V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математика и музыка - родные сестры
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Музыку я разъял как труп,Проверив алгеброй гармонию»
От этих слов, вложенных А.С. Пушкиным в уста Сальери, веет мертвящей пропастью между музыкой и математикой. Отравлен Моцарт - живое воплощение музыки, и сама музыка мертва под математическим скальпелем убийцы гения. Разве не отражают эти пушкинские строки мнение большинства людей, что между математикой и музыкой нет, и не может быть ничего общего?
Между тем именно исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики: например крупная работа Леонарда Эйлера - "Диссертация о звуке" начиналась словами: "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков". А. Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". И.Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики".
Почему же скрытой? Ведь в Древней Греции музыка прямо считалась частью математики, а еще точнее, разделом теории чисел. Первым, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор.
Тогда получается, что математика и музыка – сёстры? Или нет?
На этот же вопрос я попросила ответить учеников своей школы. Результаты опроса показали:
40% считают, что существует;
50% считают, что не существует;
10% не знают ответа на этот вопрос.
Ни один человек в мире не может прожить без математики и без музыки. Может ли быть между ними какая-то связь? В своей работе я постараюсь найти ответ на этот вопрос и доказать, что связь между музыкой и математикой существует.
В своей работе я выдвинула следующую гипотезу: любое музыкальное произведение можно представить как некую математическую модель.
Целью моей работы является доказательства того, что математика и
музыка тесно связаны, в них есть очень много общего.
Для достижения поставленной цели я определила ряд задач:
исследовать возникновение математики;
изучить возникновение музыки;
рассмотреть предположения древних философов;
найти сходства и различия между математикой и музыкой.
Знакомство с математикой и её историей
Для начала нужно разобраться, что такое математика. Это слово нам очень хорошо знакомо, но если посмотреть в словарях, то мы узнаем много нового. С этого я и начала свою исследовательскую работу. И вот что у меня получилось:
Слово «математика» произошло от древнегреческого, что означает изучение, знание, наука.
А вот как В. Даль объясняет значение этого слова:
«МАТЕМАТИКА ж. наука о величинах и количествах; все, что можно выразить цифрою, принадлежит математике - чистая, занимается величинами отвлеченно; - прикладная, прилагает первую к делу, к предметам. Математика делится на арифметику и геометрию, первая располагает цифрами, вторая протяжениями и пространствами. Алгебра заменяет цифры более общими знаками, буквами; аналитика (включающая в себе и алгебру) добивается выразить все общими формулами, уравнениями, без помощи чертежа. Прикладная математика, по предмету зовется: механикою, оптикою, геодезиею и пр.»
В современных словарях даётся такое пояснение:
«Математика – наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы».
Значит, основу математики составляют величины, количественные отношения, формулы, которые в свою очередь состоят из чисел.
Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.
Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.
Знакомство с музыкой и её историей
А теперь необходимо посмотреть, что же такое музыка и из чего она состоит:
Музыка (образовано от греческого слова муза) - искусство, средством воплощения художественных образов для которого являются звук и тишина, особым образом организованные во времени.
Пояснение В. Даля:
«МУЗЫКА ж. искусство стройного и согласного сочетания звуков, как последовательных (мелодия, напев, голос), так и совместных (гармония, созвучие)».
Развитие музыки неотделимо от деятельного развития чувственных способностей человека - ход слухового освоения человеком музыкального материала в изменяющихся культурных условиях составляет наиболее фундаментальный уровень истории музыки.
В наше время музыкой могут быть названы и чарующие переливы арфы, и скрип открываемой двери, и шум заводского цеха. Все это - искусство организации звуковых последовательностей. "Сырьем" для большинства сонат, песен, опер служат музыкальные звуки (нотами), которые отличаются от шумов. Чтобы прояснить суть этого отличия, уточним, что же такое звук.
Всякий звук - это колебания обычного воздуха. Когда человек поет, у него происходит колебание голосовых связок. Когда звучит музыкальный инструмент, колеблются струны. Одна из основных характеристик колебательного процесса - частота колебаний. Музыкальные звуки имеют ту особенность, что им присуща вполне определенная частота колебаний. А вот про шумы нельзя сказать, что им соответствует какая-либо конкретная частота - они представляют собой беспорядочную смесь.
Размышления древних математиков и музыкантов.
Так в чем же сходство математики и музыки? Обратимся к трудам человека, которого знают и математики, и музыканты. Как вы могли догадаться это Пифагор. Все знают его теорему и таблицу. А вот музыкантам он известен как создатель теории музыки.
Гармония, по мнению Пифагора, есть система трех созвучий — кварты, квинты и октавы. На базе тетрахорда (четырех струн, четырех звуков, четырех нот, четырех чисел) 6, 8, 9 и 12 можно построить и полный звукоряд, двенадцати нотный или какой-нибудь еще. Полный строй получался, если откладывать от какой-либо ноты чистую квинту вверх (или вниз). Таким образом, можно получить все ноты, примерно соответствующие нашему двенадцати нотному звукоряду. Опуская (или поднимая) ноты на октаву вниз, сводя их в одну октаву, можно получить звуковысотные соотношения для всех нот.
Пифагор считал математику и музыку неразрывными по отношению друг к другу. Такого же мнения были его ученики - пифагорейцы. Они считали, что музыка является частным проявлением математики. Они создали учение о Космосе, как о музыкально звучащем теле. По их мнению, Космос – это ряд небесных тел, каждое из которых при вращении издает свой музыкальный звук; расстояния между сферами и издаваемые ими звуки соответствуют гармоничным музыкальным интервалам.
Сходства и различия математики и музыки
Но неужели сходство есть только в утверждениях древних философов? Конечно, нет! Сходства можно увидеть в знакомом всем инструменте – фортепьяно.
Музыка и дроби
А что же насчет звуков? Неужели главная составляющая музыки не связана с математикой? Сегодня вряд ли кто-нибудь решится сводить музыку к определенным числовым действиям. Очевидно, надо начать с другого. Окружающий нас мир кроме звуков наполнен еще и ритмами. О чем говорит это слово? Посмотрите вокруг: ритмично звучат шаги, ритмичен ход часов, ритмично биение пульса человека, ритмично наше дыхание и т.д. И стоит нам услышать слово «ритм», как наши мысли невольно обращаются к музыке. И это понятно: ведь ритм – один из важнейших элементов музыки. Оказывается, и среди чисел можно обнаружить ритмы. Возьмем натуральный ряд чисел: 0,|1,2,3|4,5,6|7,8,9|и т.д. Увеличивая каждое число на «1», будем обращать внимание на все числа, кратные 3. И вот что у нас получится (см. пример). Мы пришли к красивому, равномерному ритму, звучащему как музыкальный размер 3/4.
На уроках математики мы изучали обыкновенные дроби и действия над дробями. В музыкальной школе на уроках теории музыки мы тоже изучали дроби, но применительно к музыке.
В музыке, как и в математике, все надо считать: 7 нот, 5 линеек нотного стана, интервалы. Ноты все разные: одни короткие, другие длинные. Музыка звучит во времени. Высчитать длительность того или иного звука люди придумали с помощью счета:- целые ноты(1,2,3,4);- половинки(1,2);- четверти(1); восьмые (на один-два звука). В музыке мы имеем дело с короткими и длинными длительностями, они составляют основу любого ритма: целая нота (), половинная (), одна четверная (), одна восьмая (), одна шестнадцатая (). Каждая образуется делением целой ноты на два, четыре, восемь шестнадцать. Названия длительности служат одновременно и названиями чисел. Здесь же проявляется геометрическая прогрессия и если записать длительности от «целой» (которая принята в музыке за единицу) по степени убывания, то получим:
При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность). Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби.
Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент.
Геометрия в музыке
В музыке, как и в математике, тоже есть понятие параллельности. Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть, никогда не пересекаются.
Так же расположение октав на фортепиано можно сравнить с координатной прямой. Все мы знаем, что координатная прямая не имеет конца и начала, но имеет точку О(0), которая делит её на равные части, Справа от точки О находятся положительные числа по порядку (1,2, 3, 4,), а слева отрицательные в обратном порядке (-1, -2, -3, -4). На фортепьяно примерно так же: оно условно делится на равные части. Справа от середины октавы идут по порядку (1,2,3,),а слева в обратном порядке (малая, большая, контроктава, субконтроктава). Но фортепьяно, в отличие от прямой, имеет начало и конец.
Сходства музыки и математики можно увидеть и в системе координат. Для начала давайте познакомимся и с её историей. Такая простая и привычная вещь, как система координат, была введена в математический инструментарий не так давно: ее изобрел Декарт в XVII веке. Это изобретение по праву называют гениальным - трудно себе представить развитие алгебры и геометрии без системы координат. Но вот что интересно: в том, что математика лишь с XVII века пользуется этой замечательной системой, виноваты только сами математики - они в течение шести веков не замечали ту же систему координат буквально у себя под боком - в музыке, а точнее, в системе записи музыки, разработанной Гвидо Аретинским еще в XI веке. Действительно, посмотрев на ноты, мы увидим не что иное, как самый настоящий график музыки: по вертикальной оси определяется высота звука, по горизонтальной - момент его появления, т.е. время.
Противоположность
В математике существуют противоположности:
Плюс – минус,
Деление – умножение,
Четное число – нечетное число,
Больше – меньше,
Простое число – составное число и т.д.
В музыке так же существуют пары противоположностей, основной из которых является «медленно – быстро». Эта пара играет очень важную роль в исполнении музыкальных произведений: ведь, например, существуют песни медленные и быстрые. Если изменить темп исполнения, то песня потеряет характер и смысл. Таким образом, искажая темп, можно исказить и все произведение.
Есть в музыке еще одна противоположность – высокое и низкое. Это в большей степени относится к музыкальным инструментам. Высоким звучанием отличаются, например, флейта – пикколо, скрипка; низким – контрафагот, туба, контрабас. Противоположностей в музыке очень много: громкий – тихий, быстрый – медленный, длинный – короткий, многоголосие - соло, вокальное исполнение – инструментальное и т.д.
Симметрия
Очень часто в музыке используется симметрия. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр. – круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой, и наоборот.
5. Исследование музыкальных произведений
Классическое произведение Ф. Шопена (1810-1829) «Мазурка ля минор» можно рассмотреть с математической точки зрения. (Приложение 1)
Попробуем сделать математическую модель этого произведения:
Каждой ноте присваивали номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2 – II, 3 –III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – I, 9 – II, 0 – III.
Переложили ноты на цифры, получив при этом такой ряд чисел.
5 | 5654 | 5234 | 3432 | 3712 | 1237 | 14576 | 5423 | 1 ||
Черта между цифрами служит тактовой чертой, то есть делит их на такты так, как сделано в произведении. В музыке есть понятие об устойчивых ступенях – ступенях, на которых строится тоника: 1, 3, 5. Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность.
В первом такте сумма равна 10 (5+5), во II – 8(5+3), в III – 6(3+3), в IV – 4(3+1), в V – 4(1+3), в VI – 6(1+5), в VII – 8(5+3) .
Получили ряд чисел: 10, 8, 6, 4, 4, 6, 8… и т.д. Следовательно, можно заметить закономерность, что в произведении повторяется группа цифр 10 8 6 4 и наоборот.
Аналогичным образом было рассмотрено современное классическое произведение Яна Тирсена «La Valse D'amelie» (2001 год). (Приложение 2)
Ноты переложили на цифры.
Получили следующее:
4 | 443 | 2 | 21 | 4 | 454323 | 2 | 21 | 3 | - такой фрагмент повторяется постоянно.
Сложив номера устойчивых ступеней, получили:
0 | 3 | 0 | 1 | 0 | 11 | 0 | 1 | 3 | - будет повторяться циклически.
Заключение
Материал, с которым я познакомилась, убедил меня в том, что «математика и музыка - сестры», которые не могут существовать отдельно. И если «математика ум в порядок приводит», то музыка воспитывает уважение к числу, формирует нравственные качества человека, помогает нам понять окружающий мир и научиться более тонко его чувствовать.
О взаимосвязях математики и музыки можно говорить бесконечно долго, открывая все новые и новые, неожиданные и часто странные, одинаковые определения, понятия и смыслы. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты. Вот что говорил далекий от математики человек – известный пианист Генрих Нейгауз: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства».
Музыкальная логика и математика развивают мышление, даже упражнение пальцев при игре на музыкальных инструментах укрепляет мозговые клетки.
Данное исследование доказывает, что музыка помогает изучать математику. Ребятам, которые занимаются музыкой легче справляться с математикой в школе. И я с огромным интересом буду продолжать заниматься моими любимыми предметами.
Список литературы
1. «Элементарная теория музыки» В.Вахромеев.
2. Р.Глиэр О профессии композитора и воспитании молодежи. «Советская музыка», 1954, №8
3. INTERNET http://www.ug.ru/97.24/t8_1.htm http://www.agnuz.info/book.php?id=391&u rl=page25.htm http://exlibris.ng.ru/masscult/2001-03- 15/4_dances.html
http://relaxdance.narod.ru/Chapter1/1.htm
https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2014/01/20/issledovatelskaya-rabota-matematika-i-muzyka
http://pandia.ru/text/77/497/8541.php
4. Электронная энциклопедия.
5. С. Газарян «В мире музыкальных инструментов». Москва. «Просвещение». 1985г.
6. Варга Б., Димень Ю., Лопариц Э. Язык, музыка, математика: Пер. с венгр. / Перевод Данилова Ю. А. — М.: Мир, 1981.-248 с. с ил.
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3