V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ДОПУСТИМЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Каждому человеку в жизни приходилось выполнять достаточно сложные расчёты, находить и применять формулы, владеть приёмами геометрических измерений. Вместе с тем человек не всегда учитывает все условия, влияющие на предполагаемый результат. В ходе решения математических задач можно столкнуться с тем, что некоторые значения, которые мы выбираем либо не подходят, либо на них накладываются определённые условия.
Практически у всех, так или иначе имеющих отношение к алгебре, на слуху словосочетание «область допустимых значений», также довольно часто аббревиатуру ОДЗ можно встретить в описаниях решений уравнений, неравенств и задач практической направленности.
Решение уравнений и неравенств с обязательным нахождением ОДЗ является важной задачей и для современной математики. Интерес к ним достаточно велик, так как эти уравнения, неравенства и функции тесно связаны с поиском множества допустимых значений выражений, не нарушающих определённые правила математики.
Анализ результатов проверочных работ, проведённых среди учащихся 9-10-х классов МБОУ «СОШ №9», свидетельствует о том, что много ошибок допускается ими в решении заданий с использованием области допустимых значений.
Проблема: отсутствие навыков решения уравнений и неравенств, в которых нужно находить ОДЗ у учащихся мешает им успешно подготовиться к итоговой аттестации по математике и математическим олимпиадам, обучению в профильном математическом классе.
Перечисленные факты определили актуальность нашей работы: «Допустимые значения в решении уравнений и неравенств».
Владение простейшими способами решения уравнений и неравенств сокращает время для выполнения задания, от которого зависит результат работы и качество процесса обучения.
Цель работы: изучение и определение роли ОДЗ в решении уравнений, неравенств и практических задач.
Исходя из поставленной цели, в работе определены следующие задачи:
- изучить литературу и Интернет-ресурсы по данной теме;
- изучить теоретический материал и историю формирования понятия ОДЗ;
- рассмотреть и проанализировать различные методы решения заданий в математике и в жизни с участием ОДЗ;
- оценить степень сложности в использовании различных методов и классифицировать их.
Объект исследования – область допустимых значений функций, уравнений и неравенств.
Предмет исследования – методы решения уравнений и неравенств с использованием ОДЗ.
Гипотеза: мы предполагаем, чтообласть допустимых значений – это следствие возникновения различных условий в функциях, неравенствах и уравнениях.
Методы исследования:
- библиографический метод (анализ литературы по теме исследования);
- метод классификации;
- метод качественного анализа.
Теоретическая значимость исследования состоит в систематизации знаний о функциях. Область определения многих из них имеет ограничения. ОДЗ встречается: а) при решении дробно-рациональных уравнений и неравенств; б) при решении иррациональных уравнений и неравенств; в) при решении уравнений и неравенств, содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Практическаязначимость – разработка памятки для учащихся по теме: «Допустимые значения в решении уравнений и неравенств».
1. Область допустимых значений
1.1 Понятие области допустимых значений
Определение области допустимых значений переменных для выражения дается через термин «допустимые значения переменной». Впервые определение значения выражения с переменной на уроках алгебры вводится в седьмом классе.
Существуют выражения, значения которых при некоторых выбранных значениях переменных вычислить невозможно. Например, невозможно вычислить значение выражения , так как делить на нуль нельзя. Это послужило причиной введения в обиход терминов «выражение, имеющее смысл при данных значениях переменных» и «выражение, не имеющее смысла при данных значениях переменных». Говорят, что выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение.
Определение. Выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение [3,6].
Теперь мы можем дать определение допустимых и недопустимых значений переменных.
Допустимые значения переменных – это такие значения переменных, при которых выражение имеет смысл. А значения переменных, при которых выражение не имеет смысла, называют недопустимыми значениями переменных [4,1-12].
В описаниях решений уравнений, неравенств и задачах, как такового определения области допустимых значений (ОДЗ) нет в основных учебниках, используемых в школе. Поэтому интересно, откуда берет начало этот термин, а с позиции практики интереснее знать, какой смысл в него вкладывают.
Определение.Под областью допустимых значений (ОДЗ) понимают множество всех допустимых значений переменных для данного выражения, не нарушающих основных правил математики. (Приложение 1)
Например: дано выражение , и записано ОДЗ: (−∞, 3)∪(3, +∞). Последнюю запись стоит понимать так: область допустимых значений переменной z для выражения есть (−∞, 3)∪(3, +∞).
Рассмотрим понятия «область допустимых значений» и «область определения». Часто между этими терминами стираются различия. Например, говорят про область определения выражения [5,87], под которой фактически понимают ОДЗ переменных этого выражения. Также можно столкнуться с областью определения уравнения или неравенства, под ней подразумевают ОДЗ переменных, на которой одновременно имеют смысл обе части уравнения или неравенства [6,204]. Как тут не спутать одно с другим? Будем придерживаться следующего подхода: к функциям относить область определения, а к выражениям – ОДЗ переменных. И наконец, приведем такое утверждение: область определения функции y = f(x) совпадает с областью допустимых значений переменной x для выражения f(x).
Выяснилось, что на практике многие учащиеся затрудняются находить D(y)(область определения функций), поэтому мы обращаем внимание на данный факт и описываем его далее. (Приложение 2)
1.2 Исторические факты формирования понятия ОДЗ
В древневавилонских текстах (3000 2000 лет до нашей эры) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, содержащих уравнения второй степени, устанавливающих зависимость между переменными, не исключая ограничения.
Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно. В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III века) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых с помощью составления уравнений. Чтобы обезопасить себя от решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой, Диофант обозначал неизвестные числа (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение Ответ только положительный корень 2, т.к. в те времена квадратные уравнения не решали [1,63].
Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин.
В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек).
Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой.
Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных величин» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств».
Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением.
Близкое к современному определению понятие функции даёт Н. И. Лобачевский: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе».
Таким образом, мы пришли к определению области допустимых значений для функции, точнее её области определения. Областью определения (допустимых значений) функции называется совокупность значений независимой переменной , при которых эта функция определена, т. е. область изменения независимой переменной (аргумента).
Область допустимых значений функции нельзя путать с областью значений функции. Если первое – это все значения х, при которых уравнение или неравенство может быть решено, то второе – все значения функции .
Об области допустимых значений нужно помнить всегда, поскольку нередко найденные значения коварно оказываются вне этой совокупности и поэтому не могут быть решением уравнения или неравенства.
В ходе исследования было выявлено, что существуют различные способы решения уравнений и неравенств, в которых по-разному определяется роль области допустимых значений (ОДЗ).
Результатом поиска различных решений уравнений и неравенств, стали решения методом тождественных преобразований (равносильных переходов), методом подбора значений, входящих в ОДЗ или исключающих их из решения. Интерес вызвали задания «ловушки», которые требуют особой бдительности при решении задач, так как при определённых условиях расширяют ОДЗ или сужают её, что в последствие может вызвать потерю корней.
2. Роль области допустимых значений при решении уравнений и неравенств
2.1 Решение дробно-рациональных уравнений и неравенств
Дробно-рациональные уравнения имеют вид = 0. Решение уравнения требует, чтобы знаменатель дроби не равнялся нулю, т.е. необходимо выполнение следующего условия:
Дробно-рациональные неравенства, в частности имеют вид 0. (данная совокупность соответствует одному из способов решения неравенств).
2.2 Решение иррациональных уравнений и неравенств
Простейшие иррациональные уравнения имеют вид. Возведя обе части уравнения в квадрат, мы избавимся от иррациональности. Обратим внимание на то, что возведение в квадрат, вообще говоря, не равносильное преобразование, и при возведении в квадрат мы можем получить лишние корни [6,203]. Если корни получились целые, то несложно произвести проверку. Но в некоторых случаях производить проверку неудобно, тогда используют сведение данного уравнения к равносильной системе:
В данном случае нет необходимости находить ОДЗ для функции , так как из первого уравнения следует, что при полученных значениях выполняется неравенство: Решением уравнения вида = является система: =
Поскольку в уравнение и входят равноправно, то вместо неравенства , можно включить неравенство , и естественно, надо выбирать из них наиболее простое [2,63].
Приведем схемы решения основных иррациональных неравенств:
2.3 Особенности использования области допустимых значений
Рассмотрим примеры, где при решении уравнений ситуация ясна и без нахождения ОДЗ.
1.− = 3. Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выражения большего должно получатся отрицательное число.
2. + = -1. Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицательной.
а) ОД3 представляет собой пустое множество, значит, исходное уравнение не имеет решений. Например: .
б) В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни. Например: 1. , корень х = 3
2. +. В области допустимых значений находятся два числа: 2 и 3 и оба подходят.
3. В ОДЗ находятся два числа 0 и 1,подходит только 1.
Эффективно можно использовать ОДЗ в сочетании с анализом самого выражения.
4. . ОДЗ соответствует система: В правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х = 2, тогда в неравенство подставим 2.
2.4 Область допустимых значений и свойства функций
Рассмотрим неравенство: + . Находим ОДЗ и решаем неравенство. Однако при решении этого неравенства школьники иногда считают, что вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия Для получения верного ответа необходимо учесть неравенство и Напомним, что всякое уравнение (неравенство) может быть сведено к виду ( . ОДЗ - это область определения функции левой части, тоесть, область определения функции квадратного корня.
Например: 1. = 1. Учитывая ОДЗ, имеем:, тогда , получим . Ответ: решений нет.
2. . ОДЗ: 1 x.
Так какx 1, т = С другой стороны. Равенство возможно только тогда, когда каждая часть уравнения обращается в 0, т. е. при х = 1. После подстановки в неравенство убеждаемся, что решений нет.
3. 2 + ОДЗ: Рассмотрим уравнение на полуинтервале [-1;0). На нем выполняются следующие неравенства: и , поэтому Ответ: решений нет.
При функции и строго возрастающие функции, и потому каждое свое значение принимают только один раз. Значит, уравнение не может иметь больше одного корня, равного 1.
2.5 Равносильность переходов и область допустимых значений
Иногда, решая уравнение можно обнаружить, что заниматься поиском допустимых значений нет необходимости. Главным приемом решения уравнений являются в этом случае равносильные преобразования при переходе от одного уравнения (неравенства, системы) к другому.
1. Рассмотрим уравнение = xx2 = 1. Найдём те значения переменной х, при которых x2 = 1. Мы не можем получить х = 0. В данном случае можно обойтись без ОДЗ.
2. 2 = 4. Область допустимых значений не нужна, т.к. мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения, стоящего в левой части уравнения, положительному числу правой его части.
3. Рассмотрим следующее задание: = 4
ОДЗ не нужно в уравнении, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функции, а потому не может быть отрицательным.
4. = Для решения достаточно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно. Стоит, однако, заметить, что при решении способом равносильных преобразований помогает знание ОДЗ и свойств функций.
В целом эффективность способа равносильных преобразований вроде бы ясна. С их помощью мы добираемся до ответа и без поиска ОДЗ. Значит ли это, что имеется некий универсальный способ и осталось только научиться, им пользоваться? Но это не совсем так. Тому несколько причин. Теорем о равносильных преобразованиях довольно много, они непросты для запоминания, и уверенное владение ими – дело не простое. Часто, пользуясь равносильными преобразованиями, начинаешь ставить знак равносильности при любых переходах от одного уравнения к другому, как действительно равносильных, так и не являющихся таковыми. (Приложение 3)
Еще одна сложность при записи равносильности можно забыть выписать все условия, ее гарантирующие, но на ответе это может никак не отразиться. И наконец, возможно, самое существенное. Дело в том, что равносильность гарантирует правильность ответа, если совершаются какие-то преобразования самого уравнения, а не используется преобразование только одной из частей, т.к. оно не попадает под действие теорем о равносильности.
Например: = 2. Преобразуя левую часть равенства, придем к уравнению = 2 , далее к равенству 2 = 2, из чего следует, что решением является любое число. Из области определения функции левой части, т. е. из ОДЗ уравнения следует, что ОДЗ является пустым множеством. Значит, решений нет.
Итак, что же получается? Вся «теория» равносильности и сложна, и недостаточна в принципе. Можно решать просто переходить только к выводным уравнениям, которые следуют из данного уравнения, ни при каких обстоятельствах не терять корней («На ноль делить нельзя!»), а затем подстановкой отделять лишние? Увы, и это не подходит. Во-первых, что делать с неравенствами? Там же бесконечное число решений и все не подставишь. Во-вторых, и в уравнениях не все гладко. Например, при решении уравнения = 2x3 таким способом подстановке подлежат числа , . Заметим, что предстоит выполнить трудоёмкие вычисления. В то же время при равносильных преобразованиях достаточно к равенству + 2x3 = добавить условие 2x3 , и видно, что этому условию отвечает только число , а потому именно оно является решением уравнения. Заметим, что тождественные преобразования могут: не влиять на ОДЗ; могут приводить к расширению ОДЗ и приводить к сужению ОДЗ. При преобразовании выражений надо строго избегать преобразований, сужающих ОДЗ, так как может произойти потеря корня. (Приложение 4)
2.6 «Задачи – ловушки»
Среди заданий, использующих уравнения или неравенства, есть особые задачи, «задачи-ловушки» (задания, в которых ОДЗ может сыграть над вами злую шутку). Известно, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, мы можем прийти к неверным решениям.
Например: = +3. Учитывая ОДЗ, имеем: x. Так как справа стоит выражение положительное по знаку, то > ,
отсюда x– 5 > 2x –1 . Решая последнее неравенство, получим что не входит в ОДЗ. Ответ: решений нет.
Примеры заданий «ловушек»:
Ответ: нет корней
Ответ: нет корней
Ответ: .
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Сегодня мы имеем возможность проследить различные способы решения уравнений и неравенств. Благодаря научным статьям, учебной литературе, ресурсам интернет произошло знакомство с разными алгоритмами их решения.
Следует отметить, что изучая способы решения уравнений и неравенств, в которых нужно находить ОДЗ, мы пришли к следующему выводу: решение уравнений такого порядка не имеют систематического изложения в курсе алгебры, возможно, поэтому учащиеся допускают ошибки на этапах решения заданий.
В ходе исследовательской работы была проведена письменная работа по теме: «Решение рациональных и иррациональных уравнений и неравенств».
Цель проверки:
- оценить уровень навыков решения учащимися уравнений и неравенств, в которых необходимо находить область допустимых значений (ОДЗ);
- проверить, как учащиеся в ходе решения уравнений осуществляют равносильные преобразования;
- выяснить, как учащиеся отбирают и проверяют корни в уравнениях (множество корней в неравенствах).
Работа проводилась среди группы учащихся 9-10-х классов МБОУ «СОШ №9»г.Лесосибирска. Результаты выполнения работы представлены в диаграммах. (Приложение 5)
Заключение
Изучив учебную и научную литературу, Интернет-ресурсы в молодежных образовательных форумах по теме: «Допустимые значения в решении уравнений и неравенств», мы выяснили, что существует различные способы решения уравнений и неравенств, начиная со способов математиков Древнего Вавилона, в которых по-разному определяется роль области допустимых значений (ОДЗ).
Выдвинутая нами гипотеза о том, что область допустимых значений – это следствие возникновения различных условий в функциях, уравнениях и неравенствах, нашла подтверждение.
Мы считаем, что смогли выполнить поставленную перед собой цель работы, так как:
1) изучили, описали решения различных уравнений и неравенств, среди них решения методом тождественных преобразований (равносильных переходов), методом подбора значений, входящих в ОДЗ или исключающих их из решения. Интерес вызвали задания «ловушки», которые требуют особой бдительности при решении задач;
2) можно сказать, что универсального метода решения уравнения и неравенств нет, возникает дилемма, какой способ решения выбрать, в частности искать ОДЗ или не надо? Мы думаем, что полученный опыт поможет нам решить эту дилемму, и мы перестанем делать ошибки, научившись правильно использовать ОДЗ. Получится ли у нас это, покажет время, точнее результаты ЕГЭ.
Литература
Аксёнова М.Д. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав.ред. М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта +, 1999. – 688 с.
Безрукова О.Л., Бузулина Т.И., Ковалева Г.И., Розка Ю.А. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов – Вологоград: Учитель, 2007. – 494с.
Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.:
Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.:
Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 224 с.
Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2012. – 287с.
Теляковский С.А. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. – М. : Просвещение, 2008. - 240 с.
Ященко И.В. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О-39 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2018. – 240 с. – (ОГЭ. ФИПИ – школе ) .
http://www.cleverstudents.ru/expressions/odz.html
https://youclever.org/book/odz-1
https://ru.wikipedia.org
Приложение 1
Значения, каких выражений мы не можем вычислить
Во-первых, мы не можем вычислить значение выражения, в котором присутствует деление на нуль (или дробь со знаменателем нуль, что по сути то же самое), так как этому действию мы не придали смысла.
Во-вторых, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, (как и корень другой четной степени). Здесь же заметим, что показателями корня могут быть лишь числа 2, 3, 4, и так далее, значит, значения выражений с корнями, имеющими другие показатели, мы тоже не можем вычислить.
В-третьих, если степень числа с положительным целым показателем мы определили для любого действительного числа, то степень с целым отрицательным показателем мы определили уже с ограничением: для любого действительного числа, кроме числа нуль. Степени с положительным нецелым показателем мы придали смысл лишь для неотрицательных чисел, а с отрицательным нецелым показателем – лишь для положительных чисел. А еще мы не можем вычислить нуль в степени нуль.
В-четвертых, обратим внимание на логарифм числа. Его мы определили так, что не придали смысла логарифму отрицательного числа и числа нуль по любому основанию, а также логарифму положительного числа по отрицательному основанию и по основанию 1.
риложение 2
Классификация функций
Алгебраические.Алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены припомощи последовательно выполненных алгебраических действий и умножения на числовые коэффициенты.
а) Иррациональные.Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала.
б) Рациональные.Рациональные функции делятся на: целые рациональные функции (многочлены); дробные рациональные функции (отношение многочленов).
Трансцендентные. Трансцендентными функциями являются показательные логарифмические функции, тригонометрические и обратные им функции. Область определения функции является неотъемлемой частью самой функции и задается вместе с самой функцией.
Область определения постоянной функции. Постоянная функция y=f(x)=C, где C – любое действительное число. Область определения постоянной функции представляет собой все множество действительных чисел.
Область определения функции прямой пропорциональности.Если переменная y пропорциональна переменной x, то эта зависимость выражается формулой y=kx, гдеk≠0 – коэффициент пропорциональности. Область определения этой функции представляет собой все множество действительных чисел.
Область определения линейной функции.Функция, заданная формулой y=kx+b, где k и b – любые числа, называется линейной. Областью определения линейной функции служит множество всех действительных чисел.
Область определения функции обратной пропорциональности.Если переменная y обратно пропорциональна переменной x, то эта зависимость выражается формулой , где k ≠ 0 – коэффициент обратной пропорциональности. Область определения этой функции есть множество всех чисел, отличных от нуля, .
Область определения функций содержащих многочлены. Функция, заданная формулой y=ax2 называется квадратной. Функция, заданная формулой y = ax2+bx+c называется квадратичной. Функция, заданная формулой y=ax3 называется кубической. Причем x, y – переменные; a, b, c – заданные числа, где a ≠ 0. Областью определения этих функций является множество всех действительных чисел.
Область определения дробно-линейной функции.Функция вида , где a, b, c, d – любые числа, причем c≠0 и ad ≠bc. Область определения этой функции есть множество всех чисел, кроме .
Область определения функции, содержащей корень n-ой степени.Формулой задается функция корень n-ой степени, где n – натуральное число, больше единицы. Область определения функции корень n-ой степени зависит от четности или нечетности показателя n. Если n – четное число, то Если же показатель корня является нечетным числом, большим единицы, то областью определения функции является множество всех действительных чисел .
Область определения степенной функции.Степенная функция вида . Область определения степенной функции зависит от показателя степени. Если n – положительное целое число, то область определения степенной функции есть множество действительных чисел: Для всех остальных (нецелых) действительных положительных областью определения степенной функции является интервал: . Если n – отрицательное целое число, то область определения степенной функции представляет собой множество
Область определения тригонометрических функций.Функция, которую задает формула y=sinx. Область определения синуса – это множество всех действительных чисел: .Функция, заданная формулой y=cosx. Область определения косинуса – множество всех действительных чисел: . Функции, заданные формулами y=tgx и y=ctgx, называются тангенсом и котангенсом соответственно, и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса – это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса – это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Если x – аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, и соответственно.
Области определения обратных тригонометрических функций.Функция, которая задается формулой y=arcsinx. Область определения арксинуса – это множество , то есть, .
Функция, которая задается формулой y=arccosx. Область определения арккосинуса - , то есть, .
Функции, вида y=arctgx и y=arcctgx. Область определения арктангенса и область определения арккотангенса есть интервал , то есть, и .
Приложение 3
Теоремы о равносильности уравнений
Решение уравнений, встречающихся в школьном курсе алгебры, основано на теоремах о равносильности (все они в той или иной мере нам известны).
Определение.Два уравнения с одной переменной и называют равносильными, если множества их корней совпадают.
Первые три теоремы гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему уравнениеникаких неприятностей.
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.
Теорема 3. Показательное уравнение (где , ) равносильно уравнению .
Следующие теоремы работают при определённых условиях. Прежде, чем решать уравнения необходимо учитывать область определения уравнения или ОДЗ переменных, при которых одновременно имеют смысл выражения .
Теорема 4. Если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение , которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения ;
б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение , равносильное данному в его ОДЗ.
Теорема 5. Если обе части уравнения неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень и получится уравнение , равносильное данному в его ОДЗ.
Теорема 6. Пусть и , X – решение системы неравенств Тогда уравнение равносильно на множестве Xуравнению .
Приложение 4
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?
Решая различные задачи, нам очень часто приходится проводить тождественные преобразования выражений. Но бывает, что какое-то преобразование в одних случаях допустимо, а в других – нет. Существенную помощь в плане контроля допустимости проводимых преобразований оказывает ОДЗ.
Суть подхода состоит в следующем: сравниваются ОДЗ переменных для исходного выражения с ОДЗ переменных для выражения, полученного в результате выполнения тождественных преобразований, и на основании результатов сравнения делаются соответствующие выводы.
Вообще, тождественные преобразования могут: не влиять на ОДЗ; приводить к расширению ОДЗ; приводить к сужению ОДЗ.
Пример. Рассмотрим выражение ОДЗ переменной для этого выражения есть множество R. Теперь проделаем с этим выражением следующее тождественное преобразование – приведем подобные слагаемые, в результате оно примет вид Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ.
Возьмем выражение В этом случае ОДЗ определяется условием ≠ 0, которое отвечает множеству (−∞, 0)∪(0, +∞). Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, приведём их и получим выражение x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной для исходного выражения добавилось число нуль).
Рассмотреть пример сужения области допустимых значений после проведения преобразований. Возьмем выражение. ОДЗ переменной определяется неравенством (−1)·(−3) ≥0, решив его, получим (−∞, 1]∪[3, +∞). А теперь преобразуем исходное выражение к виду, воспользовавшись свойством: корень произведения равен произведению корней. ОДЗ переменной для этого выражения определяет система линейных неравенств , решение которой дает множество
[3, +∞). В результате проведенного преобразования произошло сужение ОДЗ с множества (−∞, 1] ∪ [3, +∞) до множества [3, +∞). Очень важно избегать преобразований, сужающих ОДЗ.
Например: вычислить значение выражения при .
Если подставить вместо переменной , то мы найдем значение = = 2 и если мы из каких-то соображений предварительно преобразовали исходное выражение к виду , сузив тем самым ОДЗ. Вычисляем его значение, для этого подставляем вместо переменной число −1, и получаем выражение, которое не имеет смысла, так как под знаком корня оказывается отрицательное число. Такой подход привел нас к проблеме, которая возникла из-за того, что 2 входит в ОДЗ переменной x для исходного выражения, но уже не попадает в «суженную» ОДЗ переменной x для выражения, полученного после преобразования. Надо придерживаться таких тождественных преобразований выражения, которые не изменяют ОДЗ.
А как быть с преобразованиями выражений, при которых расширяется ОДЗ? Их можно проводить, но при этом стоит придерживаться такого взгляда: полученное в результате преобразования выражение рассматривать на ОДЗ переменных исходного выражения.
Например: Рассмотрим дробь. Сокращение дроби на дает дробь и приводит к расширению ОДЗ от множества (−∞; 0) ∪ (0;+∞) до множества R. При этом можно продолжать работать с полученной дробью, но на ОДЗ переменной для исходного выражения, то есть, на множестве (− ∞; 0) ∪ (0; +∞).
Итак, на каждом шаге преобразования выражения постоянно спрашивайте себя: «Не изменяет ли это преобразование ОДЗ»? Если не изменяет, то выполняйте его. Если сужает, то откажитесь от него, если расширяет, то выполняйте его, но оставайтесь в рамках ОДЗ переменных для исходного выражения.
Обобщение результатов проверочной работы