V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Способы умножения

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Мусина А.А. 1

---

1МКОУ Ордынского района Новосибирской области – Ордынская средняя общеобразовательная школа № 1 имени Героя Советского Союза А.Д.Гаранина

Протасова Н.В. 1

---

1МКОУ Ордынского района Новосибирской области – Ордынская средняя общеобразовательная школа № 1 имени Героя Советского Союза А.Д.Гаранина

Работа в формате PDF

4.2 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

А можно ли умножать не только так, как предлагают нам в учебниках математики? Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление и восторг окружающих.

В нашем современном обществе, когда у каждого есть телефон с калькулятором, мы всё чаще и чаще используем его, забывая, как можно без всякой техники легко и быстро выполнить умножение больших чисел.

Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что ученики затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или калькулятора. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического направления.[1]

Актуальность исследования: Несмотря на то, что наша жизнь в последние годы стала значительно легче благодаря обилию доступных электронных счетных устройств, навык быстрого и удобного умножения не потерял своей актуальности для человека.

Гипотеза исследования: Существуют другие способы умножения, которые легче и быстрее традиционного умножения столбиком.

Объект исследования: арифметическое действие «умножение».

Предмет исследования: различные нестандартные способы умножения.

Методы исследования:

Поиск разных способов умножения

Сравнение найденных способов и выявление их преимуществ и недостатков

Обобщение изученной информации

Цель исследования: Выявить и изучить новые способы умножения

Задачи:

Изучить литературу по данной теме;

Отобрать самые интересные и простые способы;

Научиться применять найденные способы умножения;

Проверить экспериментальным путём степень сложности каждого способа;

Проанализировать и выявить плюсы и минусы отобранных способов;

Провести мастер – классы по знакомству с нетрадиционными способами;

Провести анкетирование;

Составить буклеты – памятки самых простых и интересных способов;

Собрать электронную копилку видеоуроков по разным способам.

Глава 1. Из истории умножения

Умножение - это особый случай сложения нескольких одинаковых чисел. В далекие времена люди учились умножать уже при счете предметов. Так, считая по порядку числа 17, 18, 19, 20, они должны были представлять 20 не только как 10+10, но

и как два десятка, 30 - как три десятка,- и так далее. Умножать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения. В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами умножения - «предками» современных. В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современному. Индийцы производили умножение чисел, начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях надо было заменять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении. Таким образом, математики Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме. Индийский прием умножения перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой. В Европе продолжительное время произведение называли сумма умножения. Название «множитель» упоминается в работах VI века, а «множимое» - в XIII веке. В XVII веке некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком, а иные употребляли для этого точку. Только в конце XVIII века большинство математиков стали употреблять в качестве знака умножения точку, но допускали и употребление косого креста. Знаки умножения и знак равенства стали общепризнанными благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646 -1716).[2]

В современной школе умение быстро умножать многозначные числа, которое школьники получают к концу начальной школы, постепенно без постоянных систематических тренировок в среднем звене, теряет своё прямое назначение. Многие школьники не скрывают, что пользуются всё чаще при вычислениях калькулятором. И лишь по требованию учителя, показать развёрнутый полный ответ, прописывают решения примеров столбиками. Эксперты ЕГЭ ежегодно приходят к выводу, что навык простого умножения в столбик к 11 классу сохраняется не у всех. Но так как это основные базовые знания выпускника, поэтому в заданиях ОГЭ и ЕГЭ всегда присутствуют задания на умножение многозначных чисел. А может быть существуют другие, более лёгкие способы счёта, о которых известно мало? Возможно, не во всех странах используют столбик? Эти и другие похожие вопросы и легли в основу моего исследования по поиску и изучению необычных способов умножения.

Для того, чтобы понять, знают ли окружающие нестандартные способы умножения на практике, я провела небольшой опрос по данной теме. В опросе участвовало три группы: младшие школьники, подростки и взрослые. Участников опроса просили ответить на три вопроса:

- Как вы обычно умножаете многозначные числа, если у вас нет калькулятора?

- Знаете ли вы нестандартные способы умножения?

- Если да, то, какие? Эта анкета была проведена для того, чтобы выявить знание других способов. По результатам опроса можно сделать вывод, что большинство опрошенных не знают другие нестандартные способы умножения. Несколько малышей знакомы со способом счёта на пальцах, четверо подростков пояснили, как считать японским способом, а четверо – древнерусским. Опрос взрослых показал, что только семь человек знают другие нестандартные способы: японский и умножение на пальцах. (Приложение 1) Результаты опроса ещё больше убедили меня заняться более глубоким исследованием этого вопроса. И вот что я нашла. Коротко о самых интересных способах.

Глава 2. Японский или китайский способ умножения

Использование приема:

Допустим, нам надо умножить 13 на 24. Начертим следующий рисунок: Этот рисунок состоит из 10 линий. Эти линии обозначают число 24 (2 линии, отступ, 4 линии) и число 13 (1 линия, отступ, 3 линии).

Теперь нужно сосчитать пересечения линий на всех четырех концах следующим способом: (пересечения на рисунке указаны точками)

Количество пересечений:

Верхний левый край: 2

Нижний левый край: 6

Верхний правый: 4

Нижний правый: 12

1) Пересечения в верхнем левом крае (2) – первое число ответа

2) Сумма пересечений нижнего левого и верхнего правого краев (6+4) – второе число ответа

3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа.

Получается: 2; 10; 12.

Так как два последних числа – двузначные и мы не можем их записать, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему.

3(2+1)1(0+1)2

Ответ: 312[3]

Глава 3. Итальянский способ умножения «Сеткой»

В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность. Использование приема: Например, умножим 6827 на 345.

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

6∙3 = 18. Записываем 1 и 8

8∙3 = 24. Записываем 2 и 4

3.Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число. ( Как у нас в примере при умножении 2 на 3 получилось 6. Вверху мы записали 0, а внизу 6)

Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево снизу. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Ответ: 2355315. [3]

Глава 4. Индийский способ умножения

Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких-нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:[4]

Глава 5. Древнерусский способ

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались. Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2∙3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.[5]

Также известен и способ умножения на пальцах на 9. (Приложение 2)

Глава 6. Русский крестьянский способ

В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.

Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке. Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1. Затем вычеркиваем те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце. [5]

Глава 7.«Умножение крестиком» из Древней Греции

Древние греки и индусы в старину называли прием перекрестного умножения «способом молнии» или «умножение крестиком».

Пример: 63 х 92 = 5796 6 3

X

9 2

Последовательно производим следующие действия:

1. 3 х 2 = 6 – это последняя цифра результата.

2. 6 х 2 = 12; ,3 х 9 = 27; 12 + 27 = 39.

9 – предпоследняя цифра в ответе, 3 запоминаем.

3. 6 х 9 = 54, 54 + 3 = 57 – это первые цифры в ответе.

Ответ: 5796.

Этим способом удобно пользоваться и в настоящее время. [5]

Глава 8. Египетское умножение

В мире существуют разные способы умножения, порой непривычные для нас, совсем непохожие на наши правила умножения. К примеру, в Древнем Египте не было таблиц умножения. Но они умножали разложением чисел в двоичный ряд - так называемый «компьютерный» способ.

Например, нужно умножить 26 на 47.

1. Записываем 26 и 47.

2. Теперь левое число делим на 2, а правое умножаем на 2.

3. Так продолжается, пока в левой колонке не появится 1.

( Нечетные числа при делении на 2 округляем в сторону меньшего.)

Если число в левой колонке нечетное, то мы его отмечаем «плюсиком»

Теперь складываем отмеченные числа: 94 + 376 + 752 = 1222 [6]

Глава 9. Умножение чисел с помощью опорного числа

Автором способа является американец Билл Хэндли. Данный способ умножения очень интересный. Он позволяет не запоминать таблицу умножения целиком, так как она изучается в школьном курсе математики. Первое правило математики Билла Хэндли выглядит так: «Чем проще метод, используемый вами для решения задачи, тем быстрее вы ее решите и тем меньше вероятность того, что вы допустите ошибку» (3, 12).

Билл Хэндли предлагает при умножении чисел использовать опорное число. В качестве опорных чисел он выбирает числа, на которые легко умножать. Опорное число полезно при перемножении чисел, находящихся близко и при возведении в квадрат. При умножении чисел до 100, в качестве опорных, удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100. Вы, наверное, зададите вопрос, почему именно эти числа, а не другие. Ответ очень прост, потому что при умножении на 10 и 100 всего лишь следует приписать справа от числа количество нулей соответствующих числам 10 и 100. Когда берем 20 в качестве опорного числа, то 20 это 10 умноженное на 2, что легко посчитать, а 50 это половина 100, поэтому чтобы умножить на 50, можно умножить число, сначала на 100, а затем разделить результат на 2.

Методика использования опорного числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше опорного числа. Тут возможны три случая:

оба множителя меньше опорного;

оба множителя больше опорного;

один из множителей больше, а другой меньше опорного. [7]

Использование этого метода требует пошаговой работы с алгоритмом. (Приложение 3)

Глава 10. Умножение способом «Маленький замок» из Средних веков

Умножение чисел сейчас изучают в начальной школе. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из них носит название «Маленький замок». Преимущество способа умножения «Маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно, если требуется быстро оценить величину.

Цифры верхнего числа, начиная со старшего разряда, поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются.[5]

Глава 11. Умножение при помощи кругов

Последовательность работы умножения двузначного на двузначное число.

Ответ записывается следующим образом, смотрим снизу вверх количество точек 12, 2 – последняя цифра результата, один в уме, количество точек во второй области 10 и +1, того 11, 1 пишем и один в уме, количество точек третьей области 2 и +1, того 3. Ответ – 312. [8] Также можно умножить трехзначное число на двузначное. (Приложение 4)

Глава 12. Способ умножения Оконешникова

Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35

Левую цифру (в нашем примере — ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.

В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.

Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.[4]

Глава 13. Палочки Непера

Джон Непер, шотландский математик XVI века – изобретатель счетного прибора, в дальнейшем получившего название «палочки Непера».

Умножим числа 2191 и 272 с помощью палочек Непера. Палочки, соответствующие значениям каждого разряда множимого, выкладываются в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Слева прикладывается палочка – указатель строк, по которой выбирают строки, соответствующие разрядам множителя.

Суммируем цифры по наклонным полоскам справа налево, при необходимости перенося «в уме» в соседнюю слева полоску единицу или другое число.

Результат умножения2191 на 2 – это 4 382.

Аналогично находим результат умножения 2 191 на 7. Получаем 15 337.

Складываем все полученные результаты,

учитывая порядок разряда,

получаем искомое произведение.[9]

Заключение

В процессе исследования изучены разные источники, рассмотрены нестандартные способы умножения и выявлено, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный.

Изучив алгоритмы и научившись считать всеми представленными способами, я пришла к выводу, что каждый из способов, несмотря на свою степень сложности и затрат по времени, интересен, но самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе – это умножение столбиком и умножение на 9 на пальцах. Может быть потому, что они для нас более привычны. Поэтому гипотеза, выдвинутая вначале исследования, подтвердилась только частично. Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался японский или китайский способ умножения. Использовать пальцы рук как инструмент при умножении чисел также очень интересно. Заинтересовал меня и итальянский способ умножения. Я научила своих друзей и учащихся разных классов использовать эти способы. По результатам исследования я составила характеристику каждому способу и дала условную оценку всем способам. ( Приложение 5) Во время представления результатов моей работы, я провела несколько мастер - классов в разных классах нашей школы (в 4,7,8 и 9 классах). И уже после занятий попросила всех поучаствовать в анкетировании на степень удовлетворённости знакомства с новыми способами. Результаты опроса показали высокую степень заинтересованности представленным материалом. (Приложение 6) Поэтому можно сделать вывод, что материалы данного исследования имеют большую практическую значимость. Знакомство с новыми нетрадиционными способами умножения будет интересно не только учащимся на уроках математики, а также на математических кружках и при подготовке к мероприятиям недели математики в школе. Изучение содержания разных способов умножения оказалось не только полезным, но и очень увлекательным.

Источники

https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2016/03/29/proekt-nestandartnye-sposobya-umnozheniya

http://dereksiz.org/istoriya-vozniknoveniya-arifmeticheskih-dejstvij.html

http://открытыйурок.рф/статьи/652986/

http://iteach.vspu.ru/07-2017/14733/

https://infourok.ru/proekt-na-temu-neobichnie-sposobi-umnozheniya-1497585.html

http://www.athens.kiev.ua/egipetskoe-umnozhenie/

https://infourok.ru/proekt_po_teme_nekotorye_nestandartnye_sposoby_scheta_legkie_sposoby_umnozheniya-126504.htm

https://kopilkaurokov.ru/matematika/meropriyatia/issliedovatiel-skaia-rabota-po-matiematikie-umnozhieniie-s-uvliechieniiem

https://multiurok.ru/index.php/files/priezientatsiia-k-issliedovatiel-skoi-rabotie-razl.html

Приложение 1

Анкетирование среди младших школьников

Как вы обычно умножаете многозначные числа, если у вас нет калькулятора?

Знаете ли вы нестандартные способы умножения?

Если да, то какие?

Анкетирование среди подростков

Как вы обычно умножаете многозначные числа, если у вас нет калькулятора?

Знаете ли вы нестандартные способы умножения?

Если да, то какие?

Анкетирование среди взрослых

Как вы обычно умножаете многозначные числа, если у вас нет калькулятора?

Знаете ли вы нестандартные способы умножения?

Если да, то какие?

Приложение 2

Умножение на 9

Человеческая рука является одной из первых счетных машин. Положите обе руки рядом на стол и протяните пальцы. Каждый палец слева направо будет означать соответствующее порядковое число: первый слева — 1, второй — 2, третий — 3, четвертый — 4 и т. д. до десятого, который будет обозначать число 10. Например, нам необходимо умножить 7 на 9. Теперь поднимите седьмой палец. Число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, будет числом десятков произведения, а число пальцев направо — числом единиц. Налево от поднятого пальца лежат 6 пальцев, а направо — 3. Значит, результат умножения 7 на 9 равен 63. Или, например, 3 умножим на 9.

Это удивительное на первый взгляд механическое умножение тотчас же станет понятным, если вспомнить, что сумма цифр в каждом произведении чисел таблицы умножения на девять равна девяти, а число десятков в произведении всегда на 1 меньше того числа, которое мы умножаем на 9. Поднятием соответствующего пальца это мы и отмечаем, а, следовательно, и умножаем.

Данный способ умножения очень простой и позволяет не заучивать таблицу умножения на 9, а легко посчитать результат на пальцах.[7]

Приложение 3

Алгоритм умножения чисел с помощью опорного числа

При умножении чисел этим способом пользуются следующими правилами:

опорное число записываем слева от произведения в кружке;

нарисуем еще два кружка, следующим образом: если множитель меньше опорного числа, то помещаем кружок под ним, если множитель больше опорного числа, то рисуем кружок над ним;

разность множителей и опорного числа будем записывать в этих кружках с теми знаками, которые получились;

выполним сложение накрест, учитывая правило сложения чисел с разными знаками. Это значит надо прибавить любое из чисел в кружочке к числу не прямо над (под) ним, а к тому, что расположено по диагонали, то есть над (под) другим числом в кружочке. Делать это нужно всего один раз, поэтому выбирайте тот вариант, который вам кажется легче. В любом случае результат получится один и тот же;

полученный результат умножаем на опорное число, это будет промежуточный результат, который мы запишем после знака равенства;

перемножаем числа в кружочках, учитывая правило перемножения чисел с разными знаками, полученный результат прибавляем к тому, что получилось в 5 пункте, это и будет ответ. [7]

Приложение 4

Умножение трехзначного числа на двузначное.

Ответ записывается следующим образом, смотрим снизу вверх количество точек 3-последняя цифра результата, количество точек во второй области 8, в третьей области 5, в четвертой области 2. Ответ – 2583.[8]

Приложение 5

Приложение 6

Анкетирование после проведения мастер – классов

Понравилось ли тебе знакомство с новыми способами умножения?