V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Геометрия в геодезии
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Геодезия относится к числу прикладных математических наук, геодезию и называют иногда практическою геометриею» – С.М. Соловьев (1914 г.)
Для практических целей часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог, и при различных измерениях объектов на местности. Можно подумать, что работа на ровной поверхности земли ничем, по существу, не отличается от работы циркулем и линейкой на обыкновенном листе бумаги. Это не совсем так. Ведь на бумаге циркулем мы можем проводить любые окружности или их дуги, а линейкой — любые прямые. На местности же, где расстояния между точками довольно велики, для подобных действий понадобилась бы длинная веревка или огромная линейка, которые не всегда имеются под руками. Да и вообще чертить прямо на земле, какие бы то ни было линии-дуги или прямые — представляется весьма затруднительным. Таким образом, построения на местности имеют свою специфику.
Ещё на уроках математики я узнала, что существует наука, которая занимается измерениями и построениями на местности - геодезия. Я заинтересовалась ею. Появилась гипотеза: если использовать знания о свойствах геометрических фигур, то можно решить практические задачи на местности.
Очень часто можно услышать такие высказывания: «Зачем нужно изучать математику, решать задачи? Где мне это пригодится?» Изучение математики развивает логическое мышление, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека.
Актуальность моего исследовательского проекта заключается в том, что наука геодезия не может развиваться без геометрии.
Плотное отношение между геодезией и геометрией показывает слово «геометрия», которое в переводе с греческого означает «землеизмерение».
Геодезия и геометрия долго взаимно дополняют и развивают друг друга. Развитию и совершенствованию методов геодезических работ способствовали научные достижения в области математики, физики, инструментальной техники. Для практических целей часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог, и при различных измерениях объектов на местности, и при разведках месторождений полезных ископаемых. Геодезические работы ведутся при планировке, озеленении и благоустройстве городов и рабочих поселков. Осушение и орошение земель, лесоустройство требуют применения геодезии. Большую роль геодезия играет и в военном деле. «Карта - глаза армии». Карта используется для изучения местности, для отражения на ней боевой обстановки, для разработки боевых операций и т.д.
Цель исследовательского проекта: узнать, какова связь между геометрией и геодезией и каковы различия.
Для реализации поставленной цели я определил следующие задачи:
Изучить математическую литературу по данной теме;
ознакомиться с приборами для измерения на местности;
подобрать теоретический и практический материал, позволяющий продемонстрировать приложение геометрических фактов к решению задач;
применить полученные знания на практике.
Объектом моих наблюдений стали:
Определение высоты предмета.
Определение расстояния до недоступной точки.
Методы исследования: Находить нужную литературу, обрабатывать информацию, выполнять и оформлять научно-исследовательскую работу с применением проектной технологии. Основной метод, который использовался в работе, - это метод систематизации и обработки данных.
Основная часть. Геометрия в геодезии
1.Что такое геодезия
Геодезия - наука о производстве измерений на местности, определении фигуры и размеров Земли и изображении земной поверхности в виде планов и карт. «Геодезия» - слово греческое и в переводе на русский язык означает «землеразделение». Название предмета показывает, что геодезия как наука возникла из практических потребностей человека. С развитием фотографии и особенно авиации стали широко применять для создания планов и карт фотоснимки земной поверхности. Геодезия развивается в тесной связи с другими научными дисциплинами. Огромное влияние на развитие геодезии оказывают математика, физика, астрономия. Математика вооружает геодезию средствами анализа и методами обработки результатов измерений. На основе физики рассчитывают оптические приборы и инструменты для геодезических измерений. Тесную связь геодезия имеет также с географией и геологией.
Из истории геодезии
Геодезия возникла в глубокой древности. Дошедшие до нас памятники свидетельствуют о том, что за много веков до нашей эры в Египте и Китае имелось представление о том, как в различных случаях измерять земельные участки. Приемы измерения земли были известны и в древней Греции, где они получили теоретическое обоснование и положили начало геометрии, что в переводе с греческого означает измерение земли. Геодезия и геометрия долго взаимно дополняли и развивали одна другую. Потребность в измерении Земли возникла на Руси еще в очень отдаленные времена. В 1068 г., т. е. в X I веке, было измерено расстояние между городами Таманью и Керчью через Керченский пролив по льду. В 1696 году начата первая съемка реки Дон. Преобладающая часть европейского цивилизованного мира также не имела точной географической карты, основанной на геодезических или астрономических работах. Петр I вместе с адмиралом Корнелием Крюйсом лично проводил эту съемку во время Азовского похода. Таким образом, русского царя можно назвать геодезистом. Измерения земной поверхности производились не только в интересах землевладения и земельного обложения налогами, но и для строительных и военных целей. [1].
Сегодня геодезия – это, по большей части, спутниковая геодезия, основанная на системах GPS (США) и ГЛОНАСС (РОССИЯ). Трудно представить современную геодезию без тесного взаимодействия с аэрокосмическим зондированием, геоинформатикой. Электронные карты и атласы, трехмерные картографические модели и другие геоизображения стали привычными средствами исследования для геодезистов.
Геодезия-геометрия (различия-аналогии)
Истоки геометрии, как это вытекает из названия (геометрия– землемерие), берут свое начало в землемерии. Формирование классической абстрактной геометрии началось еще с Фалеса и приняло свое заключительное выражение в «Началах» Евклида. Аристотель в своем трактате «Метафизика» положил четкую границу между геодезией и геометрией, применительно к «чувственным» и «умопостигаемым» абстрактным объектам. Геодезия к этому времени стала специфической системой профессиональных знаний, применявшихся в землеустройстве, земельном кадастре. Из самого термина (геодезия– землеразделение) вытекают характер и специфика этого рода знаний. Классическая геометрия (греческая) – «геометрия циркуля и линейки», а геодезия – геометрия прямого угла и мерной ленты (веревки). В совокупности вся система знаний разделилась на теоретическую и практическую геометрию, сохранивших свое деление и название практически до XXв. Но одновременно практическая система знаний именовалась геодезией. Геометрия развивалась и совершенствовалась благодаря заложенным в нее основам в виде постулатов и аксиом. По аналогии с теоретической геометрией, можно было бы в геодезии ввести постулаты и аксиомы, способствовавшие ее теоретическому развитию. В постулатах Евклида введены основные объекты геометрии: точки (то, что не имеет частей) и линия (не имеет ширины). В геодезии основными объектами являются введенные в работах [1, 2] структурные элементы (точки, линии, поверхности). Сохранив для точки и линии геометрическую интерпретацию, поверхность можно определить как то, что имеет ширину и длину. В геодезии использование и восприятие линии многофункционально:
- линия деления;
- линия границы
- линия как ориентир.
Особенно роль линии возросла, когда человек начал строиться и заниматься земледелием, т.е. при планировке земель и т.п.
Свои задачи геодезия решает, используя структурные элементы точки, линии, поверхности, углы. В геодезии существует ориентирование по четырем направлениям. В глобальной ориентировки формировались две важнейшие перпендикулярные линии (линии ориентирования), прямой угол сыграл роль мирового геометрического стандарта.
Понятие симметрии очень важно для геодезии. С учетом симметрии, пропорциональности формировались требования и технологии в строительстве и в геодезии. Главными фигурами в геодезических сетях были прямой угол и связанные с ним две простейшие фигуры: прямоугольный треугольник и квадрат (или прямоугольник) ( рис.1а,б,2)
Рис.1 Рис.2
Вся совокупность геодезических задач, решавшихся в древнее время под знаком практической геометрии, была представлена великим механиком и математиком Героном Александрийским. С позиций предмета «Практической геометрии» Герон излагает 17 известных геодезических задач:[1].
Измерить разность высот двух точек, невидимых одна от другой;
Провести прямую между двумя точками, невидимых одна от другой;
Найти расстояние места, где находишься, от другой недоступной точки;
Провести перпендикуляр на прямую, к которой нельзя приблизиться;
Измерить ширину реки;
Измерить глубину ямы;
Сквозь гору провести прямую, соединяющую две точки, данные с различных сторон горы;
Начертить контур реки;
Придать насыпи форму данного сферического сегмента;
Сообщить насыпи определенный уклон;
Измерить поле, не входя в него;
Разделить его на данное число частей посредством прямых, выходящих из одной точки;
Разделить трапецию и треугольник в данном отношении; и др..
Рис. 3. Трассировка дорог, каналов, водопроводов, использовавшаяся
римскими агрименсорами.
Основной метод измерений, который используется в геодезии, называется триангуляционным. Этот термин произошѐ л от латинского слова «триангумом», что означает «треугольник». В основе этого метода лежат знания о треугольнике, которые мы уже изучили, и сегодня будем закреплять и применять.
В геометрии рассматриваются две типичные геодезические задачи: определение высоты объекта и определение расстояния до недоступной точки (рисунки 4 -8). Решение этих задач основано на использовании теоремы синусов, теоремы косинусов, теоремы о сумме треугольника, следствие из теоремы синусов (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол) [2].
Рис.4. Рис.5.
Рис.6. Рис.7. Рис.8. [2].
Метод Фалеса (построение триангуляции). Определение расстояния до корабля
Рис.9
Рассматривалась фигура прямоугольного треугольника в веревочном варианте -
узлы на веревке в интервале «Пифагоровы тройки»-3,4,5. Фалес при помощи такого построения треугольника определил расстояние до корабля (Рис. 9.) Применение такого треугольника использовалось при пробивке тоннеля на острове Самос (рис.2.)
Наконец известен исторический факт. Фалес определил высоту пирамиды при помощи её тени.(рис.10) [1,4].
Рис.10 ( Метод Фалеса) [3].
Прямоугольный треугольник использовался в Древнем Риме и других странах при проектировании водопроводов, каналов и городской канализации. Наклон стока воды задавался стандартным отклонением (1:200)
Рис.11. Вертикальный треугольник в определении уклона при проложении римских водопроводов .[1].
Теорема Пифагора для геодезии имела громаднейшее значение, так как она определяла метрику окружающего (евклидова) пространства. В плане оценки площади прямоугольного треугольника и использовалась формула S=1/2 ab/
Прямоугольный четырехугольник и квадрат нашли более раннее применение при планировке отдельных сооружений и особенно в землеустройстве, межевании, земельном кадастре.
В римском земледелии все угодья делились на центурии(квадратной формы) (рис.12). [1].
Рис.12.
Исследование. Измерение и построение на местности.
В своём исследовании я не ставила задачу изучить основы геодезии. Я подобрала практические задачи на построение и вычисление на местности, которые надо знать любому из нас. Построения на местности, основываясь на геометрических законах, имеют свою специфику: все прямые не проводятся на земле, а прокладываются, т. е. отмечается на них, например, колышками, достаточно густая сеть точек. Обычно прокладку прямых на местности называют провешиванием прямых. При геодезических работах используются специальные колышки длиной 15-20 см и диаметром 2-3 см, в торец которых забиваются гвоздики для более точного обозначения концов отмеряемого отрезка, и вехи – деревянные заостренные шесты длиной 1,5-2 м и диаметром 2-4 см. [3].
Приборы:
Теодолит ― геодезический инструмент для определения направлений и измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах.
Тахеометр― геодезический инструмент для измерения расстояний, горизонтальных и вертикальных углов. Близок к классу неповторительных теодолитов, используется для определения координат и высот точек местности при топографической съёмке местности, при разбивочных работах, выносе на местность высот и координат проектных точек, прямых и обратных засечек, тригонометрического нивелирования и т. д.
Оптический нивелир ― геодезический инструмент для определения разницы высот точек земной поверхности.
Астролябия И.Э.Эслинга – угломерный прибор, которым пользовались геодезисты, посланные Петром Великим для геодезической съемки Камчатки и Курильских островов. Этот прибор предназначен, главным образом, для измерения горизонтальных углов. Не имеет уровней, горизонтальная установка, возможно, выполнялась с помощью съемного уровня. (рис 13)
Рулетка – лента, с нанесёнными на ней делениями, предназначена для измерения расстояний на местности.
Экер – прибор для измерения прямых углов на местности. (рис.12.)
Вехи (вешки) – колья которые вбивают в землю.
Земляной циркуль ( полевой циркуль – сажень) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м. и шириной 2 м. для измерения на местности. [3,5].
Рис.12 Экер. Рис.13. Астролябия.
Как правило, участки местности представляют собой не идеально ровную поверхность, как тетрадный лист, на земле есть возвышения и углубления. Чтобы они не искажали геометрические образы прокладываемых линий, на местности строят не наклонные отрезки, а их ортогональные проекции на горизонтальную плоскость. Их можно определить, зная угол наклона – угол, образованный линией местности и ее проекцией на горизонтальную плоскость.
Эти углы измеряются специальными приборами эклиметрами.[1,3,5].
Построение окружности на местности.
На местности устанавливается колышек, к которому привязывается верёвка. Держась за свободный конец верёвки, двигаясь вокруг колышка, можно описать окружность (рис.14). Практическая работа: построение окружности. .[3].
Задание: измерение радиуса, диаметра; вычисление площади круга, длины окружности.
рис.14.
Построение прямой на местности (провешивание прямой линии)
Отрезки на местности обозначают с помощью вех. Чтобы вешка стояла прямо, применяют отвес (какой – либо грузик, подвешенный на нитке). Ряд вбитых в землю вех и обозначает отрезок прямой линии на местности. В выбранном направлении ставят две вехи на расстоянии друг от друга, между ними другие вехи, так, чтобы глядя через одну, другие прикрывались друг другом.[3].
Практическая работа: построение прямой на местности.
Задание: отметьте на ней отрезок в 20 м, 36 м, 42 м. (Рис.15) .[3].
Рис.15.
Измерение средней длины шага
Считается некоторое число шагов (например, 50), измеряется данное расстояние и вычисляется средняя длина шага. Опыт удобнее провести несколько раз и сосчитать среднее арифметическое.[3].
Практическая работа: измерение средней длины шага.
Задание: зная среднюю длину шага, отложите на местности отрезок 20м, проверьте с помощью рулетки.
Построение прямых углов на местности
Чтобы построить на местности прямой угол АОВ с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска (ОВ) (рис.16).[3,5].
Практическая работа: построение прямого угла на местности, прямоугольника, квадрата.
Задание: измерьте периметр и площадь прямоугольника, квадрата.
Рис.16.
Построение и измерение углов с помощью астролябии
Астролябию устанавливают в вершине измерительного угла так, чтобы лимб её был расположен в горизонтальной плоскости, а отвес, подвешенный под центром лимба, проектировался бы в точку, принимаемую за вершину угла на поверхности земли. Затем визируют алидадой по направлению одной стороны измеряемого угла и отсчитывают на лимбе градусные деления против метки предметного диоптра. Повёртывают алидаду по ходу часовой стрелки в направлении второй стороны угла и делают второй отсчёт. Искомый угол равен разности показаний при втором и первом отсчётах.[3,5].
Практическая работа:
измерение заданных углов,
построение углов заданной градусной меры,
построение треугольника по трём элементам – по стороне и двум прилежащим к ней углам, по двум сторонам и углу между ними.
Задание: измерить градусные меры заданных углов.
Измерение высоты горы.
У подножия горы прикрепим вертикальный шест, прикрепим горизонтальную палку так, чтобы один конец задел поверхность горы, измеряем высоту h1. Таким образом поднимаемся до вершины горы M. Высота горы H=h1+h2+h3+h4+…(рис.17) [3].
Рис.17.
Измерение ширины реки.
Для измерения ширины реки останавливаемся в точке В и проводим мнимую прямую до дерева А, стоящего на том берегу реки и прикрепим шест в точке В. По реке проходим расстояние ВЕ и прикрепим шест в точке Е. От точки Е до точки С откладываем отрезок равный пятой части отрезка ВЕ Проводим мнимую прямую через точку Е к дереву А и прикрепим шест в точке К, измеряем расстояние СК. Расстояние АВ= 5× СК.(рис.18.) .[3].
Рис.18.
Заключение
В ходе выполнения данной работы я выяснил, что человек, не знающий геометрию, не сможет понять что – либо в геодезии, а значит, эти науки неразрывно связаны между собой. Геодезия и геометрии дополняют друг друга. В моей работе я подобрал задачи на построение и измерение на местности, которые можно применять нам в практической жизни. Профессия землеустроителя и геодезиста с древних времен и до настоящего времени остается одной из самых востребованных.
Список использованных источников и литературы:
Г.Н.Тетерин «Феномен и проблемы геодезии» Новосибирск:СТГА,2015,77 с.
В.Н. Клюшниченко « Многогранная геодезия» Новосибирск:СТГА,2016.-164 с.
В.Н.Ганьшин «Простейшие измерения на местности», Москва, «Недра», 2014г, 110с.
Г.И.Глейзер «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 2014г, 240с.
Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.- М: Просвещение, 2014г.