V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Нестандартные приёмы решения квадратных уравнений
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Уравнение - одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение (или систему уравнений) для определения неизвестной величины. Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры.
В школьном курсе математики решение уравнений начинается практически с первого класса и сопровождает нас всю школьную жизнь. Квадратным уравнениям посвящён большой раздел алгебры 8 класса. Мы изучаем, что такое квадратное уравнение, как решить уравнение с помощью определенной формулы, знакомимся с теоремой Виета и ей обратной. Но, существуют и другие способы решения уравнений такого вида, которые могли расширить наши знания об уравнениях и методах нахождения их корней. Поэтому,
цель работы:
Научится решать квадратные уравнения способами, которыми в школьной программе практически не рассматриваются или им уделяется недостаточной внимание.
В ходе исследования решаются следующие задачи:
- познакомиться с историей развития решения квадратных уравнений;
- изучить методы решения квадратных уравнений, изложенные в школьных учебниках;
- выявить нестандартные способы решения квадратных уравнений;
- рассмотреть на конкретных примерах эти методы решения.
Исторические сведения о квадратных уравнениях
4000 лет тому назад в двуречье Тигра и Евфрата возникло могучее государство Вавилон. Многочисленные документы той эпохи(глиняные плитки с нанесенным на них клинописными знаками, расшифрованные только в начале XX века) свидетельствуют о том, что вавилоняне умели решать квадратные уравнения. На одной из клинописных табличек записана такая задача: «Множимое и множитель 2;30». Речь в ней идет о двух взаимообратных величинах x и y(xy=1), сумма которых равна 2;30, т.е. 2+30/60+2,5. Таким образом, ученику для решения предлагается система, которую в современной символике можно записать так
Где a=2,5, b=1. Далее в тексте таблички указывается, какие операции нужно проделать, чтобы получить ответ. Практически дается рецепт для решения квадратного уравнения z2-az+b=0, к которому сводится эта система.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел».
В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в)-собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Вот одна из задач Диофанта: «найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96». Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+Х, другое же меньше, т.е. 10-Х. Разность между ними 2Х. Отсюда Х=2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение Х+-2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Задачи на квадратные уравнения встречаются и в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax²+bx=c, a>0. Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары сформулирована в виде стихотворения:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать повисая…
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?
Однако первым руководством по решению задач,
Получившим широкую известность, стал труд багдадского учёногоIXв. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия трактата- «Китаб аль-джеберваль-мукабала»(«Книга о восстановлении и противопоставлении»)- со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Вот как решал квадратное уравнение среднеазиатский ученый ал-Хорезми:
Х2+10Х=39
Он писал: «Правило таково:
Раздвои число корней, Х=2Х*5
Получите в этой задаче пять, 5
Умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5*5+25
Прибавь это к тридцати девяти, 25+39
Будет шестьдесят четыре 64
Извлеки из этого корень, будет восемь 8
И вычти из этого половину числа корней, т.е пять 8-5
Останется 3
Это будет корень квадрата, который ты искал.»
А второй корень? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не известны.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных у единому каноническому виду x2+bx+c=0, было сформулировано в Европе лишь в 1554 г. Штифелем.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. Итальянским математиком
Леонардом Фибоначчи
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Что такое квадратное уравнение
Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение общего вида