V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ОДЗ. Зачем, когда и как?

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Шамшурин  А.В. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»

Гагарина  Н.А. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31»

Работа в формате PDF

498.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся – 28. Справились – 14 %, опасность ОДЗ (учли) – 68 %, необязательность (учли) – 36 %.

Цель: выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ.

Проблема: уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ.

Задачи:

1. Показать значимость ОДЗ при решении уравнений и неравенств.
2. Провести практическую работу по данной теме и подвести её итоги.

Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо?  Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ[4].

Глава 1

Что такое ОДЗ?

 ОДЗ - это область допустимых значений, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл.

Важно. Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест.

Некоторые запреты в математике. Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят…

• Выражения, состоящие под знаком чётной кратности или должно быть>0 или равно нулю , ОДЗ:f(x)
• Выражение, стоящее в знаменателе дроби не может быть равно нулю , ОДЗ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ОДЗ: g(x) 0

 Как записать ОДЗ? Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ.

 Алгоритм нахождения ОДЗ:

1. Определите вид запрета.
2. Найти значения, при которых выражение не имеет смысла.
3. Исключить эти значения из множества действительных чисел R[6].

Решить уравнение: =

Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак[7].

Дополнительные уравнения:

а) = ;      б) -42=14х+ ;      в) =0;       г) |x-5|=2x-2 [5]

Глава 2

 ОДЗ. Зачем? Когда? Как?

 Область допустимых значений – есть решение

1. ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений

• = ОДЗ:    

Ответ: корней нет.

• = ОДЗ:

Ответ: корней нет.

• + =2

ОДЗ:   х 0

0, уравнение не имеет корней

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) + =5;   б) + =23х-18;   в) =0[6].

2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

• +    

ОДЗ: х=2, х=3

Проверка: х=2, + ,  0<1,   верно

Проверка: х=3, + , 0<1, верно.

Ответ: х=2, х=3[8].

• >   ОДЗ: х=1,х=0

Проверка: х=0, > , 0>0, неверно

Проверка: х=1, > , 1>0, верно

Ответ: х=1.

• + =х ОДЗ: х=3

Проверка:  + =3, 0=3, неверно.

Ответ: корней нет.

Дополнительные примеры:

а) = ;   б) + =0;   в) + =х -1[5]

 Опасность ОДЗ

Заметим, тождественные преобразования могут:

• не влиять на ОДЗ;
• приводить к расширенному ОДЗ;
• приводить к сужению ОДЗ.

Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям.

Давайте поясним каждый случай примером.

1)   Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x²+11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.

2)   Возьмем уравнение x+ - =0. В этом случае ОДЗ: x≠0.  Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль).

3)   Возьмем выражение .    ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪[5, +∞).   А теперь преобразуем исходное выражение к виду .    ОДЗ переменной x для этого выражения определяет система линейных неравенств , решение которой дает множество [5, +∞). Таким образом, в результате проведенного преобразования произошло сужение ОДЗ с множества (−∞, 2]∪[5, +∞) до множества [5, +∞)[9].

Решим уравнение:

а)   3х+ = +15.  Перенесём дробь

ОДЗ: х-5 0,  х 5

3х+ - =15

х=5,    5 ОДЗ.       Ответ: корней нет.

б)   =0        х-х=0        =0.      Снова ловушка!

ОДЗ: х-3 0, х 3.     Ответ: х-любое число, кроме х=3.

в)   ,   ОДЗ: х .

Сокращение дробей даёт =0,  х=0. Ловушка!   Ответ: корней нет[6].

Дополнительные примеры: а) =0,   б) =0;

в) 214х+ = +642,   г) + =92[5].

Вывод. Итак, на каждом шаге преобразования выражения постоянно спрашивайте себя: «Не изменяет ли это преобразование ОДЗ»? Если не изменяет, то выполняйте его. Если сужает, то откажитесь от него. А если расширяет, то выполняйте его, но оставайтесь в рамках ОДЗ переменных для исходного выражения. Самый верный шаг – найдите сразу ОДЗ[2].

 Необязательность ОДЗ

Решим уравнение:

а) - =2

=2+ ,   f(x)=  - убывает, g(x)=2+ - возрастает

Значит, уравнение имеет не более одного корня. Решаем методом подбора: х=-1.  Ответ: х=-1.

б) =13-х,   f(x)=  -  возрастает,    g(x)= 13-х – убывает, значит, уравнение имеет не более одного корня. Решаем методом подбора: х=11.

ОДЗ:  х-7≥0 х≥7   

Квадратный корень всегда неотрицателен, значит 13-х>0.

Ответ: х=11.

в) + =0

Так как система, достаточно решить одно из уравнений и проверить, подставив во второе.

х +3х-4=0       а+в+с=0 х =1,  х = , значит х =-4

х=1:    1 +12 1 -11 1-2=0

х=-4:  (-4)  +12 (-4) -11 (-4)-2 0.    Ответ: х=1.

Вывод: нахождение ОДЗ не всегда является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно - и всё это без какого бы то ни было ущерба для решения примера. Но я согласен с тем, что на уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере[3].

 Нестандартные уравнения

1)|х+4|=2х-10   ОДЗ: 2х-10 0, х 5

Ответ: х=14.

2) - =23х-18    ОДЗ:  

Так как полученная система решений не имеет, то область решений не имеет, таким образом, область определения уравнения не содержит ни одного корня, значит, данное уравнение не имеет корней[8].

3) + = -           ОДЗ: х

- = =

+ =

f(x)= +  - возрастает ,    g(x)=  - убывает

(так как если h(x) возрастает, то - убывает).

Уравнение имеет не более одного корня. Метод подбора. Ответ: х=2[4].

4) + + + =2

ОДЗ: х=2,х=0. Подставляем числа 2 и 0 в уравнение.

+ + + =2,  2=2

+ + + .

Ответ: х=2[4].

Глава 3

Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»

 Было дано 10 уравнений, 2 неравенства. Количество учащихся – 28. Справились - 14 %, опасность ОДЗ(учли) – 68 %, необязательность (учли)-36%.

Заключение

 Тема работы раскрыта. Цель: выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ – раскрыта. В исследовательской работе рассмотрены уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для выпускников хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ.

Задачи, поставленные в работе, решены. Разобраны стандартные и нестандартные уравнения и неравенства. Проведена практическая работа по теме «ОДЗ. Когда? Зачем и как?» И подведены итоги. Полученные читателями, знания и навыки помогут им решить вопрос- искать ОДЗ или не надо?[10]

Каждому выражению с переменными соответствует область допустимых значений (ОДЗ) переменных, которую ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно учитывать при работе с этим выражением. Акцент на слове «обязательно» сделан не случайно: при решении примеров и задач халатное отношение к ОДЗ может привести к получению неверных результатов.

Овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ[4].

Литература

 М.Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике». М.: «Наука», 1966.

1. Газета «Математика» №17. 2002.
2. Г.И. Глейзер «История математики в школе VII-VIII классы». М.: «Просвещение», 1982.
3. Л.О. Денищева и др. «ЕГЭ. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ФИПИ» - М.: «Интеллект-центр», 2009.
4. [Электронный ресурс]/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg
5. Область допустимых значений – есть решение [Электронный ресурс]/Режим доступа: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html
6. ОДЗ – область допустимых значений, как найти ОДЗ [Электронный ресурс]/Режим доступа: cleverstudents.ru›expressions/odz.html
7. Область допустимых значений: теория и практика [Электронный ресурс]/Режим доступа: pandia.ru›text/78/083/13650.php
8. Что такое ОДЗ [Электронный ресурс]/ Режим доступа: www.cleverstudents.ru›odz.html
9. Что такое ОДЗ и как его искать - объяснение и пример. Электронный ресурс]/ Режим доступа: cos-cos.ru›math/82/

Приложение 1

Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»

Приложение 2

Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»