V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Час Пика

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Солдатова Я.А. 1

---

1МБОУ Шушенская СОШ №3

Гурьянова Е.Г. 1

---

1МБОУ Шушенская СОШ №3

Работа в формате PDF

1.1 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

1. Введение

Актуальность:

«Математике должно учить еще с той целью,

чтобы познания здесь приобретаемые,

были достаточными для обыкновенных потребностей жизни». Н.И.Лобачевский[1].

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так, при рассмотрении тестовых экзаменационных заданий за 9 класс особый интерес вызвали геометрические задачи с чертежом на клетчатой бумаге. Среди разнообразия задач на клетках особенно заинтересовали задачи связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Задачи на нахождение площади какого-либо объекта встречаются очень часто и не только в математике. Какова площадь земельного участка, на котором Вы живете? Какую площадь занимает отдельно взятая страна? Какой океан по площади больше на карте? Сколько нужно приобрести семян для посева на определенном участке? Представьте себе ситуацию, что нет данных длины и ширины объекта и формулы площади, изученные в школьном курсе геометрии позабыты, а срочно нужно узнать площадь, ну хотя – бы примерно. Где искать помощь?

Проведя исследования практических ситуаций на определение площади, выяснилось, что существует формула Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет справиться с поставленной задачей в любой ситуации.

Проблема: всем учащимся в конце девятого класса предстоит сдавать Государственный экзамен, который покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда предоставляет универсальные способы решения задач.

Разработанностью этой проблемы можно считать имеющиеся в школьном курсе математики формулы вычисления площади многоугольников, а также информацию о формуле Пика в интернет-источниках.

Новизной будем считать сравнительный анализ применения известных школьных формул площади многоугольника и применения формулы Пика, а также исследования по применению формулы Пика для нахождения площади произвольных многоугольников, в частности для определения площади страны на карте и площади участка на кадастровых фотоснимках из космоса.

Гипотеза:

Формула Пика для вычисления площадей многоугольников является универсальным средством для вычисления площадей любых объектов на плоскости.

Цель: доказательство универсальности формулы Пика при вычислении площадей.

Задачи:

Ознакомится с информацией по теме исследования в интернет-источниках и печатных изданиях.

Выбрать главную и понятную информацию.

Отобрать материал для исследования: тестовые задания, географические карты, фотографии земельных участков из космоса и т.д.

Применить формулу Пика при нахождении площадей различных объектов в исследуемых материалах.

Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Провести исследования по решению задач на вычисление площадей среди одноклассников.

Сделать вывод о рациональности применения формулы Пика при решении задач на нахождение площади объекта.

Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ информации, опрос, проведение вычислений площадей.

Краткий обзор используемой литературы и источников:

1.Георг Алекса́ндр Пик. Интернет – ресурс: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3

2. Формула Пика. Интернет – ресурс: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0

3. Многоугольник. Интернет – ресурс: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/6735

2. Основная часть.

2.1. История вопроса:

Георг Алекса́ндр Пик (10 августа1859 - 13 июля 1942)- австрийский математик. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. [2] Он опубликовал свою формулу в статье в 1899 году, она стала популярной, когда Хьюго Штейнгауз включил её в 1969 году в издание математических снимков.[3]

Формула Пика:, гдеS – площадь многоугольной фигуры,В – число узлов сетки, попавших внутрь фигуры, Г – число узлов, лежащих на

границе.Пример: В=7, Г=8, S= 7+8/2-1=10 (ед²)

[10]

Понятия, используемые в работе:

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная, имеющая больше одного угла [7]

Невыпуклый многоугольник -если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым [8]

Масштаб – отношение уменьшенных расстояний и размеров на карте и чертеже к действительным. [6]

Площадь – это часть плоскости, ограниченная ломаной или кривой линией [9]

2.2. Проведение экспериментальных вычислений:

2.2.1. Участники: учащиеся 8 «А» класса. Задание: вычислить с помощью известных формул площади прямоугольника S = a·b, площади квадрата S = a²иплощади треугольника S=1/2·a·h, где a и b – стороны многоугольников, h- высота треугольника площади фигур на карточках (на отверстия в многоугольниках не обращать внимание):

2.2.2. Проведем вычисления площади участка земли, представленного на кадастровой карте в виде фото. (Приложение 2) Дан земельный участок в Московской области в деревне Фалилеево. Площадь участка по данным кадастровой палаты 168000 м². Применим формулу Пика для вычисления площади данного участка на фото (в качестве решетки используем палетку): В=38, Г=17, см². На фото нет масштаба. По реальным данным кадастровой палаты и площади, полученной по формуле Пика можно легко вычислить масштаб: 1:6000. Где пригодится такая задача? Конечно же на уроках географии, математики и даже на занятии по экономике.

Нужно отметить, что в учебнике математики за 6 класс есть задачи, связывающие площадь участка на карте с площадью участка на местности и масштабом, но участок там рассматривается в виде прямоугольника, а здесь рассмотрен случай участка произвольной формы.

2.2.3. Проведем вычисление площади Египта на картепо формуле Пика. Дан масштаб карты

1: 41000000 и реальная площадь Египта равна 1001450 км². [6]

Используем палетку. В=3, Г=8, см² – площадь Египта на карте, вычисленная по формуле Пика.

Применим масштаб и сравним результаты: 6·41² ·10¹² = 10086·10¹² см² =1008600 км². Погрешность составляет 0,7%.

(Приложение 3)

3. Заключение

3.1. Результаты работы:

1. Найдена и проанализирована необходимая информация в печатных изданиях и Интернет-ресурсах, на основе чего составлена теоретическая часть исследовательской работы.

2. Выбран материал для исследования: задачи из сборника тестов ОГЭ за 9 класс [5], географические карты, снимок земельного участка из космоса.

3. Проведены вычисления площадей исследуемых объектов.

4. При проведении эксперимента с одноклассниками сделан следующий вывод: площади многоугольников, вычисленные по формуле Пика и по формулам конкретных фигур – одинаковы, но по формуле Пика площадь находится гораздо быстрее, так как не надо достраивать фигуру до прямоугольников (треугольников) или наоборот разбивать на эти же фигуры. Кроме этого, площадь невыпуклого многоугольника только и получилось установить по формуле Пика (рис.№3)

5. Формулу Пика удобно применять для нахождения площади неправильного многоугольника, это показывают вычислительные исследования площадей Египта и участка земли с кадастрового фото, но при этом есть незначительная погрешность.

6. Проведен опрос среди учащихся моего класса о целесообразности изучения дополнительной формулы в школьном курсе математики. Если при вычислении площади первых двух фигур (рис. №1 и рис. №2) по обычным формулам, а затем по формуле Пика одноклассники высказывали сомнения в целесообразности новой формулы, то на последнем рисунке (рис. №3), где изображен невыпуклый многоугольник, все дружно согласились, что без формулы Пика не справиться.

7. Палетка сегодня на уроках математики практически не используется, но нужно отметить, что это очень полезный гаджет для современного школьника, интересующегося материалом, выходящим за рамки школьной программы.

8. Таким образом гипотеза: «формула Пика для вычисления площадей многоугольников является универсальным средством для вычисления площадей любых объектов, представленных в виде многоугольников на плоскости» подтвердилась. Формула Пика имеет практическую значимость. Применение формулы расширяет возможности работы с площадями объектов на плоскости, как с математической точки зрения, так и с географической и экономической.

9. Материал исследовательской работы будет представлен в виде презентации на уроке географии и математики, где он будет очень полезен.

3.2. Перспектива вопроса:

Изученная формула Пика конечно же поможет учащимся при нахождении площади многоугольника, особенно невыпуклой формы. Такие задачи часто встречаются в тестах Государственных экзаменов и за курс основной школы, и за курс среднего образования.

Формулу Пика удобно применять для нахождения площади неправильного многоугольника. На этом выводе учителям можно составить много разнообразных тренировочных задач для уроков географии, математики, экономики.

Большой интеллектуальный опыт, полученный при проведении исследований в данной работе дает стимул для будущих открытий, например, для исследования имеющихся еще методик вычисления площадей неправильных многоугольников.

4. Список использованных источников и литературы.

1. Высказывания о математике. Н.И.Лобачевский. Интернет – ресурс: http://math-school.narod.ru/quotes_from_great_men_of_mathematics

2. Георг Алекса́ндр Пик. Интернет – ресурс: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3

3. Георг Алекса́ндр Пик. Интернет – ресурс: http://ru.knowledgr.com/00753441/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%9F%D0%B8%D0%BA

4. Египет. Интернет – ресурс: https://geographyofrussia.com/egipet/

5. Математика. 9-й класс. Подготовка к ОГЭ-2016: учебно-методическое пособие/ Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова.-Ростов-на-Дону:Легион, 2015.

6. Масштаб. Интернет – ресурс: https://dic.academic.ru/searchall.php?SWord=%D0%BC%D0%B0%D1%81%D1%88%D1%82%D0%B0%D0%B1&from=xx&to=ru&did=ruwiki&stype

7. Многоугольник. Интернет – ресурс: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/6735

8. Невыпуклый многоугольник. Интернет – ресурс: https://author24.ru/spravochniki/geometriya/formuly_parallelogramma_trapecii_kvadrata_pryamougolnika_i_romba/mnogougolnik_vypuklyy_mnogougolnik_c

9. Площадь. Интернет – ресурс: https://dic.academic.ru/searchall.php?SWord=%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C&from=xx&to=ru&did=&stype=0

10. Формула Пика. Интернет – ресурс: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Расчеты по обычным формулам:

Расчеты по формуле Пика:

Приложение 2.

Фото участка.

Приложение 3.

Приложенная палетка на карте.