V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Пропедевтика чисел Фибоначчи и связь их с окружающим миром

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Новикова Д.И. 1

---

1МБОУ лицей Физико-техническая школа

Коновалова С.Г. 1

---

1МБОУ лицей - Физико-техническая школа

Работа в формате PDF

1.3 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

1 Цели и задачи исследования

Цели:

1) изучение проявления чисел Фибоначчи и связанного с ними закона золотого сечения в строении живых и неживых объектов;

2) найти примеры использования чисел Фибоначчи в окружающем нас мире.

В качестве объекта исследования мною были выбраны цветок декабрист, хлорофитум, куриные и перепелиные яйца.

В качестве методов исследования я применяла теоретический, наблюдение и эксперимент.

1.1 Предположение (гипотеза)

1. Геометрические размеры яиц обладают свойством «золотого сечения».

2. При наблюдении за комнатными цветами соблюдается закономерность

2 Вводная часть

ПРОПЕДЕВТИКА (греч. propaideio – предваряю) - подготовительный , вводный курс в какую-либо науку, предшествующий более глубокому и детальному изучению соответствующей дисциплины.

Числа Фибоначчи являются элементами числовой последовательности, где каждое последующее число образуется посредством суммирования двух предыдущих.

Отношение каждого числа к последующему стремится к 0.618 при увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числе к предыдущему стремится к 1.618. Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пропорцией. Среди его современных названий есть такие, как Золотое сечение. В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой фи: Ф=1.618

2.1 Историческая справка

Леона́рдо Пиза́нский — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи.

Леонардо Пизанский никогда не называл себя Фибоначчи; этот псевдоним был дан ему позднее. Слово Fibonacci — сокращение от двух слов «filius Bonacci», появившихся на обложке «Книги абака»; они могли означать либо «сын Боначчо», либо, если интерпретировать слово Боначчи как фамилию, «сын Боначчи». Согласно третьей версии, само слово Боначчи нужно тоже понимать, как прозвище, означавшее «удачливый». Сам он обычно подписывался Боначчи; иногда он использовал также имя Леонардо Биголло — слово bigollo на тосканском наречии значило «странник», а также «бездельник».

По желанию отца, который хотел, чтобы Леонардо стал хорошим торговцем, он переехал в Алжир и изучал там математику (искусство вычислений) у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию.

В 1200 году Леонардо вернулся в Пизу и принялся за написание своего первого труда «Книги абака».

3. Исследования

Первая моя встреча с числами Фибоначчи произошла на уроке математике в физико-математической школе. На уроке я узнала удивительные свойства этих чисел. После урока математики был урок биологии, где мы говорили л шармонии мироздания и удивительном окружающем нас мире, а именно о том, что последовательность Фибоначчи проиллюстрирована природой.

Мне захотелось самой проэкспериментировать , действительно ли так удивительны числа Фибоначчи?! И именно этот ряд играет решающую роль в природе. Я прочитала, что окружающий нас мир, как макро, так и микро, эволюционирует по одним и тем же законам иерархии и что эти законы едины для живой и неживой материи. Ряд чисел Фибоначчи представляет собой некий зашифрованный закон природы. Я решила посмотреть, какая связь между «золотым сечением» и числами Фибоначчи?

Отношение смежных чисел приближается к отношению «золотого сечения».

Так, 21:34=0, 617 , а 34:35=0,618

То есть, в основе «золотого сечения» лежат числа последовательности Фибоначчи.

3.1 Поиск информации

Я решила посмотреть информацию о математических закономерностях в строении растительного мира в «интернете» . Там я нашла много интересных фактор о числах Фибоначчи. Вот только несколько из них:

3.1.1 Задача о размножении кроликов

Оказывается, что благодаря числам Фибоначчи можно даже предсказывать.

Для выполнения задачи были поставлены следующие условия: есть пара новорождённых крольчат (самка и самец), отличающихся интересной особенностью – со второго месяца жизни они производят новую пару кроликов – тоже самку и самца. Кролики находятся в замкнутом пространстве и постоянно размножаются. И ни один кролик не умирает.

Задача: определить количество кроликов через год.

Решение:

У нас есть:

Одна пара кроликов в начале первого месяца, которая спаривается в конце месяца

Две пары кроликов во втором месяце (первая пара и потомство)

Три пары кроликов в третьем месяце (первая пара, потомство первой пары с прошлого месяца и новое потомство)

Пять пар кроликов в четвёртом месяце (первая пара, первое и второе потомство первой пары, третье потомство первой пары и первое потомство второй пары)

Количество кроликов в месяц «n» = количеству кроликов прошлого месяца + количество новых пар кроликов, другими словами, вышеназванная формула: Fn = F_n-1 + F_n-2. Отсюда получается числовая последовательность, где каждое новое число соответствует сумме двух предыдущих чисел:

1 месяц: 1 + 1 = 2

2 месяц: 2 + 1 = 3

3 месяц: 3 + 2 = 5

4 месяц: 5 + 3 = 8

5 месяц: 8 + 5 = 13

6 месяц: 13 + 8 = 21

7 месяц: 21 + 13 = 34

8 месяц: 34 + 21 = 55

9 месяц: 55 + 34 = 89

10 месяц: 89 + 55 = 144

11 месяц: 144 + 89 = 233

12 месяц: 233+ 144 = 377

И эта последовательность может продолжаться бесконечно долго, но учитывая, что задачей является узнать количество кроликов по истечении года, получается 377 пар.

3.1.2 Золотое сечение

Золотое сечение является делением целого на части, соотносящиеся по принципу: большее относится к меньшему аналогично тому, как общая величина относится к большей части.

Впервые о золотом сечении упоминает Евклид (трактат «Начала» прим. 300 лет до н.э.), говоря и построении правильного прямоугольника. Однако более привычное понятие было введено немецким математиком Мартином Омом.

Приблизительно золотое сечение можно представить в качестве пропорционального деления на две разные части, к примеру, на 38% и 68%. Численное же выражение золотого сечения равно примерно 1,6180339887.

На практике золотое сечение используется в архитектуре, изобразительном искусстве (работы Леонардо да Винчи), кино и других направлениях. На протяжении долгого времени, впрочем, как и сейчас, золотое сечение считалось эстетической пропорцией, хотя большинством людей оно воспринимается непропорциональным – вытянутым.

Попробуем оценить золотое сечение и, руководствуясь следующими пропорциями:

Длина отрезка a = 0,618

Длина отрезка b= 0,382

Длина отрезка c = 1

Соотношение c и a = 1,618

Соотношение c и b = 2,618

Примеры золотого сечения:

Pаковина закручена по спирали. Отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618.

Многие природные процессы развиваются именно по спирали. Напри­мер, метель закручивает снежные массы по спиралям, ураган формиру­ется и раскручивается также по спирали. Обыкновенный паук плетет свою паутину спиралеобразно. Испуганное стадо северных оленей разбегает­ся по спирали.

3.2 Наблюдения

Регулярно поливая, я смотрела на декабриста, тщательно пересчитывала и записывала количество веточек. А однажды я так удивилась! Я как обычно пересчитывала количество веток и вслух сказала: «Странно, как будто бы двух веточек не хватает». Потом мама пояснила, что когда поворачивала горшок к свету, новые росточки сломались.

В таблице 1 приведены результаты моих наблюдений за растением «декабрист». Красным отмечено невыполнение закона Фибоначчи, из-за искусственного надлома двух веточек.

Таблица 1

Из таблицы видно, что сумма двух предыдущих веток равна текущему количеству.

.В таблице 2 приведены результаты моих наблюдений за растением «хлорофитум».

Таблица 2

Из таблицы видно, что сумма двух предыдущих веток равна текущему количеству.

3.3 Эксперимент

В качестве объекта для эксперимента я выбрала куриные и перепелиные яйца, которые случайным образом вытащила из холодильника. Я промерила геометрические размеры двух яиц различного вида. Результаты эксперимента приведены в таблице 2.

Таблица 2

Как видно из таблицы 2 отношение общей длины яиц к a и b очень близки к значениям «золотого сечения» (1,618 и 2,618). Отклонения от значений «золотого сечения возможно связаны с погрешностью измерения. Измерения я проводила с помощью штангенциркуля, который папа специально для меня принес с работы.

3 Выводы

Методика моего исследования заключалась в изучении специализированной литературы и обобщении полученной информации, а также проведении собственных исследований и выявлений свойств чисел Фибоначчи.

В ходе научных исследований определила само понятие чисел Фибоначчи, их свойства. В результате исследования я пришла к следующим выводам: числа Фибоначчи - уникальная арифметическая прогрессия, появившаяся в 13 веке нашей эры. Числа Фибоначчи встречаются в жизни человека, в жизни животных и растений. Мир природы — это мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".

Также я выяснила интересные закономерности в живой природе, в частности, в строении и особенности роста комнатного растения «декабриста» (зигокактуса), а также, измерив геометрические размеры куриных и перепелиных яиц, пришла к выводу о соблюдении правила золотого сечения.

Библиография

https://ru.wikipedia.org/wiki/Фибоначчи

https://www.tutoronline.ru/blog/chisla-fibonachchi-ishhem-sekret-mirozdanija

http://www.liveinternet.ru/users/marianna_kk/post290013401

Папа – Новиков Илья Владимирович