V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Симметрия в природе
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Гуляя осенью в роще, я собрал красивые опавшие листья и принес их домой. Мой папа (Радионов А. А., научный сотрудник Южного математического института ВНЦ РАН), глядя на них, проронил фразу: вот ещё один пример симметрии в природе. Я заинтересовался и первым делом посмотрел в словаре С.И.Ожегова, что означает слово «симметрия», а потом стал приставать к отцу с расспросами: как он определил, что перед нами «симметрия» и каких видов бывает симметрия? Это и послужило поводом изучить этот вопрос.
Цель работы: показать, какие виды симметрии наблюдаются в природе, и как они описываются при помощи математики.
Моей задачей было:
- дать описание различных видов симметрии;
- попытаться самостоятельно найти математические соотношения в строении листьев деревьев.
Объект исследования: кленовые и виноградные листья.
Предмет исследования: симметрия в природных объектах.
Методы, используемые в работе: анализ литературы по теме, научный эксперимент.
Данная работа относится к реферативно-экспериментальной.
Значимость полученных результатов заключается в том, что листья растений могут быть изучены математически, измерены инструментально и симметричность этих природных объектов может быть проверена.
Симметрия в окружающей нас природе
Симметрия (древнегреческое – «соразмерность») – закономерное расположение подобных (одинаковых) частей тела или форм живого организма относительно центра или оси симметрии. При этом подразумевается, что соразмерность – часть гармонии, правильного сочетания частей целого [7].
Гармония – греческое слово, обозначающее «согласованность, соразмерность, единство частей и целого». Внешне гармония может проявляться в симметрии и пропорциональности.
Симметрия очень распространенное явление, ее всеобщность служит эффективным методом познания природы. В живой природе симметрия не абсолютна и всегда содержит некоторую степень асимметрии. Асимметрия – (греческое «без» и «симметрии») – отсутствие симметрии.
Внимательно рассматривая природные явления, можно увидеть общее даже в самых незначительных вещах и деталях, найти проявления симметрии. Форма листа дерева не является случайной: она строго закономерна. Листок как бы склеен из двух более или менее одинаковых половинок, одна из которых расположена зеркально относительно другой. Симметрия листка повторяется для всех листиков данного дерева. Это пример зеркальной симметрии – когда объект можно разделить на правую и левую или верхнюю и нижнюю половины воображаемой осью, называемой осью зеркальной симметрии. Находящиеся по разные стороны оси половинки почти идентичны друг другу. Зеркало в точности воспроизводит то, что оно «видит», но рассмотренный порядок является обращенным: правая рука у двойника в зеркале оказывается левой. Зеркальную симметрию можно обнаружить повсюду: в листьях и цветах растений. Более того, зеркальная симметрия присуща телам почти всех живых существ (Приложение №1, рис. а).
Многие цветы обладают радиальной симметрией: внешний вид узора не изменится, если его повернуть на некоторый угол вокруг его центра. Такая симметрия называется поворотной симметрией или осевой симметрией. При этой симметрии лист или цветок, поворачиваясь вокруг оси симметрии, переходит сам в себя. Если разрезать стебель растения или ствол дерева, то на срезе зачастую отчетливо видна радиальная симметрия в виде полосок (Приложение №1, рис. б).
Поворот на определенное число градусов, сопровождаемый увеличением размера вдоль оси поворота (или уменьшением размера или же без изменения размера), порождает винтовую симметрию – симметрию винтовой лестницы (Приложение №1, рис. в).
Симметрия подобия. Еще один вид симметрии – симметрия подобия, связанная с одновременным увеличением или уменьшением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Такую симметрию демонстрируют все растущие организмы: маленький росток любого растения содержит все особенности зрелого растения. Симметрия подобия повсеместно проявляется в природе на всем, что растет: в растущих предметах растений, животных и кристаллов (Приложение №1, рис. г).
В математике самоподобные геометрические объекты называются фракталами [1,4-6]. Для фракталов характерно, что малая часть геометрической кривой подобна всей кривой. На рисунке представлен процесс построения самоподобных кривой Коха и снежинки Коха (первые 4 шага). (приложение №2)
Любой отрезок построенной таким образом кривой имеет бесконечную длину. Фракталы характеризуются фрактальной размерностью. Термин фрактал и фрактальная размерность были введены математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 г [6]. Фрактальная размерность была введена как коэффициент, описывающий геометрически сложные формы, для которых детали являются более важными, чем полный рисунок.
Размерность 2 означает, что любую кривую мы можем однозначно определить двумя числами. Поверхность сферы двумерна (ее можно определить с помощью двух углов широты и долготы). Размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов – увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров тоже в два раза. Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (площадь прямоугольника) в четыре раза. Для 3-х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводит к увеличению объема в восемь раз.
Размерность D может быть определена математически с помощью правила:
где N –N число деталей, – коэффициент масштаба, D – размерность.
Отсюда для размерности получим формулу:
Возьмем отрезок, поделим его на три равные части (N = 3), каждая полученная часть будет длиной в 3 раза меньше (), чем длина начального отрезка:
следовательно для отрезка размерность равняется одному.
Аналогично для площади: если измерить площадь квадрата, а затем измерить площадь квадрата со стороной длинною от длины стороны начального квадрата, то она окажется в 9 раз меньше (N = 9) площади начального квадрата:
для плоской фигуры размерность равняется двум. Для пространственной фигуры, такой как куб, вычисленная размерность равняется трем.
Аналогичные вычисления для кривой Коха дают результат:
следовательно фракталам соответствует не целая, а дробная размерность.
Проведение научного эксперимента
Обоснование выбора:
В качестве экспериментального материала выбраны опавшие листья деревьев: клена и винограда на внешний вид симметричные (осевая, зеркальная симметрия).
Последовательность эксперимента:
- Измерение площади левой и правой частей листа;
- Измерение углов между прожилками на листе;
- Измерение длин прожилок, имеющихся на листе;
- Запись полученных результатов;
- Поиск математических закономерностей;
- Выводы по полученным результатам.
Список того, что надо изучить на листе дерева:
Симметрия;
Углы;
Фракталы;
Геометрическая прогрессия;
Логарифмы.
Рассмотрение опавших листьев показало, что листья симметричны относительно своей оси. Более подробное рассмотрение показывает, что симметрия незначительно нарушается на краях листа, а в некоторых случаях и внутри поверхности листа.
Чтобы убедиться, насколько левая и правая части листа одинаковы, были проведены следующие измерения:
1) измерение площади левой и правой частей листа;
2) измерение углов, под которым пересекаются прожилки в левой и правой частях листа;
3) измерение длины основных прожилок в левой и правой частях листа;
4) измерение длины вторичных прожилок в левой и правой частях листа;
5) измерение длины самых мелких прожилок листа.
Для удобства проведения измерений все листы были сначала отсканированы, а затем распечатаны на бумаге на черно-белом принтере с точным сохранением размеров и деталей изображения. На бумажном изображении листа и проводились измерения. Для измерения площади левой и правой частей листа на изображение дополнительно накладывалась сетка с шагом 5 мм. Площади левой или правой частей листа подсчитывались по количеству заполняемых листом маленьких квадратиков площадью 5x5 мм2. Некоторые квадратики оказывались частично заполненными: заполненные более половины учитывались при подсчете, а заполненные менее чем на половину не учитывались в подсчетах.
На фотографиях показан процесс проведения измерений (Приложение № 3).
Кленовый лист
1) измерение площади левой части показало 317 квадратиков по 25 мм2 или 79,25 квадратных сантиметров. Измерение правой части показало 312 квадратиков по 25 мм2 или 78 квадратных сантиметров. С учетом погрешности в точности измерений полученный результат говорит о том, что приблизительно площади левой и правой частей листа одинаковы (Приложение №4, рис. 1).
2) Определение углов, под которыми расходятся прожилки листа от его основания показывает, что эти углы приблизительно одинаковы и составляют около 25 градусов. В правой части листа при движении по часовой стрелки от середины листа, первая прожилка отстоит на 26 градусов, вторая - на 52 градуса, третья - на 74 градуса. А в левой части листа при движении против часовой стрелки от оси листа, первая прожилка отклоняется на 24 градуса, вторая - на 63 градуса, третья - на 80 градусов. На рисунке 2 Приложения №4 представлены эти измерения: видно, что при всей симметричности листа, наблюдаются некоторые незначительные нарушения симметрии.
3) Измерения длин прожилок. На рисунке вместе с углами отмечены измеренные длины основных прожилок. В тех случаях, когда прожилка листа оказывалась сильно искривленной, её длина измерялась по длине ломанной кривой: изогнутая прожилка делилась на три приблизительно одинаковые части и каждая часть измерялась как прямая - линейкой. Длина основных прожилок в правой части листа составила 30,2 см. В левой части листа - 30,6 см. Общая длина вместе с центральной прожилкой - 75 см.
Дополнительно, были измерены длины всех вторичных, малых прожилок листа, которые выходят не из основания листа. В левой части листа их суммарная длина равняется 52,6 см, а в правой части листа - 51.1 см. Общая длина составляет 103,7 см (Приложение №4, рис. 3).
Удивительно, но суммарная длина малых прожилок листа больше, чем длина главных прожилок листа. В левой части отношение этих длин равняется 1,72. В правой части - 1,69. Полученные отношения близки друг другу, но не равны в точности.
Виноградный лист
1) Измерение углов, под которыми расходятся прожилки листа винограда от его основания показывает, что эти углы приблизительно одинаковы и составляют около 40 градусов. В правой части листа таких прожилок две и при движении по часовой стрелки от середины листа, первая прожилка отстоит на 41 градус, вторая - на 86 градусов. В левой части листа при движении против часовой стрелки от оси листа, первая прожилка отклоняется на 41 градус, вторая - на 80 градусов. На рисунке 1 Приложения №5 представлены эти измерения. Здесь же отмечены длины основных прожилок листа.
Не менее интересно измерение углов, под которыми пересекаются вторичные прожилки (которые отходят не от центра основания листа). Эти измерения представлены на рисунке 2 Приложения №5: для вторичных прожилок листа наблюдается больший разброс значений углов, под которыми они пересекаются с другими прожилками, но в среднем этот угол составляет приблизительно 60 градусов. Этот средний угол одинаков как в левой части листа, так и в правой его части. Здесь же отмечены длины этих вторичных прожилок.
2) Измерение длин прожилок. Длина основных (исходящих из основания листа) в левой части листа равна 16 см. В правой части листа - 16,4 см. Длина с центральной прожилкой - 44,4 см.
Длина вторичных прожилок в левой части листа составляет 41,2 см, а правой части - 43 см. В сумме общая длина вторичных прожилок составляет 84,2 см. Для виноградного листа длина вторичных прожилок приблизительно в два раза больше, чем длина основных прожилок листа.
Для виноградного листа удается измерить и длину сетки самых мелких прожилок. Они отчетливо видны на задней поверхности листа. Измерения длин самых маленьких прожилок проводились при помощи подсчета их количества на половине расстояния между двумя вторичными прожилками, после чего найденное количество умножалось на их длину одной из них (приблизительно половина расстояния между двумя основными прожилками). При этом из подсчета могли выпадать мелкие прожилки, которые не соединяются с основными прожилками и находятся между более крупных прожилок.
Измеренная таким образом длина самых мелких прожилок в левой части листа составила 110,7 см, а в правой части листа - 133,9 см. Общая длина самых мелких прожилок - 244,6 см (Рис. 3, Приложение №5).
Удивительный вывод состоит в том, что чем меньше прожилки, тем больше их общая длина. В левой части листа отношение измеренных длин:
самые мелкие прожилки / вторичные прожилки = 110,7 / 41,2 = 2,69;
вторичные прожилки / основные прожилки = 41,2 / 16,0 = 2,57.
В правой части аналогичные отношения есть
133,9 / 43,0 = 3,11,
43,0 / 16,4 = 2,62.
Полученные отношения длин точнее для отношения вторичных к основным прожилкам, поскольку эти длины измеряются более точно. Для левой части отношение длины самых мелких прожилок к длине вторичных прожилок также дает приблизительно такое же значение около 2,7. Только в правой части листа это отношение заметно больше и равно 3,11.
Из измерения длин и углов пересечения прожилок можно сделать следующие выводы.
В левой и правой частях листа наблюдаются приблизительно одинаковые углы между основными и вторичными прожилками.
Также в левой и правой частях приблизительно одинаковы и длины основных и вторичных прожилок.
Отношение длин вторичных прожилок к длине основных прожилок приблизительно равно 2,6. Это означает, что при переходе от основных прожилок к вторичным - их длина увеличивается в 2,6 раза. Отношение длин самых мелких прожилок к длине вторичных прожилок равном 2,7 для левой части листа и 3,1 для правой части листа. Это означает, что при переходе от вторичных прожилок к самым мелким - их длина увеличивается в 2,7 раза (3,1 для правой части листа).
Найденная закономерность может объясняться фрактальной структурой листа: при переходе от крупного масштаба к более мелкому масштабу наблюдается приблизительно один коэффициент увеличения длины соответствующих прожилок.
Для углов пересечения прожилок разного масштаба говорить о фрактальной структуре нельзя. Основные прожилки пересекаются по углом в 40 градусов, вторичные - под углом в 60 градусов, а самые мелкие - приблизительно под углом 90 градусов.
Применим формулу фрактальной размерности для листа винограда.
для левой части листа:
количество основных: 2;
длина основных: 16,0 см;
количество вторичных: 12;
длина вторичных 41,2 см;
количество самых мелких прожилок: 407;
длина самых мелких прожилок 110,7 см;
1)
2)
3)
Вычисления фрактальной размерности для геометрического фрактала на этапах 2) и 3) должны дать близкие значения. Полученные цифры различаются более чем в два раза. Это говорит о том, что прожилки виноградного листа не образуют геометрического фрактала. Аналогичный вывод следует из сравнения углов, под которыми пересекаются прожилки разных уровней (40, 60, 90 градусов).
Заключение
В своей работе я на конкретном примере показал, что природные симметричные листья деревьев подчиняются математическим законам. Однако, даже с учетом погрешности измерений, исследованные мною листья не являются совершенно симметричными - в левой и правой частях листа найдены отличия, то есть в живой природе симметрия не абсолютна и всегда содержит некоторую степень асимметрии. Например, длина основных прожилок листа клена в левой части составляет 30,6 см, а в правой - 30,2 см. В процентном выражении это отличие составляет 1,3 %. Для виноградного листа такое же отличие составляет 2,5 %.
При переходе от большего масштаба прожилок листа к меньшему масштабу этих прожилок наблюдается приблизительно одинаковый коэффициент увеличения длин соответствующих прожилок. Этот коэффициент равняется 2,6 (для листа винограда) и сохраняется при переходе от самых крупных прожилок к более мелким, а от них - при переходе к самым мелким прожилкам.
Такое поведение прожилок не является фрактальной структурой виноградного листа: измерение фрактальной размерности дает различные значения для прожилок разного уровня. Наблюдающаяся сложная структура прожилок листьев образуется для снабжения водой и питательными веществами всей площади листа растения. По всей видимости, фрактальная структура прожилок листьев не всегда является наилучшей (оптимальной) формой для выполнения этой задачи растением.
Список использованной литературы:
Ссылки на монографии и учебные пособия
1.Пайтген Х.О., Рихтер П.Х., Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем//Мир.- М., 1993 г., 206 с. ISBN 5-03-001296-6
2. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир//Просвещение.-М.,1982-с.176
2. Ссылки на статьи из энциклопедий и словарей
3. Ожегов С.И. Словарь русского языка // Русский язык.-20-е изд. М.,1988-с.585
3. Ссылки на материалы интернет-ресурсов
4.Википедия, Фрактальная размерность. https://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактальная_размерность
5. Фракталы вокруг нас. http://sakva.net/fractals_rus/
6. Ивановский А. Фрактальная геометрия мира. http://w-o-s.ru/article/4003
7. Симметрия в природе. http://wonwilworl.blogspot.ru/2014/01/blog-post.html
Приложение №1
Рис. а
Рис. б
Рис. в
Рис. г
Приложение № 2
Кривая Коха
Снежинки Коха
Приложение №3
Приложение №4
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Приложение №5
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3