V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение арифметической и геометрической прогрессий для решения практически значимых задач
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В настоящее время проблема применения математических знаний для исследования явлений и процессов, описываемых в других областях науки и практики, является крайне актуальной. Методы математики глубоко проникают в различные области знаний. Владение конкретными математическими знаниями помогает в практической деятельности, формирует представление о математике как о части человеческой культуры.
В школьном куре алгебры 9 класса изучается тема «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Важность этой небольшой темы заключается в широких возможностях ее применения для решения различных задач, реально встречающихся в бытовой и профессиональной деятельности человека. Перед нами встал вопрос: в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях? Отражают ли прогрессии реальные процессы, происходящие в природе, экономике и других областях жизни человека? Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?
Цель исследования – установить возможности применения понятий об арифметической и геометрической прогрессиях для решения практически значимых задач жизнедеятельности человека.
Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:
- Выявить состояние проблемы исследования и изучить историю возникновения понятий о прогрессиях и применению этих знаний для удовлетворения практических нужд человека.
- Проанализировать практически значимые задачи, решаемые с опорой на знания о прогрессиях, и составить классификацию типовых задач из различных сфер деятельности человека.
- В соответствии с предложенной классификацией создать систему практически значимых задач и выявить обобщенный метод их решения.
История возникновения понятий
«арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия»
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.
Прогрессия – последовательность чисел, получаемых по определенному правилу. В настоящее время термин во многом устарел и встречается только в сочетаниях «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия». Сами по себе прогрессии известны так давно, что трудно однозначно судить о том, кто их открыл.
Натуральный ряд 1, 2, 3, …, n,… есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью тоже равной 1. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. В развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака, немецкие математики М. Штифель, Н.Шюке и К. Гаусс.
В трудах Архимеда (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогрессиях.
Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию.
По преданию, когда-то очень давно жил на свете индусский царь Шерам. Научился он игре в шахматы, был восхищен ее остроумием и разнообразием в ней положений.
И приказал он слугам позвать изобретателя игры Сета. Он желал достойно наградить изобретателя за прекрасную игру, которую он придумал. Дал он возможность Сету самому назвать награду, которая его удовлетворит, и он получит ее.
Сета сказал, чтобы повелитель, приказал выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. Шерам удивленно переспросил, что простое пшеничное зерно. Сета сказал, что да. И продолжил, что за вторую клетку 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, и так до 64-й клетки. Царь Шерам рассмеялся.
Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться. Но в целом зерен должно было бы получиться 18 446 744 073 709 551 615.
Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:
1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).
Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в).
В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.
Общая формула нахождения суммы n-членов геометрической прогрессии содержится в девятой книге знаменитых «Начал» древнегреческого математика Евклида. Там приведен и вывод этой формулы [1].
Выявление обобщенного метода решения задач по теме «Прогрессии»
В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется прежде всего в задачах об исчислении так называемых «сложных процентов». В основе капитализации процентов лежит начисление процента на процент. То есть с определенной периодичностью проценты присоединяются к сумме вклада и в дальнейшем они начисляются уже на увеличенную сумму депозита. Такую схему начисления называют «сложным процентом».
Если положить деньги на срочный вклад в банке под 3% годовых, то через год вклад увеличится на 3% от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на 1,03. Еще через год уже эта сумма увеличится на 3%, т.е. вновь умножится на 1,03. За 20 лет сумма увеличится в (1,03)20 = 1,8 раза.
Если процент будет больше, то и результат будет резко расти. Так при 50% годовом увеличении за 10 лет сумма увеличится в (1,5)10 = 55,7 раза. Под такой процент давали деньги ростовщики в Англии в XIII веке. Это вызывало страшное недовольство. Издавались законы, ограничивающие процент. Король Генрих VII даже совсем отменил взимание процентов, что привело в упадок как банковское дело, так и промышленность, лишившуюся возможности получения кредитов. В конце концов взимание процентов было разрешено, но не должно было быть больше 10%.
Сегодня, разнообразные банки предлагают свои услуги клиентам на самых разных условиях. И часто, прежде чем воспользоваться их услугами надо решить математическую задачу с опорой на знания данной темы.
Например, многие пользователи «Сберанк-online», заходя в свой личный кабинет, могут видеть предложения оформить кредитную карту. Аналогичные SMS-сообщения получает практически каждый работающий взрослый житель. Сформулируем одно из таких предложений в виде задачи и решим ее.
Задача 1. «Вам предварительно оформлена кредитная карта с лимитом 190 000 рублей – с ней запасные средства всегда под рукой. Ставка 23,9% годовых». Сколько денег будет задолжать клиент банку через три года, если воспользуется данным предложением?
Решение. Практически всегда банки предлагают клиентам кредиты под «сложные проценты». Значит, долг будет расти по законам геометрической прогрессии. Имеем геометрическую прогрессию первый член которой равен 190000, а знаменатель прогрессии 1,239. По формуле n-члена, найдем значение суммы по завершении третьего года использования кредитной карты:
Ответ: через три года кредит карты будет составлять более 360 000 рублей.
Анализ способа решения данной и ряда других задач, позволяет вывить обобщенный метод решения, состоящий из следующих действий:
Установить вид прогрессии (арифметическая или геометрическая).
Выделить известные и искомые величины.
Записать формулы для соответствующего вида прогрессии.
Произвести вычисления для величин, описывающих ситуацию задачи.
Сформулировать вывод.
Решение практически значимых задач
с экономическим содержанием
Применим данный метод для решения следующих задач.
Задача 2. Через три года в банке оказалось 880 000 рублей, положенных под 4% годовых («простые проценты»). Каков первоначальный вклад?
Решение: (a) – арифметическая прогрессия, где a= 880 000, d – разность арифметической прогрессии равная 0,04a.
aad = a+0,04a·3= 1,12a= 880 000; a=
Ответ: первоначальный вклад равен 785715 рублей.
Задача 3. В 1976 году клиент положил в банк 750 руб. под «простые проценты». В 1980 году сумма вклада увеличилась вдвое. Под сколько процентов клиент положил деньги в банк?
Решение: (a)- арифметическая прогрессия, где a= 750, а a=1500.
a = a + 4d, d = 187,5 рублей составляет ежегодный прирост на вклад.
750 руб -100%
187,5 руб – х
х=
Ответ: под 25% годовых.
Задача 4. Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 р., а после двенадцатого повышения - 1650 р. Через сколько повышений первоначальная цена удвоилась?
Решение: (b)- арифметическая прогрессия, b=1200; b=1650;
Так как цена товара увеличилась в два раза, то она стала равна 2100 рублей.
b= 2b; 2100 = 1050+50(n-1)
50(n-1) = 1050
n = 20
Ответ: через 20 повышений цена удвоится.
Задача 5. В течение календарного года на автомобильном заводе зарплата каждый месяц повышалась на одно и тоже число долларов. За июнь, июль, август зарплата в сумме составила 9900 долларов, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 долларов. Найдите сумму зарплат одного работника за весь год.
Решение: (a) – арифметическая прогрессия,
Из этих двух равенств получаем систему уравнений:
Теперь найдем суммарную зарплату работника автомобильного завода за год:
Ответ: за год доход работника составил 39300 $.
Задача 6. Для обучения на платном отделении по специальности «Экономика» в университете абитуриенту потребовался образовательный кредит. Он обратился в три банка. Банк «Омега» предложил 250тыс. на срок 5лет под 25% годовых, банк «Дельта» предложил 250тыс. рублей на срок 10 лет под 15% годовых, а банк «Альфа» на срок 8 лет по 20% годовых.
Решение: данная зависимость строится по закону геометрической прогрессии. Для вычисления необходимой суммы нужно воспользоваться формулой сложных процентов. В банк «Омега» придётся вернуть 762 939руб, в банк «Дельта» - 1 011 389 руб., в банк «Альфа» - 895 795руб. Вывод: лучше взять кредит в банке «Омега».
Решение практически значимых задач по микробиологии и медицине
Практически нет места на Земле, где бы ни встречались бактерии. Они живут и во льдах Антарктиды и в горячих источниках, температура которых достигает + 8500С. Условия жизни бактерий разнообразны, также разнообразны и функции бактерий в нашей жизни.
Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений. Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока. Но всевозможные виды бактерий размножаются делением одной клетки на две, каждая из этих двух в свою очередь также делится на две и получается 4 бактерии, потом 8 и т.д. Если одну бактерию поместить в идеальные условия с обилием пищи, то за одни сутки её потомство должно составить 281 474 976 710 656 клеток. Таким образом, мы имеем дело с примером геометрической прогрессии в природе.
Задача 1. В кабинете математики численность бактерий равна 1000 ед. на 1 мм2. Какой будет численность бактерий к концу рабочего дня?
При благоприятных условиях деление клеток у многих бактерий может происходить через каждые 30 минут.
Вычислим последовательно численность колонии бактерий 1-ого, 2-ого, 3-его, 4-ого, 5-ого, 6-ого поколений. Имеем, для геометрической прогрессии:
Если рассматривать, что общая продолжительность учебных занятий 5 часов, то за это время колония бактерий даст 10 поколений. И тогда численность 10 поколения можно рассчитать по формуле .
Можно рассчитать численность бактерий в кабинете к концу учебных занятий, используя формулу суммы 10 членов геометрической прогрессии:
Вывод: через 5 часов количество бактерий в классе станет равным 1023000.
При таком быстром размножении потомство одной бактерии за 5 суток способно образовать массу, которой можно было бы заполнить все моря и океаны. Однако в природе этого не происходит, так как большинство бактерий быстро погибает под действием солнечного света, при высушивании, под действием дезинфицирующих веществ. Поэтому в период эпидемий необходимо применять профилактические меры.
Задача 2. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько стало клеток после десятикратного их деления, если первоначально было а клеток?
( )-геометрическая прогрессия. Искомое количество клеток найдем по формуле n-го члена геометрической прогрессии.b=a; q=2. Найти:
Решение: ====Вывод: в десятом поколении дрожжевых клеток станет .
Эпиде́мия (греч. ἐπιδημία — повальная болезнь, от ἐπι — на, среди и δῆμος — народ) — широкое распространение инфекционных болезней среди людей или среди животных, значительно превышающее обычно регистрируемый на данной территории уровень заболеваемости.
Задача 3. Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится каждый час?
( ) -геометрическая прогрессия=1; q=2.Найти: Решение: ====1023Вывод: через 10 часов число бактерий куриной холеры будет равно 1023.
Задача 4. Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет все население поселка в количестве 341 человека?
()- геометрическая прогрессия = 1; q= 4. Найти =341, где n – порядковый номер дня, когда все в поселке заболеют. Решение: = 341=1 =341Так как, =256, а =1024, то человек заразит всех в поселке уже вначале 5-го дня.Вывод: всё население поселка заболеет на пятый день.
Гомеопатия — терапевтический метод лечения, разработанный великим немецким врачом и ученым Самуилом Ганеманом (1755-1843). В основе гомеопатии лежит принцип подобия — вещество, способное в больших дозах вызывать определённые симптомы в организме, в малых дозах способно похожие симптомы лечить, т.е. подобное лечится подобным.
Задача 5. Больной принимает гомеопатическое лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
()- арифметическая прогрессия= 5d=5 : 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5Найти: Решение: аn=а1+d(n-1) 40=5+5(n-1),
n=8
Sn= n ;
180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же во второй период. Всего он принял 180+40+180=400 (капель), тогда всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.
Вывод: больному на курс необходимо купить 2 пузырька.
Решение практически значимых задач с физическим содержанием
Задача 1. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?
Решение: (b)-арифметическая прогрессия, в которой b=7, d=3. Найти необходимо b.
Вывод: за восьмую секунду тело пролетит 28 метров.
Задача 2. После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 4 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст.
Решение: (b)- геометрическая прогрессия, в которой b=760, q=0,8,
n=4
Необходимо найти b.
Ответ: через 4 движения поршня давление внутри сосуда станет равным 389,12 мм.рт.ст.
Даже в литературе встречаются математические задачи.
Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...
Ямб:
«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»
Прогрессия: 2; 4; 6; 8... A.С. Пушкин
Хорей:
«Я пропАл, как звЕрь в загОне»
Прогрессия: 1; 3 ;5; 7... Б.Л. Пастернак
«бУря мглОю нЕбо крОет»
прогрессия 1; 3; 5; 7. А.С. Пушкин
Классификация соответствия практически значимых задач виду прогрессии
Проведенное исследование позволяет выявить соответствие между видом прогрессии и явлениями, происходящими в различных областях природы и жизнедеятельности человека
|
Область применения |
Арифметическая прогрессия |
Геометрическая прогрессия |
|
Экономика |
«Простые проценты» |
«Сложные проценты» |
|
Физика |
Равноускоренное движение |
Деление ядер радиоактивных веществ; изменение массы радиоактивного вещества со временем |
|
Литература |
Стихотворный размер |
|
|
Биология |
Рост стебля растения |
Рост и деление клеток |
Заключение
В ходе выполнения данного исследования получены следующие результаты:
разработаны практически значимые задачи, решаемый с опорой на знания темы «Прогрессии»;
выявлен обобщенный метод решения практически значимых задач в области экономики, биологии и физики. Обобщенный метод применен для решения ряда задач, имеющих прикладной характер.
разработана классификация соответствия вида прогрессии (арифметическая или геометрическая) явлениям, изучаемым в медицине, физике, биологии и в других сферах жизнедеятельности.
Таким образом, поставленная цель работы достигнута.
В процессе выполнения работы найдены ответы на следующие проблемные вопросы:
Что знали о прогрессии люди, жившие несколько веков назад?
Какое практическое значение имеет факт размножения бактерий в геометрической прогрессии на жизнь на Земле?
Как используется факт размножения бактерий в геометрической прогрессии в пищевой промышленности, в медицине, в фармакологии, в сельском хозяйстве?
Какие основные задачи экономического содержания могут быть решены с применением знаний о прогрессиях?
Значит, арифметическая и геометрическая прогрессии – это мощное орудие для решения реальных задач в различных сферах человеческой жизни.
Библиографический список
- Геометрическая прогрессия. Калейдоскоп «Кванта» // Квант №3, 1990 г, с. 40-41.
- Муравин Г.К. Алгебра. 9 класс: учебник/ Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2014. – 319 с.
- Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1990. – 228с.
- РЕШУ ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/test?theme=89
- Ткачева М.В., Газярян Р.Г. Сборник задач по алгебре 7-9. – М.: «Просвещение», 2007. – 207 с.
- Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989. – 352 с.