V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Способы решения квадратных уравнений

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Малова И.А. 1

---

1МБОУ "Караульно Горская ООШ" Нурлатского района Республики Татарстан

Жирнова Г.Н. 1

---

1МБОУ "Караульно Горская ООШ"

Работа в формате PDF

203.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В 8 классе мы изучили квадратные уравнения. Умение решать их  необходимо, поскольку решения квадратного уравнения - это базовая тема школьного курса математики. Умение решать квадратные уравнения нам пригодятся при подготовке к ГИА и ЕГЭ, а так же к решению квадратных уравнений сводятся решения дробно-рациональных уравнений и текстовых задач. В учебниках по алгебре рассматриваются  три способа решения квадратных уравнений. Меня заинтересовало, есть ли еще способы решения квадратных уравнений. Поэтому  для своей исследовательской работы я  выбрала тему «Способы решения квадратных уравнений», которая  посвящена исследованию способов решения квадратных уравнений.

Цели работы:

Знакомство с новыми методами решения квадратных уравнений

Углубление знаний по теме «Квадратные уравнения»

Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы

Создание условий для самореализации личности

Задачи:

подобрать информацию по данной теме из учебников, письменных источников и сети Интернет;

узнать можно ли решить любое квадратное уравнение со всеми  способами; выявить, особенности и недостатки этих способов решения квадратных уравнений;

исследовать историю развития данной темы в математике.

Показать применение данных способов при решении уравнений

Для этого я изучила историю и теорию, о котором я излагаюв этой работе.

Для выявления актуальности моей темы я провела исследование. Учащимся 8-9 классов было предложено решение полного квадратного уравнения любым известным им способом. В исследовании приняло участие  9 учащихся  (100%) . Результаты исследования выявили следующее:

Объект исследования:квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Гипотеза:существуют ли другие способы решения квадратного уравнения ?

Практическая значимость: квадратные уравнения – это фундамент, на котором построен курс алгебры. К решению квадратных уравнений сводятся решения дробно-рациональных уравнений и текстовых задач, находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений. Начинают изучать решение квадратных уравнений в 8 классе и решают их до окончания вуза.

Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.В него вошли как известные нам из школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.

2.1.  Квадратные уравнения.

         Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а - первый или старший коэффициент; b - второй или коэффициент при х; с - свободный член, свободен от переменной х.

         Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.  х²+рх+q=0 - стандартный вид приведенного квадратного уравнения

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

         Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

         Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

         Обратите внимание: об ах² речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

         Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

         Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 - это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство.0=0.

         Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

2.2. История возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения  таких уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадают с современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме.

Квадратные уравнения в Европе 13-17 вв. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники 14-17 веков. Общее правило решения квадратных уравнений вида  было сформировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 века.учитывали помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

«Квадраты равны корням», т. е.

«Квадраты равны числу», т. е.

«Корни равны числу», т. е.

«Квадраты и числа равны корням», т. е.

«Квадраты и корни равны числу», т. е.

«Корни и числа равны квадратам», т. е. .

Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

2.3. Способы решения квадратных уравнений.

Способ 1. Решение квадратных уравнений по формуле.

Корни уравненияах² + bх + с = 0, а ≠ 0можно найти по формуле

, где выражение b² - 4ac= Dназывается дискриминантом.

Таким образом:

В случае положительного дискриминанта, т.е. при b² - 4ac>0, уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня.

Если дискриминант равен нулю, т.е. b² - 4ac = 0, то уравнение имеет один корень x=.

Если дискриминант отрицателен, т.е. b² - 4ac< 0, квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 не имеет корней.

Даннаяформула корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть),  в том числе приведенного и неполного.

Пример:,

а=5,  в=4,   с=-9,

,

,

,

,

.

Способ 2. Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

         Если второй коэффициент  уравнения b = 2k– четное число, то формулу корней        можно записать в виде

         Приведенное уравнение       х² + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором   а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид 

Формулу удобно использовать, когда р— четное число.

Пример:

,

,

,

,

,

,

.

Способ 3. Метод выделения полного квадрата.

,

,

,

,

,если,

,

Пример:,

,

,

,

,

,

,

,

,,

Способ 4.Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

         Приведенное квадратное уравнение имеет вид . (1). Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая приа = 1 имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p иqможно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q>0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.

Например:

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.

Например:

Теорема Виета для квадратного уравнения  имеет вид:

Например:

Справедлива теорема, обратная теореме Виета.

Если числа х₁ и х₂ таковы, что  то х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения  Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Приведу пример:

Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что

Такими числами являются -6 и 5. По теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного квадратного уравнения.

Ответ: - 6; 5

Способ 5. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть задано квадратное уравнение

Свойства:

Если

Пример:

Так как

Ответ: 0,2; 1

Если

Пример:

Так как

Ответ: - 4/3; - 1.

Если

Пример:

Так как

Ответ: -6; - 1/6.

Если

Пример:

Так как

Ответ: 1/15; 15

Если

Пример:

Так как

Ответ: -17; 1/17

Если

Пример:

Так как

Ответ: - 1/10; 10

Способ 6.Способ переброски старшего коэффициента.

Решим уравнение  Умножив обе части уравнения на а, получим  Пусть , откуда  Тогда получим уравнение с новой переменной  Его корни у₁ и у₂. Окончательно

Приведу пример:

Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение:  из которого по теореме Виета

Тогда корнями исходного уравнения будут

Ответ: 2,5; 3.

Способ 7. Разложение на множители способом группировки.

         При решении квадратных уравнений часто при­меняется метод разложения на множители (с по­мощью вынесения за скобки общего множителя, фор­мул сокращенного умножения или способа группи­ровки).

Пример:,

,

,

,

Способ 8. Метод введения новой переменной

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Пример: решите уравнение

Пусть: t = 4х + 1

Произведем замену переменной

=4t-3, -4t+3=0,a+b+c=0

t₁ = 1, t₂ = 3

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х

Если t = 1, то 4x+1=1, x=0

Если t = 3, то 4x+1=3, x=0,5

Ответ: 0; 0,5

Способ 9.   Графическое решение квадратного уравнения

Данный способ заключается в том, чтобы в уравнении  перенести второй и третий члены в правую часть, и получить . Построить графики зависимостей

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи: 

-прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Заключение

         Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.

         В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

         Способов решения квадратных уравнений много. Я  нашла 9 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ.

         Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.

Основным в решении квадратных уравнений является правильно выбрать рациональный способ решения и применить алгоритм решения.

Исследуя все способы решения, я выяснила, что самый эффективный способ нахождения корней квадратных уравнений по формуле. Легко запоминаются формулы для вычисления корней и дискриминанта, да  к тому же имеются всего лишь 3 свойства дискриминанта, которые легко запомнить. Хотя в своей практике использую и другие способы: по теореме Виета, по свойствам коэффициентов квадратного уравнения, по способу «переброски»

Литература:

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. - М.: Просвещение, 1988

Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: просвещение, 1982

Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1972

Плужников И.10 способов решения квадратных уравнений//Математика в школе.-2000.-№40

http://revolution.allbest