квадрат из трёх данных равных квадратов. Решение: Возьмём два данных квадрата, разрежем их по диагонали. Полученные части приложим диагоналями к сторонам третьего квадрата ABCD. Поскольку KTE= NTA – по стороне и двум углам – то треугольником KTE можно заполнить пустоту на месте треугольника NT
Выполнив аналогичные операции ещё 3 раза, получим квадрат KLMN. Однако наибольший интерес для нас в геометрии предоставляют задачи Абу-л- Вафы на построение, в которых, помимо линейки, используется циркуль постоянного раствора(«заржавленный» циркуль, как позже скажет Леонардо да Винчи).
Абу-л-Вафа ввёл тригонометрические функции тангенс и котангенс и построил их таблицы; нашёл с высокой точностью значение синуса одного градуса. Он же вывел формулу для синуса суммы двух углов, и в одно время с ал-Ходжанди и Ибн Ираком доказал теорему синусов для сферических треугольников.
Абу-л-Вафа составил комментарии к математическим трудам ал -Хорезми, Евклида, Диофанта, Гиппарха. Ему принадлежат книги «О том, чему следует научиться до изучения арифметики», «О том, что нужно знать писцам, дельцам и другим в науке арифметики», «О том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений», «О применении шестидесятеричных таблиц», «Об определении ребра куба, квадрато-квадрата и того, что состоит из них обоих».
Он первым доказал, что в построения циркулем с фиксированным раствором и линейкой можно построить все точки, которые можно построить циркулем и линейкой.
Биография Лоренцо Маскерони
Маскерони родился в итальянской провинции Ломбардия неподалёку от города Бергамо в семье крупного землевладельца. Сначала он обучался риторике в духовной семинарии и был посвящён в духовный сан в возрасте 17 лет. В 1778 году Маскерони начал изучать физику и математику в семинарии в Бергамо.
В 1786 году Маскерони стал профессором алгебры и геометрии в Павийском университете, во многом благодаря его работе в области статистики Nuove ricerche su l’equilibrio delle volte, опубликованной годом ранее. В 1789 году он на 4 года стал ректором университета.
В своей работе Adnotationes ad calculum integrale Euleri (1790) Маскерони вычислил 32 знака константы Эйлера и предложил её обозначение.
Маскерони был также поэтом и посвятил свою книгу Geometria del compasso (1797) Наполеону в стихах. Это была одна из самых известных работ математика, в которой он доказал, что все операции, которые могут быть выполнены с помощью циркуля и линейки, можно выполнить при помощи одного лишь циркуля. Этот результат позже был назван теоремой Мора — Маскерони, поскольку впервые доказательство было опубликовано датским учёным Георгом Мором в 1672 году.
Циркуль постоянного раствора или Кронциркуль
IЦиркуль (от лат. circulus — круг, окружность)
инструмент для вычерчивания окружностей и их дуг, измерения длины отрезков и перенесенияразмеров, а также для изменения (кратного увеличения или уменьшения) масштаба снимаемых размеров. Различают следующие основные типы Ц.: разметочный, или делительный, — для снятия и перенесениялинейных размеров; чертёжный, или круговой, — для вычерчивания окружностей диаметром до 300 мм; чертёжный
Кронциркуль— для вычерчивания окружностей диаметром от 2 до 80 мм;
1) измерительное средство для сравнения наружных линейных размеров деталей с размерами, взятыми по масштабной линейке, концевым мерам или калибру. К. состоит из двух дугообразных ножек, соединённых шарнирно, иногда имеет шкалу.
Конфигурация ножек и вспомогательных элементов К. отличается большим разнообразием. Пределы измерения К. до 200 мм, длина ножек до 600 мм.
2) Чертёжный инструмент для вычерчивания окружностей диаметром от 2 до 80 мм. Существуют чертёжные К. с винтовым соединением измерительных ножек и падающие с вертикально установленной опорной ножкой и подвижной измерительной ножкой, положение которой фиксируется винтом («балеринка»).
Применение линейки и циркуля постоянного раствора
Искусство построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки было высоко развито в Древней Греции. Линейкой пользовались ещё в Древнем Египте, но циркуль изобрели именно в Греции. Возможно, два этих инструмента потому и стали основными, что позволяли начертить две простейшие линии – прямую и окружность, а в математике решение задачи минимальными средствами всегда считалось признаком совершенства.
Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки, например, разделить окружность на шесть равных частей, построить точку, симметричную данной точке относительно данной прямой, и т.д. было обращено внимание на тот факт, что при резьбе на тонких металлических пластинках, при разметке делительных кругов астрономических инструментов пользуются, как правило, одним только циркулем. Последнее, вероятно, и послужило толчком к исследованию геометрических построений, выполняемых одним лишь только циркулем.
В 1979 году итальянский математик, профессор университета в Павии, Лоренцо Маскерони опубликовал большую работу «Геометрия циркуля», которая позже была переведена на французский и немецкий языки. В этой работе было доказано следующее предложение: «Все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним только циркулем».
Разумеется, циркулем нельзя провести прямую, поэтому Маскерони считал прямую построенной, если построены две её точки.
В 1928 году датский математик Гьельмслев нашёл в книжном магазине Копенгагена книгу Г. Мора под названием «Датский Евклид», изданную в 1672 году в Амстердаме. В первой части этой книги дано полное решение проблемы Маскерони. Таким образом, задолго до Маскерони было показано, что все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью только циркуля.
Раздел геометрии, изучающий геометрические построения одним циркулем, называют геометрией циркуля.
В 1833 году швейцарский геометр Якоб Штейнер опубликовал работу «Геометрические построения, производимые с помощью прямой линии и неподвижного круга», в которой наиболее полно исследовал построения одной линейкой. Основной результат этой работы можно сформулировать в виде предложения:
Каждая задача на построение, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена и одной линейкой, если в плоскости чертежа дана постоянная окружность и её центр.
Таким образом, чтобы линейку сделать равносильной циркулю, достаточно однократное употребление циркуля.
Великий русский математик Н. И. Лобачевский в первой половине XIX века открыл новую геометрию, получившую впоследствии название неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского. В последнее время, благодаря усилиям большого числа учёных, особенно советских, бурно развивается теория геометрических построений в плоскости Лобачевского, в частности, теория построений циркулем.
А. С. Смогоржевский, В. Ф. Рогаченко, К. К. Мокрищев и другие математики в своих работах провели исследования построений в плоскости Лобачевского без помощи линейки, при этом была показана возможность построений, аналогичных построениям Маскерони в Евклидовой плоскости.
Циркулем постоянного раствора пользовались и в Индии, и в Древней Греции. Это было обусловлено тем, что при измерениях на местности часто неудобно (или даже невозможно) проводить окружности разных радиусов.
Тем не менее, именно Абу-л-Вафа систематизировал задачи с циркулем постоянного раствора, поместив в своей книге по практической геометрии около 15 таких задач. О некоторых из них мы и поведём дальнейший рассказ, где наряду с решениями Абу-л-Вафы будут представлены более поздние задачи Маскерони даже и современные решения. Все следующие задачи выполняются с помощью линейки и циркуля постоянного раствора, равного R.
(первый циркуль)
Циркуль –это самый древний предмет, который пролежал в земле 2000 лет.
Под пеплом Помпеи археологи обнаружили циркуль, изготовленный из бронзы. В нашей стране впервые был обнаружен при раскопках в Нижнем Новгорода.
Задачи на построение
Задача 1: Через данную точку K проведите прямую, параллельную к прямой l.
Решение: На прямой l дважды отложим отрезки, равные R(AB = BC = R).
Порядок дальнейших операций укажем лишь цифрами ( так, на первом шаге проводим прямую АК , на втором – проводим через точку С произвольную прямую, пересекающуюся с АК, и так далее). КN – искомая прямая (почему?).
Задача 2: Разделите данный отрезок: а) пополам; б) на n равных частей; в) в отношении m:n
Решение:
а) Пусть дан отрезок ВС. Отложив на прямой ВС два отрезка, равных R(BT = TQ = R), проведём прямую n|| BC, как мы делали это в Задаче 1. Затем, как и в Задаче 1, воспользуемся леммой о трапеции: середины основания трапеции, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений её боковых сторон лежат на одной прямой.
б) Пусть, например, n = 5. Проведём произвольный луч f, выходящий из точки С. Отложим на луче f пять отрезков, равных R. Соединим последнюю точку деления Е с В. Проведя через точки деления F, G, K, N прямые, параллельные ВЕ, получим требуемое. Таким образом, построение совпадает с классическим.
в) Как и в пункте б), откладываем на луче fотрезок R всего m + n раз. Например, на рисунке показано, как разделить ВС в отношении 3:2 и 4:1.
Задача 3: Постройте биссектрису угла.
Решение: Решение показано на рисунке
Задача 4: Постройте угол, равный данному углу ВАС.
Решение: Через произвольную точку К проводим n || АВ иl|| АС согласно задаче 1. Очевидно, что ф = ВАС.
Задача 5: Из точки Т вне прямой l проведите перпендикуляр к l, а из точки К, лежащей на прямой l, восставьте перпендикуляр к l.
Решение: Строим на прямой l отрезки АВ = ВС= СD = R.Окружности с центрами в В и С пересекаются в точках Е и F. Нетрудно показать, что EF перпендикулярно l.Тогда остаётся через точки Т и К провести прямые параллельно EF.
Задача 6: Постройте центр данной окружностиω, радиус которой больше R.
Решение:Из произвольной точки А на ωстроим окружность радиуса R.Она пересекает ω в точках В и С. Из В и С как из центров строим такие же окружности. Пусть равные окружности попарно пересекаются в точках Е и F, Р и Q. Остаётся доказать, что прямые ЕF и РQ пересекаются в центре О окружности ω.
Задача 7: На данной прямой l отложите отрезок, равный данному отрезку ВС.
Решение:Через С проводим произвольную прямую f, не параллельную l.Пусть она пересекаетlв точке D.Через D проводим прямую, параллельную ВС, а через В – параллельную f.При этом DЕ = ВС(ВСDТ – параллелограмм).Далее строим биссектрису ТDQ.Из Т проводим к ней перпендикуляр ТN,которой при продолжении пересекает lв точке К.
Очевидно, DК = DТ = ВС.
Задача 8: На данном отрезке ВС постройте правильный треугольник АВС.
Решение: Строим равносторонние треугольники ВЕF и СNК со стороной R. Прямые ВF СN пересекутся в искомой вершине А.
Задача 9: В данный круг впишите : а) квадрат; б )правильный шестиугольник.
Решение:
а) Находим центр О данного круга и проводим произвольно диаметр АВ через О проводим перпендикуляр к АВ, который пересекает окружность в точках C иD. Тогда ACBD– квадрат, вписанный в данную окружность.
б) От точки О откладываем угол 60 градусов ( к отрезку АО) – например, построив равносторонний треугольник OEF со стороной R. Проведённый луч пересекает окружность в точке N. Тогда АN – сторона правильного шестиугольника. Дальнейшее построение проведите самостоятельно.
Задача 10: В данный квадрат АВСD впишите равносторонний треугольнике впишите равносторонний треугольник ВКN.
Решение: На стороне СDквадрата строим равносторонний треугольник СЕD, а на стороне АD – равносторонний треугольник АFD. Прямые ВЕ и ВF в пересечении АD и СD соответственно дадут недостающие вершины К и N равностороннего треугольника ВКN(АВК = СВN = 15градусов)
Задача 11: Из точки А вне окружности ω проведите касательную к ω.
Решение:Находим центр О окружности ω. Делим отрезок ОА пополам – получаем точку Q. Из точки Q как из центра радиусом, равным R, строим окружность ω1. Пусть ω1 пересекает окружность ω в точках К и К1. Прямые QK и QK1 пересекут окружность ω в искомых точках касания Т и Т1.Предложите способ построения касательной в случае, когда окружность ω1 радиуса R с центром в Q не будет пересекать ω.
Задача 1. На прямой, заданной точками А и В, построить одну или несколько точек.
Построение. Берём вне прямой АВ произвольную точку С и строим относительно прямой АВ симметричную ей точку С1. Проводим окружности (А, /АС/) И (В, /ВС/), которые пересекутся в точке С1. Произвольным радиусом r проводим окружности (С, r) и (С1, r), в пересечении которых получим точки Х и Х1, лежащие на данной прямой АВ. Изменяя величину радиуса r, можно построить сколько угодно точек данной прямой: Х', Х'1 и т.д.
Доказательство. Точка С1 симметрична точке С, поэтому прямая АВ проходит через середину отрезка С С1 и (АВ) ┴[C С1]? Поэтому прямая АВ является множеством всех точек, равноотстоящих от точек С и С1. В силу построения /СХ/ = / С1Х/ = r и /СХ1/ = / С1 Х1/ = r, следовательно, Х принадлежит АВ и Х1 принадлежит АВ.
Вторая и третья операции циркулем выполняются непосредственно. Рассмотрим доказательство 4 -5 основных операций.
Задача 2. Построить точки пересечения окружности (О, r) и прямой, заданной двумя точками А и В.
Построение в случае, когда центр О не лежит на данной прямой АВ.
Строим точку О1, симметричную центру О данной окружности относительно данной прямой АВ. Проводим окружность (О1, r) которая перечёт данную окружность в искомых точках Х и Y.
Доказательство. В предыдущей задаче было показано, что точки Х иY лежат на прямой АВ, однако эти точки принадлежат и заданной окружности (О, r), следовательно, {X’Y}= (О, r)∩(АВ).
Построение в случае, когда центр О данной окружности лежит на прямой АВ.
Произвольным радиусом d проводим окружность (А, d) так, чтобы она пересекалась с данной окружностью в двух точках С и D. Делим дуги СD данной окружности (О, r) пополам. Точки Х и Y – искомые.
Задача 3. Построить точку Х пересечения двух прямых АВ и СD, каждая из которых задана двумя точками.
Построение. Строим точки С1 и D1, симметричные соответственно точкам С и D относительно данной прямой АВ. Проводим окружности (D1, /CC1/) и (С, / СD/) и обозначаем через Е точку их пересечения. Строим отрезок х, четвёртый пропорциональный к отрезкам DE, DD1, CD. В пересечении окружностей (D, x) и (D1, х) получим искомую точку Х.
Доказательство.Так как точка С1 симметрична точке С, а точка D1 симметрична точке D, то, очевидно, мы найдём точку пересечения данных прямых, если построим точку пересечения прямых СD и C1D1 .
Фигура С C1D1 Е – параллелограмм, следовательно, точки D, D1 , Е лежат на одной прямой ((DE) ׀׀(СС1), ((D D1) ׀׀(СС1)). Треугольники CDE и XDD1 подобны, поэтому / DE/ : /DD1/ = / СE/ : / D1Х/, но /CE/ = /CD/ =/C1D1/
Отрезок х = D1Х является четвёртым пропорциональным к отрезкам DE, DD1, CD.
Таким образом, было показано выполнение основных операций с помощью одного только циркуля.
Допустим теперь, что некоторую задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой, требуется решить только циркулем. Представим себе эту задачу решённой циркулем и линейкой; в результате решение задачи сведётся к выполнению некоторой конечной последовательности пяти основных операций. Приведённый метод решения геометрических задач на построение одним циркулем приводит к весьма сложным и громоздким построениям, но всё же он показывает справедливость основной теоремы циркуля.
Решение задач на построение только одним циркулем
В ходе рассмотрения теории о задачах на построение только циркулем я составил несколько своих задач и решил их.
Задача №1
Построить прямую, перпендикулярную к заданному отрезку AB и проходящую через один из его концов.
Дано: [AB]
Построить: (AE) [AB].
Построение:
Проводим окружность (B,[AB]), берем на ней произвольную точку С и описываем окружность (С,[AС]). Пусть D – точка пересечения этих окружностей. Если теперь провести третью окружность (А,[AD]) до пересечения ее с окружностью (С,[AС]) в точке Е, то получим (AE) [AB], т.е. (AE) – искомая прямая.
Доказательство:
Отрезок АС соединяет центры окружностей (А,[AD]) и (С,[AС]) , DE
– их общая хорда. Значит, (AC) [DE] и CAD = CAE ( треугольник ADE – равнобедренный).
Задача №2
Построить отрезок, в n раз меньший данного отрезка АВ.
Дано: [AB] и n N.
Построить: [AX], [AX] = [AB].
Построение:
Строим отрезок [AC] = n *[AB]. Проводим затем окружности (А,[AС]), (С,[AС]) и (С, а), которые пересекутся в точках D и E. Если теперь провести окружности (D, a) и (С,[DE]), то в пересечении их получим точку Х, для которой [AX] = [AB].
Доказательство:
Точка Х лежит на прямой АВ, так как [AC] [DE] и [CX] [DE] (фигура CEDX – параллелограмм). Из подобия равнобедренных треугольников ACD и ADX получим [AX] = [AB].
Задача №3
Разделить отрезок АВ на три равные части.
Дано: [AB].
Построить:[AX] [XY] [YB],
X [AB] и Y [AB].
Построение:
Строим на прямой АВ точки C и D так, чтобы [CA] = [AB] = [BD]. Проводим окружности (С,[СB]), (С,[СD]), (D,[AD]) и (D,[CD]), в пересечении которых получим точки Е, Е1,F и F1. В пересечении окружностей (E,[СE]) и (E1,[СE1]), (F,[DF]) и (F1,[DF1]) определим искомые точки X и Y, делящие отрезок АВ на три равные части.
Доказательство:
Из подобия равнобедренных треугольников CEX и CDE следует: [CX] : [CE] = [CE] : [DC]. Принимая во внимание, что [CE] = 2[AB] и [CD] = 3[AB], получим [CX] = [AB], следовательно, [AX] = [AB].
Задача №4
Построить центр начерченной окружности.
Дано: окружность .
Построить: Х – центр окружности.
Построение:
Берём на данной окружности точку А и произвольным радиусом d проводим окружность (А, d), в пересечении получим точки B и D. На окружности (А, d) определяем точку С, диаметрально противоположную точке В. Проводим, далее, окружности (С,[СD]) и (А,[СD]) и обозначаем через Е точку их пересечения. И, наконец, описываем окружность (Е,[СD]), которая пересечет окружность (А, d) в точке М. Отрезок ВМ равен радиусу данной окружности. Окружности (В,[ВМ]) и (А,[ВМ]) определят искомый центр начерченной окружности.
Доказательство:
Равнобедренные треугольники ACE и AEM конгруэнтны,
следовательно EAM = ACE.
Далее, BAE = ACE + AEC ( BAE – внешний угол треугольника
ACE), и, с другой стороны, BAE =
BAM + EAM. Отсюда BAM = AEC.
Таким образом, равнобедренные треугольники ABM и ACE подобны, следовательно, [BM] : [AB] = [AC] : [CE] или [BX] : [AB] = [AC] : [CD].
Из последнего соотношения следует, что равнобедренные
треугольники ABX и ACD подобны, значит,
BAX = ACD = BAD = DAX; последние два равенства следуют из
того, что BAD = ADC + ACD =
2ACD = 2BAX .
На основании BAD = DAX заключаем, что равнобедренные треугольники BX и ADX конгруэнтны, следовательно, [BX] = [AX] = [DX].
Точка X – искомый центр окружности.
Задачи для самостоятельного решения:
12.Удвойте данный отрезок.
13. На данном отрезке постройте:
а) квадрат; б) правильный шестиугольник
14. В данную окружность впишите правильные n-угольники:
а) n = 3; б) n = 8; в) n = 10
15. В данный равносторонний треугольник впишите квадрат.
Построение без циркуля
При решении геометрических задач на построение обычно пользуются линейкой и циркулем. Мы сейчас увидим, однако, что иной раз удаётся обходиться без циркуля в таких случаях, где на первый взгляд он представляется совершенно необходимым.
Задача 1.
Из точки А , лежащей вне данной полуокружности, опустить на её диаметр перпендикуляр, обходясь при этом без циркуля. Положение
центра полуокружности не указано.
Решение: Нам пригодится здесь то свойство треугольника, что все высоты его пересекаются в одной точке. Соединим А с В и С; получим точки DиE.Прямые ВЕ и СD, очевидно, - высоты треугольника АВС. Третья высота – искомый перпендикуляр к ВС – должна проходить через точку пересечения двух других, т.е. через М. Проведём по линейке прямую через точки А и М, мы выполним требования задачи, не прибегая к услугам циркуля.
Если точка расположена так, что искомый перпендикуляр падает на продолжение диаметра ,то задача будет разрешима лишь при условии, что дан не полукруг, а полная окружность (это показывает, что решение не отличается от того, с которым мы уже знакомы; только высоты треугольника АВС пересекаются здесь не внутри, а вне его.
Задача Наполеона.
Сейчас мы занимались построением, выполняемым при помощи одной лишь линейки, не обращаясь к циркулю (при условии, что одна окружность на чертеже дана заранее). Рассмотрим теперь несколько задач, в которых вводится обратное ограничение: запрещается пользоваться линейкой, а все построения нужно выполнить только циркулем. Одна из таких задач заинтересовала Наполеона I (интересовавшегося, как известно, математикой). Прочтя книгу о таких построениях итальянского учёного Маскерони, он предложил французским математикам следующую
Задачу:
Данную окружность разделить на четыре равные части, не прибегая к линейки. Положение центра окружности дано.
Решение: Пусть потребуетсяразделить на четыре части окружность О. От произвольной точки А откладываем по окружности три раза радиус круг: получаем точки В, С и D. Легко видеть, что расстояние АС - хорда дуги, составляющей 1/3 окружности, - сторона вписанного равностороннего
треугольника и, следовательно, равно rV3 , где r – радиус окружности. АD, очевидно, - диаметр окружности. Из точек А и Dрадиусом, равным АС, засекаем дуги, пересекающиеся в точке М. Покажем, что расстояние МО равно стороне квадрата, вписанного в нашу окружность. В треугольнике АМО катет МО = VАМ2 – АО2=V3r2 – r2 = rV2,т.е.стороне вписанного квадрата. Теперь остаётся только раствором циркуля, равным МО, отложить на окружности последовательно четыре точки, чтобы получить вершины вписанного квадрата, которые, очевидно, разделят окружность на четыре равные части.
Задача 3.
Вот другая, более лёгкая задача в том же роде.
Без линейки увеличить расстояние между данными точками А и В в пять раз, - вообще в заданное число раз.
Из точки В радиусом АВ описываем окружность. По этой точке окружности откладываем от точки А расстояние АВ три раза: получаем точку С, очевидно, диаметрально противоположную А. Расстояние АС представляет собой двойное расстояние АВ. Проведя окружность из С радиусом ВС, мы можем таким же образом найти точку, диаметрально противоположную В и, следовательно, удалённую от А на тройное расстояние АВ, и т.д.
Методика решения задач на построение
При решении сложных задач основную трудность представляет вопрос о том, как найти способ решения. Решение этого вопроса облегчается, если придерживаться определенной схемы рассуждений. Эта схема состоит их четырех этапов: анализ, построение, доказательство, исследование. Заметим, что эта классическая схема не является, безусловно, необходимой и неизменной. Допустимы отклонения в зависимости от задачи.
1. Анализ. В анализе ведется поиск решения задачи следующим образом: предполагают задачу решенной, строят (от руки) искомую фигуру пристраивают к ней данные с учетом тех отношений, которые указаны в условии задачи. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению другой фигуры Ф1, построение Ф1 сводят к построению Ф2 и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Фn, построение которой известно.
Если на вспомогательном чертеже не удастся найти ход решения, то целесообразно ввеcти в чертеж вспомогательные фигуры: сделать дополнительные построения, сделать геометричеcкие преобразования и т.д.
2. Построение состоит в указании конечной последовательности основных построений (или ранее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.
Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого шага с помощью указанных инструментов.
3. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет условию задачи.
Доказательство проводится в предположении, что каждый шаг построения может быть выполнен.
4.Исследование. При анализе, построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, предполагая выполнимость шагов построения. Идя полного решения задачи нужно выяснить:
1)всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построения избранным способом;
2) можно ли и как построить искомую фигуру, если для какого-нибудь выбора данных указанный способ построения не пригоден;
3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.
Эти вопросы составляют содержание исследования. Итак, исследование ставит цель - установить условия разрешимости и определить число решений.
Практически исследование проводят по ходу построения, рассматривая каждый шаг построения на возможность и единственность.
Однако такое исследование связано с данным способом построения. В этом случае остается открытым вопрос: нет ли других решений при другом способе решения. На этот вопрос отвечают с помощью указанного выше приема: доказывают, что произвольное решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений.
Задача. Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при основании α и разность двух других сторон d.
Решение. Заметим, что в условии задачи не указаны инструменты. B таких случаях будем полагать (как и в школе), что задачу надо решить с помощью линейки и циркуля.
Анализ. Поиск решения задачи проведем, полагая задачу решенной. Пусть ∆ABC - искомый треугольник: AB = a, AC–BC = AD=d, = α. Замечаем, что ∆АВD= определен по двум сторонам и углу между ними.
Третья вершина С искомого треугольника может быть найдена как точка пересечения луча АD и прямой l - серединного перпендикуляра отрезка ВD. Иначе говоря план решения найден, построим ∆АВD, а затем и третью вершину С.
Построение. В этом пункте реализуем план решения.
Строим последовательно:
1) l, l – серединный перпендикуляр отрезка BD;
2)C, C = AD ∩ l.
Треугольник АВС – искомый.
Доказательство. Действительно, ∆АВС удовлетворяет всем условиям задачи, т.к. по построению
АВ = а, АС – ВС = АD = d, BAD = α.
Исследование. Проверил каждый шаг построения на осуществимость и единственность. Первый шаг возможен и единственен тогда и только тогда, когда 0AB2 ; середина отрезка AB, если 2a2 = AB2 ; и пустое множество, если 2a2