V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Нестандартные задачи на движение

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Шинкарев Е.А. 1

---

1МБОУ "СОШ № 30"

Кудрявцева  Н.Н. 1

---

1МБОУ "СОШ № 30"

Работа в формате PDF

860.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В данной работе рассматривается решение нестандартных задач на движение. Нестандартные задачи — задачи, для которых нет общего алгоритма решения. В школьном курсе математики основное внимание уделяется задачам на движение по прямой. На ОГЭ(задание 22), ЕГЭ(задание B13) и олимпиадах предлагают задачи, которых мало в школьной программе, к примеру, на круговое движение и на движение протяжённых тел. Результаты выпускных экзаменов 2017 года по математике в 9 классах показали, что учащиеся не умеют решать задание 22 (94% не приступают [7, 15с.]). Задание 13 профильного уровня ЕГЭ проверяло умение строить и исследовать простейшие математические модели – решать текстовые задачи на движение. По результатам ЕГЭ 2017 года только 31% выпускников справились с заданием. Не дали ответа 8% участников экзамена, выполнявших это задание[17]. Типичные ошибки связаны в первую очередь с непониманием условия задачи и неумением строить математические модели.

Проанализировав результаты опроса, проведенного среди учащихся 8-11 классов (результаты анкетирования в приложении 1,2) выяснил, что школьники не умеют решать задачи на движение по кругу и на движение протяжённых тел.

Охватить все задачи невозможно, поэтому из всех задач, связанных с движением, выбрали лишь задачи, которые условно можно отнести к следующим группам:

• Задачи на движение по кругу
• Задачи на движение протяжённых тел

Актуальность: Учащиеся 8-11 классов заинтересованы в получении дополнительных знаний, позволяющих решать нестандартные задачи на движение.

Объект исследования: Нестандартные задачи на движение.

Предмет исследования: Группы задач и методы решения задач на движение по кругу и на движение протяжённых тел.

Цель: Исследование методов решения нестандартных задач на движение.

Задачи: ·Проанализировать задачи на движение, предложенные в школьных учебниках и материалах олимпиад.

• Ознакомиться с задачами открытого банка задач ОГЭ (задачи №22) и ЕГЭ (B12) ·Систематизировать задачи по типам.
• Привести примеры и решения задач разных типов, а также комбинированных задач.
• К каждому типу задач подготовить интерактивные модели.
• Составить сборник задач

Гипотеза: Умение решать нестандартные задачи на движение помогает успешно сдать экзамены.

Методы:

• Изучение информационных источников
• Решение задач
• Тестирование учащихся 8-11 классов

I Задачи на круговое движение

Задачи на движение по окружности оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение двух тел, очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Такая модель помогает разобраться с условием задачи, получить нужные уравнения даже в таком относительно трудном случае, как движение по окружности [6]

Задачи на движение по кругу мы разделили по следующим критериям(рис. 1).

Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из одной точки.

Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте из одной точки со скоростями v1 и v2 (v₁ > v ₂) Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v₁ и v ₂ соответственно ( v₁ > v ₂ соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v₁ - v ₂ и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.[18]

Задача: Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. (рис. 2) [5]

(рис. 2)

Решение:

Зная, что за 2/3 часа первый автомобиль прошел на круг, то есть на 14 км больше, чем второй, составим уравнение.

=x×+14;

2х=160 −14⋅3;

x=59.

Ответ: 59 км/ч [11]

Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из диаметрально противоположных точек.

Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при одновременном старте из диаметрально противоположных точек со скоростями v₁ и v ₂ (v₁ > v ₂) Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v₁ и v ₂ соответственно (v₁ > v ₂ соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v₁ и v ₂ и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на половину длинны круга больше.

Задача: Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?(рис. 3)[14]

(рис. 3)

Решение:

Пусть мотоциклисты находятся в пути одно и то же время, равное t часов. Для того чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы, то есть 14:2=7 км. Поэтому путь, пройденный вторым мотоциклистом, на 7 км больше, чем путь, пройденный первым:

(х+21)t−хt=7;

21t=7

t=

Таким образом, мотоциклисты поравняются через t= часа или через 20 минут. Приведём другое решение

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

Ответ: 20 мин

Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в разное время из одной точки.

Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в одном направлении при не одновременном старте из одной точки со скоростями v₁ и v₂ (v₁ > v₂) Итак, если две точки не одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v₁ и v₂ соответственно (v₁ > v₂ соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v₁ - v₂ и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.

Задача: Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.(рис. 4 и 5) [20]

Решение

(рис. 4) (рис. 5)

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x км/ч, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составляет 60 км/час.

Итак, 3х=60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

Ответ: 80км/ч.

Задачи на движение по кругу, в противоположных направлениях, в одно время из одной точки.

Рассмотрим движение двух точек по окружности длины s в противоположных направлениях при одновременном старте из одной точки со скоростями v₁ и v₂ (v₁ > v₂) Итак, если две точки одновременно начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями v₁ и v₂ соответственно (v₁ > v₂ соответственно), то первая точка приближается ко второй со скоростью v₁ + v₂

Задача: На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах. (рис. 6 и 7) [19]

(рис. 6) (рис. 7)

Пусть х м/с– скорость одной точки, движущейся по часовой стрелке, а у м/с– скорость второй. Тогда до встречи первая точка пройдет расстояние xt м, а вторая пройдет yt м расстояние.

После встречи первой точке до места старта нужно пройти такое расстояние, какое вторая прошла до встречи, и тратит первая точка на это время, равное 10 с, а второй наоборот, нужно пройти то расстояние, которое прошла до встречи первая, и тратит она на это 16 с. Получим такие равенства:

Xt=16y

Yt=9x

Выразим время движения точек до встречи t

t= =

откуда имеем

x=

По условию, первое тело прошло на 10 м больше второго, то есть

16y-9x=10

Заменяем в этом уравнении одну из неизвестных:

16y-12y =10

И находим Y=2,5 откуда x=.

Полная длина круга равна: 70

Ответ: длина окружности 70 м.

II Задачи на движение протяжённых тел

Задачи на движение протяжённых тел оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение двух тел, очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). Сумма длин тел часто пройденный путь или его часть. Такая модель помогает разобраться с условием задачи, получить нужные уравнения даже в таком относительно трудном случае, как движение протяжённых тел. Задачи на движение протяжённых тел мы разделили на следующие виды (рис. 8)

(рис. 8)

2.1 Задачи на движение двух протяжённых тел в одну сторону

Рассмотрим задачи на движение двух тел, имеющих длину в одну сторону в этом случае скорость сближения равна разности скоростей тел, а пройденный передней точкой догоняющего тела путь равен сумме первоначального расстояния от передней точки догоняющего тела до задней точки второго, суммы длин тел, конечного расстояния от задней точки первого тела до передней точки второго.

Задача: По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 130 метров, второй— длиной 120 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 600 метров. Через 11 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 800 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? (рис. 9)[16]

Решение:

(рис. 9)

Расстояние, пройденное носом 2 сухогруза равно: первоначальное расстояние от носа 2 сухогруза до кормы 1(600) + длина 1(130) + длина 2(120) + конечное расстояние от носа 1 до кормы 2(800) = 1650 м

V= S : t

V = 1650 : 11= 150 м/мин =9 км/ч

Ответ: 9 км/ч

2.2 Задачи на движение двух протяженных тел навстречу

Рассмотрим задачи на движение двух тел, имеющих длину навстречу в этом случае скорость сближения равна сумме скоростей тел, а пройденный передней точкой одного из телпуть равен сумме первоначального расстояния от передней точки догоняющего тела до передней точки второго, суммы длин тел, конечного расстояния от задней точки первого тела до задней точки второго.

Задача: По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.(рис. 10) [4]

(рис. 10)

Решение:

65 +35 =100 (км/ч) =100000 (м/ч)

Скорость навстречу друг другу (сумма скоростей при движении навстречу друг другу). Решим задачу с помощью уравнения.

Пусть х (м) – длина товарного поезда,

Тогда S =(х+700) м, t = 36 с.= 36/60 мин.=36/ 3600 ч.=0,01ч.

v =100 000 м/ч.,

S= vt

х +700 =100 000 × 0,01,

х +700 =1000,

х =300.

Длина товарного поезда = 300м

Ответ: 300м. [4]

2.3 Задачи на движение одного протяжённого тела относительно другого неподвижного

Рассмотрим задачи на движение тела, имеющего длину относительно неподвижного тела, имеющего длину. В этом случае путь равен сумме первоначального расстояния от передней точки движущегося тела до задней точки неподвижного, суммы длин тел и конечного расстояния от задней точки движущегося тела до передней точки неподвижного.

Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах. (рис. 11)[4]

Решение:

(рис. 11)

Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной 800 метров за t = 1мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние

S=vt

S=1500×1=1500, 1500-800=700 (м). (Минус длина лесополосы 800 метров и получим длину поезда равную 700 метров).

Ответ: 700 м. [4]

2.4 Задачи на движение протяжённого тела относительно неподвижной точки

Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 50 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 72 секунды. Найдите длину поезда в метрах. (рис. 12)[16]

Решение:

(рис. 12)

Пройденное расстояние равняется длине поезда.

S = V × t

t = 72 сек. = 0.02 ч.

S=1 км

Ответ 1 км

2.5 Задачи на движение протяжённого тела и точки навстречу

Рассмотрим задачи на движение протяжённого тела и тела не имеющего длинны навстречу. В этом случае скорость сближения равна сумме скоростей тел, а пройденный передней точкой протяжённого тела путь равен сумме первоначального расстояния от передней точки протяжённого тела до второго, длины протяжённого тела, конечного расстояния от задней точки первого тела до второго.

Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (рис. 13)[16]

Решение:

(рис. 13)

Будем считать, что пешеход неподвижен, а поезд двигается со скоростью v (м/мин), равной сумме скоростей поезда и пешехода. Пешеход не имеет «протяженной» длины (если бы это была колонна солдат, то мы бы учли это).

За 30 секунд со скоростью, равной разности скоростей поезда и пешехода, поезд пройдет расстояние, равное своей длине.

V=60 км/ч=1000 м/мин

t=30 сек. = мин

S= 1000 х = 500 м

Ответ: 500 м. [16]

Задачи на движение протяжённого тела и точки в одну сторону

Рассмотрим задачи на движение протяжённого тела и тела не имеющего длинны навстречу. В этом случае скорость сближения равна разности скоростей тел, а пройденный передней точкой протяжённого тела путь равен сумме первоначального расстояния от передней точки протяжённого тела до второго, длинны протяжённого тела, конечного расстояния от задней точки первого тела до второго.

Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.(рис. 14) [14]

Решение:

(рис. 14)

Скорость сближения пешехода и поезда равна 86 − 6 = 80 км/ч. Пройденное расстояние равняется длине поезда. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна 400 м.

Ответ:400 м.

Заключение

В процессе работы над темой была реализована цель и поставленные задачи и можно сделать следующие выводы:

Изучив дополнительную литературу и электронные ресурсы по данной теме, я узнал какого типа задачи по данной теме встречаются на олимпиадах и экзаменах и рассмотрел методы их решения.

В процессе знакомства с задачами открытого банка задач ЕГЭ я познакомился с многими интересными задачами, но остановился лишь на нестандартных задачах на движение.

Охватить все задачи по данной теме невозможно, поэтому я из всех нестандартных задач на движение, мне необходимо было отобрать задачи и отнести их к той или иной группе задач что заставило анализировать условие задачи, сопоставлять, обобщать и делать определенные выводы, что в дальнейшем пригодится в жизни.

В результате проделанной работы я научился решать задачи данных типов, и провел несколько занятий для желающих, что безусловно поможет при сдаче экзамена и выполнении олимпиадных задач.

В ходе проделанной работы был составлен сборник задач, в котором представлены подборки задач каждого типа с ответами. В сборнике приведены подробные решения задач каждого типа и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 8-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения задач на движение как на уроке, так и внеклассных занятиях.

Литература

1. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. — М. : Издательство «Национальное образование», 2017. — 256 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. В. Забелин, П. И. Захаров, С. Л. Крупецкий, В. Б. Некрасов, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Е. А. Семенко, А. В. Семёнов, В. А. Смирнов, Н. А. Сопрунова, А. В. Хачатурян, И. А. Хованская, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль; под ред. И. В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2016. – 686, [2] с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ»)
3. Единый государственный экзамен. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Учебное пособие. / А. В. Семёнов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, П. И. Захаров; под ред. И. В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования. — М. : Интелект-Центр, 2017. — 192 с.
4. Инфоурок - ведущий образователный портал России [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://infourok.ru/metodicheskie-rekomendacii-pri-podgotovke-k-ege-zadachi-na-dvizhenie-protyazhennih-tel-1501044.html, свободный. – Загл. с экрана.
5. Ларин Александр Александрович - Математика. Репетитор. [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://alexlarin.net/, свободный. – Загл. с экрана.
6. Математичка - блог учителя математики [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://match-teacher.blogspot.ru/p/blog-page_16.html, свободный. – Загл. с экрана.
7. Методические рекомендации / С. Н. Марков, канд. физ.- мат. наук, доцент; Л. А. Осипенко, канд. физ. - мат. наук, доцент; Е. С. Лапшина, канд. физ. - мат. наук, доцент; – Иркутск: ГАУ ДПО ИРО, 2017. – 23с.
8. ОГЭ. Математика : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. — М. : Издательство «Национальное образование», 2018. — 240 с.
9. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ — М.: Интелект-Центр, 2010. - 80 с.
10. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ. - 2-ое изд., доп. расшир. - М.: Интелект-Центр, 2012. - 96с.
11. Павел Бердов - Репетитор по математике [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://www.berdov.com/ege/text_problem/dvijenie-navstrechu/, свободный. – Загл. с экрана.
12. Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ — экзамены на отлично — портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://worksbase.ru/, свободный. - Заглавие с экрана.
13. Решим всё — поисковая-информационная система [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://reshimvse.com/zadacha.php?id=11407, свободный. - Заглавие с экрана.
14. Решу ОГЭ - образовательный портал для подготовки к экзаминам [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://ege.sdamgia.ru/test?theme=85, свободный. – Загл. с экрана.
15. Справочник по математике — свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.maths.yfa1.ru, свободный. - Заглавие с экрана.
16. Учительская газета - независимое педагогическое издание [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://www.ug.ru/method_article/519, свободный. – Загл. с экрана.
17. ФИПИ - Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «Федеральный институт педагогических измерений» [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://www.fipi.ru/, свободный. – Загл. с экрана.
18. Lonskaya's Blog - Just another WordPress.com weblog [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://lonskaya.wordpress.com/, свободный. – Загл. с экрана.
19. TutorOnline - Учитесь на Отлично [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://www.tutoronline.ru/blog/zadachi-na-dvizhenie-po-okruzhnosti, свободный. – Загл. с экрана.
20. matematikaege.ru - Математика подготовка к ЕГЭ [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://matematikaege.ru/dvihzenie/99599-iz-punkta-a-krugovoj-trassy-vyexal.html, свободный. – Загл. с экрана.

Приложение 1

Анкета

1.Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

2.Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого? 3.Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

4.На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах.

8 класс (в процентах)

Верно выполнили все задания 2%. Наиболее лёгким заданием для учащихся 8-х классов оказалось задание на движение в одном направлении, в одно время, из одной точки (7% решили верно), а наиболее трудным задание на движение в противоположных направлениях, в одно время из одной точки(верно решили 2%).

Вывод: все вышесказанное доказывает необходимость продолжать работать над умением решать задачи на движение по кругу.

9 класс (в процентах)

Верно выполнили все задания 5%. Наиболее лёгким заданием для учащихся 9-х классов оказалось задание на движение в одном направлении, в одно время, из одной точки (37% решили верно), а наиболее трудным задание на движение в противоположных направлениях, в одно время из одной точки(верно решили 5%).

Вывод: Полученные результаты показывают, что надо обратить внимание на умение решать задачи на движение по кругу.

10-11 классы (в процентах)

Верно выполнили все задания 9%. Наиболее лёгким заданием для учащихся 10-11-х классов оказалось задание на движение в одном направлении, в одно время, из одной точки (41% решили верно), а наиболее трудным задание на движение в противоположных направлениях, в одно время из одной точки(верно решили 9%).

Вывод: Учитывая, что такого типа задания встречаются на экзамене необходимо учиться решать задачи на движение по кругу.

Приложение 2

Анкета

1.По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 130 метров, второй— длиной 120 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 600 метров. Через 11 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 800 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? 2.По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах. 3.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах. 4.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 50 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 72 секунды. Найдите длину поезда в метрах. 5.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах. 6.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

8 класс (в процентах)

Верно выполнили все задания 0%. Наиболее лёгким заданием для учащихся 8-х классов оказалось задание на движение двух протяжённых тел в одну сторону (22% решили верно), а наиболее трудным задание на движение двух протяженных тел навстречу, Задачи на движение протяжённого тела относительно неподвижной точки, протяжённого тела и точки навстречу, протяжённого тела и точки в одну сторону (верно решили 0%).

Вывод: все вышесказанное доказывает необходимость продолжать работать над умением решать задачи на движение протяжённых тел.

9 класс (в процентах)

Верно выполнили все задания 17%. Наиболее лёгким заданием для учащихся 9-х классов оказалось задание на движение двух протяжённых тел в одну сторону (65% решили верно), а наиболее трудным задание на движение протяжённого тела и точки в одну сторону(верно решили 22%).

Вывод: Полученные результаты показывают, что надо обратить внимание на умение решать задачи на движение протяжённых тел.

10-11 класс (в процентах)

Верно выполнили все задания 29%. Наиболее лёгким заданием для учащихся 10-11-х классов оказалось задание на движение двух протяжённых тел в одну сторону (76% решили верно), а наиболее трудным задание на движение протяжённого тела и точки в одну сторону (верно решили 31%).

Вывод: Учитывая, что такого типа задания встречаются на экзамене необходимо учиться решать задачи на движение протяжённых тел.

Приложение 3

Сборник задач Содержание

Глава 1. Задачи на движение по кругу........................................................................4

• 1.1 Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из одной...........................................................................................................................4
• 1.2. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из диаметрально противоположных точек...................................................................................................................5
• 1.3. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в разное время из одной точки...............................................................................................................7
• 1.4. Задачи на движение по кругу, в противоположных направлениях, в одно время из одной точки...............................................................................................9

Глава 2. Задачи на движение протяжённых тел...................................................12

• 2.1. Задачи на движение двух протяжённых тел в одну сторону.....................12
• 2.2. Задачи на движение двух протяженных тел навстречу..............................14
• 2.3. Задачи на движение одного протяжённого тела относительно другого

неподвижного.........................................................................................................15

• 2.4. Задачи на движение протяжённого тела относительно неподвижной

точки..................................................................................................................16

• 2.5. Задачи на движение протяжённого тела и точки в одну сторону.............17
• 2.6 задачи на движение протяжённого тела и точки навстречу.......................18

Введение

В практике встречается очень много интересных задач на движение. Занимательные задачи предлагают на различных олимпиадах и на выпускных экзаменах. В данном сборнике собраны задачи, условно отнесенные к следующим группам: задачи на движение по кругу, задачи на движение протяжённых тел.

В каждой группе выделены подгруппы, отличающиеся друг от друга способами решения.

В данном сборнике задач представлены подборки задач каждого типа с ответами, приведены подробные решения задач каждого типа и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 8-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения задач на движение, как на уроке, так и внеклассных занятиях.

Глава 1

Задачи на движение по кругу

• 1.1 Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из одной точки

Задача:Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. [3]

Решение:

Зная, что за 2/3 часа первый автомобиль прошел на круг, то есть на 14 км больше, чем второй, составим уравнение.

=х+14

2х=160-52

х=59

Ответ: х=59 кмч[3]

Задачи для самостоятельного решения:

Два бе­гу­на од­но­вре­мен­но стар­то­ва­ли в одном на­прав­ле­нии из од­но­го и того же места кру­го­вой трас­сы в беге на не­сколь­ко кру­гов. Спу­стя один час, когда од­но­му из них оста­ва­лось 1 км до окон­ча­ния пер­во­го круга, ему со­об­щи­ли, что вто­рой бегун прошёл пер­вый круг 20 минут назад. Най­ди­те ско­рость пер­во­го бе­гу­на, если из­вест­но, что она на 8 км/ч мень­ше ско­ро­сти вто­ро­го.(13)[6]

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч. (108)[3]

Двум гонщикам предстоит проехать 85 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 8 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 17 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 48 минут? Ответ дайте в км/ч.(150)[3]

Двум гонщикам предстоит проехать 68 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.(96)[3]

Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка?(1/80 и 1/90 части окружности)[4]

• 1.2. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в одно время из диаметрально противоположных точек

Задача: Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?[5]

Решение:

Пусть мотоциклисты находятся в пути одно и то же время, равное t

часов. Для того чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы, то есть 14:2=7 км. Поэтому путь, пройденный вторым мотоциклистом, на 7 км больше, чем путь, пройденный первым:

(х+21)t−хt=7;

21t=7; t=ч

Таким образом, мотоциклисты поравняются через t= часа или через 20 минут.

Приведём другое решение

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

Ответ: 20 мин

Задачи для самостоятельного решения:

Два мотоциклиста старту­ют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мото­циклисты поравняются в первый раз, ес­ли скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?(33)[3]

Два мотоциклиста старту­ют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 5 км. Через сколько минут мото­циклисты поравняются в первый раз, ес­ли скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого? (30) [3]

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого? (20) [3]

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 27 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 27 км/ч больше скорости другого? (30) [3]

10.Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 6 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 9 км/ч больше скорости другого? (20) [3]

• 1.3. Задачи на движение по кругу, в одном направлении, в разное время из одной точки

Задача: Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. [3]

Решение:

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x км/ч, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составляет 60 км/час.

Итак, 3х=60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

Ответ: 80км/ч.

Задачи для самостоятельного решения:

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мото­циклист. Через 2 минуты после отправле­ния он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого до­гнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч. (6) [5]

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мото­циклист. Через 8 минут после отправле­ния он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого до­гнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. (60) [5]

Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 50 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 18 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч. (60)[5]

Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 12 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 15 км. Ответ дайте в км/ч.(95)[3]

Из пункта “А” круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 мин следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 мин после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 мин после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 36 км. Ответ дайте в км/ч. (75)[2]

• 1.4. Задачи на движение по кругу, в противоположных направлениях, в одно время из одной точки

Задача: На окружности взята некоторая точка А. Из этой точки одновременно выходят два тела, которые движутся по данной окружности равномерно в противоположных направлениях. В момент их встречи оказалось, что первое тело прошло на 10 метров больше второго. Кроме того, первое тело пришло в точку А через 9 секунд, а второе – через 16 секунд после встречи. Определить длину окружности в метрах.[4]

Решение:

Пусть х – скорость одной точки, движущейся по часовой стрелке, а у– скорость второй. Тогда до встречи первая точка пройдет расстояние xt, а вторая пройдет yt расстояние.

После встречи первой точке до места старта нужно пройти такое расстояние, какое вторая прошла до встречи, и тратит первая точка на это время, равное 10 с, а второй наоборот, нужно пройти то расстояние, которое прошла до встречи первая, и тратит она на это 16 с. Получим такие равенства:

Xt=16y

Yt=9x

Выразим время движения точек до встречи t

t= =

откуда имеем

x=

По условию, первое тело прошло на 10 м больше второго, то есть

16y-9x=10

Заменяем в этом уравнении одну из неизвестных:

16y-12y =10

И находим Y=2,5 откуда x= .

Полная длина круга равна: 70

Ответ: длина окружности 70 м.

Задачи для самостоятельного решения:

Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 500м с постоянными скоростями, встречаются каждые 125сек. При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 12,5 сек. Найдите скорости каждого тела. (22 и 18)[4]

Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи. (700)[4]

Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в противоположных направлениях - через каждые 16 мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?(1120 м; 40 м/мин, 30 м/мин)[6]

Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются каждые 56 минут. Если бы они двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, то они встретились бы через каждые 8 минут. Если при движении в противоположных направлениях в некоторый момент времени расстояние между телами равно 40 м, то через 24с оно будет 26 м (в течении этих 24с тела не встретились). Найти скорости тел и длину окружности. (15 и 20 м/мин; 280 метров)[6]

Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела.Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.(700) [8]

Глава 2

Задачи на движение протяжённых тел

• 2.1. Задачи на движение двух протяжённых тел в одну сторону

Задача: По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 130 метров, второй— длиной 120 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 600 метров. Через 11 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 800 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?[7]

Решение:

Расстояние, пройденное носом 2 сухогруза равно: первоначальное расстояние от носа 2 сухогруза до кормы 1(600) + длина 1(130) + длина 2(120) + конечное расстояние от носа 1 до кормы 2(800) = 1650 м

V= S / t

V = 1650 : 11= 150 м/мин =9 км/ч

Ответ: 9 км/ч

Задачи для самостоятельного решения.

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам. Ответ дайте в метрах. (200)[7]

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 110 метров, второй — длиной 70 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 200 метров. Через 8 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 500 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? (6.6) [1]

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют две баржи: первая длиной 70 метров, вторая — длиной 30 метров. Сначала вторая баржа отстает от первой, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первой баржи до носа второй составляет 250 метров. Через 14 минут после этого уже первая баржа отстает от второй так, что расстояние от кормы второй баржи до носа первой равно 350 метрам. На сколько километров в час скорость первой баржи меньше скорости второй? (3)[1]

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют две баржи: первая длиной 60 метров, вторая— длиной 40 метров. Сначала вторая баржа отстает от первой, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первой баржи до носа второй составляет 200 метров. Через 18 минут после этого уже первая баржа отстает от второй так, что расстояние от кормы второй баржи до носа первой равно 300 метрам. На сколько километров в час скорость первой баржи меньше скорости второй? (2.1)[1]

По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? (6)[1]

• 2.2. Задачи на движение двух протяженных тел навстречу

Задача: По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах. [1]

Решение:

65 +35 =100 (км/ч) =100000 (м/ч)

Скорость навстречу друг другу (сумма скоростей при движении навстречу друг другу). Решим задачу с помощью уравнения.

Пусть х (м) – длина товарного поезда,

Тогда S =(х+700) м, t = 36 с.= 36/60 мин.=36/ 3600 ч.=0,01ч.

v =100 000 м/ч.,

S= v×t

х +700 =100 000 × 0,01,

х +700 =1000,

х =300.

Длина товарного поезда = 300м

Ответ: 300м.[1]

Задачи для самостоятельного решения:

Два поезда одинаковой длины идут навстречу друг другу. Скорость первого поезда 36 км/ч, скорость второго 45 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него 6 секунд. Какова длина каждого поезда?(135 м) [8]

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 85 км/ч и 55 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 600 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.(800) [2]

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 800 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 33 секундам. Ответ дайте в метрах. [2]

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах (300)[2]

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 600 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 30 секундам. Ответ дайте в метрах.(500)[1]

• 2.3. Задачи на движение одного протяжённого тела относительно другого неподвижного

Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой 800 метров, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.[1]

Решение:

Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной 800 метров за t = 1мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние

S=v×t

S=1500×1=1500, 1500-800=700 (м). (Минус длина лесополосы 800 метров и получим длину поезда равную 700 метров).

Ответ: 700 м.[1]

Задачи для самостоятельного решения:

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой равна 200 метрам, за 3 минуты. Найдите длину поезда в метрах.(2800)[1]

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 800 метров, за 45 секунд. Найдите длину поезда в метрах.(200) [2]

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах. (600) [7]

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 70 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 1000 метров, за 1 минуту 48 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (1100)[7]

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 1000 метров, за 1 минуту 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.(500)

• 2.4. Задачи на движение протяжённого тела относительно неподвижной точки

Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 50 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 72 секунды. Найдите длину поезда в метрах. [7]

Решение:

Пройденное расстояние равняется длине поезда.

S = V × t

t = 72 сек. = 0.02 ч.

S=1 км

Ответ 1000 м

Задачи для самостоятельного решения:

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 с. Найдите длину состава поезда в метрах.(800)[6]

37.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 69 с. Найдите длину поезда в метрах. (1150)[6]

38. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой 200 м, за 1мин 21 с. Найдите длину поезда в метрах. (1150) [6]
39. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.(550)[6]
40. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 9 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (150) [2]

• 2.5. Задачи на движение протяжённого тела и точки в одну сторону

Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.[5]

Решение:

Скорость сближения пешехода и поезда равна 86 − 6 = 80 км/ч. Пройденное расстояние равняется длине поезда. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна 400.

Ответ:400 м.

Задачи для самостоятельного решения:

41. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (700)
42. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 66 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (200)
43. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 97 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 7 км/ч, за 9 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (225)
44. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 68 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 8 км/ч, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (600) 45. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 10 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (400)

• 2.6 задачи на движение протяжённого тела и точки навстречу

Задача: Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 54 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 6 км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.[7]

Решение:

За 30 секунд со скоростью, равной разности скоростей поезда и пешехода, поезд пройдет расстояние, равное своей длине.

V=60 км/ч=1000 м/мин

t=30 сек. =0.5 мин

S= 1000 ×0.5 = 500 м

Ответ: 500

Задачи для самостоятельного решения:

46. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 50 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 10 км/ч навстречу ему пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (500)
47. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 7 км/ч навстречу ему пешехода за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (410)

48.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 68 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 5 км/ч навстречу ему пешехода за 22 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (440)

49. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 5 км/ч навстречу ему пешехода за 9 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (170)
50. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 67 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 5 км/ч навстречу ему пешехода за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах. (240)

Ответы на задачи:

13

108

150

96

5.1/80 и 1/90 части окружности

33

30

20

30

20

6

60

60

95

75

22 и 18

700

1120м; 40м/мин; 30м/мин

15м/мин; 20м/мин; 280м

700

200

6,6

3

2,1

6

135

800

300

300

500

2800

200

600

1100

500

800

1150

1150

550

150

700

200

225

600

400

500

410

440

170

240

Список используемой литературы:

1. Инфоурок - ведущий образователный портал России [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://infourok.ru/metodicheskie-rekomendacii-pri-podgotovke-k-ege-zadachi-na-dvizhenie-protyazhennih-tel-1501044.html, свободный. – Загл. с экрана.
2. Ларин Александр Александрович - Математика. Репетитор. [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://alexlarin.net/, свободный. – Загл. с экрана.
3. Павел Бердов - Репетитор по математике [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://www.berdov.com/ege/text_problem/dvijenie-navstrechu/, свободный. – Загл. с экрана.
4. Репетитор по скайпу [Электронный ресурс]. — Электрон. журн. — Режим доступа : http://www.itmathrepetitor.ru/tekstovye-zadachi-na-dvizhenie-reshenie-4/, свободный. - Загл. с экрана.
5. Решу ОГЭ - образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика [Электронный ресурс]. — Режим доступа : https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=22#, свободный. - Загл. с экрана.
6. Учебно-методические комплексы для учителей школ [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://school.umk-spo.biz/gia/forum/sostyr/begtr, свободный. - Загл. с экрана.
7. Учительская газета - независимое педагогическое издание [Электронный ресурс]. – Режим доступа : http://www.ug.ru/method_article/519, свободный. – Загл. с экрана.
8. POSTUPIVUZ.ru [Электронный ресурс]. —Режим доступа : http://postupivuz.ru/vopros/4162.htm, свободный. - Загл. с экрана.