V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Формула для измерения длины окружности
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Геометрия – одна из самых древних наук, она возникла очень давно, ещё до нашей эры. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие».
Геометрия – наука о пространстве, точнее – наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела; раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения.
В школе предмет «Геометрия» изучается с 7 класса и, по мнению многих учащихся, является одним из самых сложных школьных предметов.
Что же геометрия означает в нашей жизни? Кое – кто, возможно, считает, что различные замысловатые линии, фигуры, поверхности можно встретить только в книгах ученых математиков. Однако стоит посмотреть вокруг, и можно увидеть, что многие предметы имеют форму, похожую на уже знакомые геометрические фигуры. Оказывается их много. Просто это не всегда бросается в глаза.
Геометрия – древнейшая наука и первые расчеты производились более тысячи лет назад. Древние люди составляли на стенах пещер орнаменты из треугольников, ромбов, кругов. Со временем человек научился использовать свойства фигур в практической жизни.
Многие вещи, окружающие нас, напоминают окружность, например, обруч, кольцо, тарелка. Арбуз, глобус, мячи – похожи на шар. Предметов, имеющих форму цилиндра и конуса в окружающем нас мире очень много: трубы, кастрюли, бочки, стаканы, консервные банки.
В современной архитектуре смело используются самые разные геометрические формы. Многие жилые дома украшаются колоннами. Геометрические фигуры различной формы можно увидеть в постройке соборов и конструкциях мостов.
По улице движутся автомобили, трамваи, автобусы, мотоциклы и велосипеды. Их колеса с геометрической точки зрения – круги. Сложную форму имеет корпус подводной лодки. Корпус космического спутника состоит из цилиндра.
Сложную форму имеют и детали машин – гайки, винты, зубчатые колеса.
В природе много замечательных геометрических форм. Необыкновенно красивы и разнообразны многоугольники, созданные природой. Кристаллы горного хрусталя напоминают отточенный карандаш. Кристалл соли имеет форму куба, кристаллы алмаза имеют форму правильного восьмигранника – октаэдра. Кто из нас не любовался в зимний солнечный день искристыми снежинками? Каждая снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной. Снежинки – это одна из самых красивых геометрических фигур. Обычная горошина, капельки росы – имеют форму шара.
Многих животных природа наделила талантом строить себе дома в форме геометрических тел. Птицы строят гнёзда в форме полушара. Но самые искусные геометры – пчелы. Они строят соты из шестиугольников.
Из всего сказанного можно сделать вывод: геометрия нужна не только для того чтобы называть части строений или формы окружающего нас мира, с помощью геометрии можно решить многие задачи, ответить на многие вопросы.
Цель: вывести формулу длины окружности.
Задачи: изучить окружность, её элементы, показать связь между ними. Гипотеза: формулу длины окружности можно вывести практическим путем.
Методы исследования:
- Изучение литературы по данной теме.
- Практическая работа на измерение длины окружности.
- Анализ, сравнение, сопоставление.
Глава 1. Что такое окружность?
Окружность – замкнутая, плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.
Радиус – отрезок прямой, соединяющий центр окружности с какой – либо её точкой, а также длина этого отрезка. Обычно обозначается R.
Диаметр – отрезок прямой, соединяющий пару наиболее удаленных друг от друга точек окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр всегда проходит через центр окружности. Обычно обозначается d или Ø. Диаметр равен удвоенному радиусу окружности: d = 2R, R = d/2.
Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей. Это отношение есть трансцендентное число, обозначаемое греческой буквой пи: …
Длина окружности: C = 2πR= πd
Радиус окружности: R = C/2π
Диаметр окружности: d = C/π
Площадь круга: S = πR2 = πd2/4
Радиус круга: R = (S/π), где - корень квадратный.
Диаметр круга: d = 2(S/π)
Круг Окружность
Исторические сведения
В древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности сделало возможным возникновение колеса, поскольку ось и втулка колеса должны все время быть в соприкосновении. Но ещё до колеса люди использовали круглые бревна – катки для перевозки тяжестей. Рисунки на стенах египетских пирамид рассказывают нам, что именно так доставлялись огромные камни на строительство этих пирамид.
Глава 2. Вывод формулы длины окружности
Как же можно вывести формулу для вычисления длины окружности? Самое простое, что приходит на ум – это измерить с помощью нити длину предметов, имеющих форму круга или окружности. Так как у любой окружности и у круга имеется диаметр, то вполне возможно его измерить.
Итак, для измерений необходимы предметы цилиндрической формы, такие как: кружка, термос, кастрюля; и предметы, имеющие непосредственно форму круга, например циферблат часов и барометр бытовой.
Первый этап работы заключается в измерении с помощью нити длины окружности выбранных предметов. Затем нужно длину нити измерить с помощью линейки. На втором этапе подобным образом можно измерить диаметры данных предметов. Должна же существовать какая – то связь между длиной окружности и её диаметром.
Измерение длины окружности с помощью нити и линейки.
Измерение диаметра окружности с помощью нити и линейки.
В результате проведённых измерений были получены следующие результаты:
Кружка для чая: C = 22 см, d = 7 см.
Термос: C = 43 см, d = 13,7см.
Кастрюля: C = 64 см, d = 20,5см.
Циферблат часов: C = 70 см, d = 22,6 см.
Барометр бытовой: C = 47,4 см, d = 15,1 см.
Нетрудно увидеть, что длина окружности каждого предмета больше её диаметра в несколько раз. Что же получится, если посчитать, во сколько раз длина окружности больше диаметра в каждом случае? Для вычислений можно воспользоваться калькулятором.
C/d = 22 см / 7 см = 3,14285 3,14
C/d = 43 см / 13, 7 см = 3,13868 3,14
C/d = 64 см / 20,5 см = 3,13725 3,14
C/d = 71 см / 22,6 см = 3,14159 3,14
C/d = 47,4см / 15,1 см = 3,13907 3,14
Как видно из полученных вычислений, отношение длины окружности к диаметру, если округлить его до сотых долей, является одним и тем же числом C/d3,14. Таким образом, получается, что если длину окружности любого размера разделить на её диаметр, то это отношение всегда будет приближаться к числу 3,14.
Отношение длины окружности к её диаметру одинаково для всех окружностей.
Это есть известное число π 3,14. Т. е. C/d = π, отсюда следует, что C = πd.
d = 2r, где r – радиус окружности, тогда C = 2πr.
Заключение
В ходе исследовательской работы с помощью измерений и вычислений мы вывели формулу для вычисления длины окружности:
|
C = 2πr |
Определили, как с помощью эксперимента получить известное число
π = 3,14
Литература
- Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / [Л.А. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. ]. – М. Просвещение, 2016г. – 384 с.:ил.
- Красота математики М. Давыдов г. Н.Новгород 2007г.
- http://ru.wikipedia.org/wiki/. [Электронный ресурс].