V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Теория вероятностей в жизни пятиклассника
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Мы все ежедневно сталкиваемся с вероятностями, шансами и рисками, даже когда этого не осознаем. Например, когда мы задаем себе вопрос, насколько возможен завтра снегопад? Успею ли я на самолет? Как рассчитать мои шансы или какова вероятность выиграть в лотерею?
Слова «вероятность», «шанс» мы произносим часто, когда хотим найти решение или ответ на вопрос. Понятие вероятности имеет широкую применимость. Оно используется, когда говорят об оценке рисков, спортивных событий, психологии, социологии, финансах и о многом другом. Этот термин также используется при изучении математической теории вероятностей.
Данная работа — попытка ответить на вопрос «как рассчитать вероятность наступления случайного события» с помощью математики?
Цель исследования: изучить основы теории вероятностей, ее интеграцию в учебный процесс пятиклассника, подтвердить или опровергнуть гипотезу о том, что при оценке вероятности наступления случайного события работает фактор предвзятости.
Исходя из цели, определены основные задачи:
1. Изучить причины возникновения теории вероятностей;
2. Определить основные понятия теории вероятностей, как одного из разделов математики: «вероятность», «случайное событие», «достоверное/невозможное событие», «равновероятное/не равновероятное событие»;
3. Научиться различать достоверные и невозможные, равновероятные и не равновероятные события;
4. Сформировать умение рассчитывать вероятность случайного события через решение практических задач.
Объект данного исследования — теория вероятностей, как один из разделов математики.
Предмет исследования — изучение особенностей расчета вероятностей случайных событий с помощью математики.
Актуальность проблемы заключена в том, чтобы показать, что теория вероятностей интегрируется в учебный процесс пятиклассника. Она также помогает в жизни, когда необходимо оценить свои шансы в спорной ситуации. Это значительно увеличивает вероятность успеха.
Для достижения цели исследования и решения поставленных задач используются следующие методы: анализ научно-методической литературы, эмпирический метод (наблюдение, эксперимент, анкетирование, опрос), собственное исследование с решением практических задач, анализ полученных результатов.
Практическая значимость данной работы заключается в том, что теория вероятностей принима к жизненным ситуациям для расчета шансов на успех. Также практическая значимость работы состоит в направленности на расширение кругозора и общего повышения уровня знаний пятиклассников. Результаты исследования могут использоваться педагогами и школьниками при изучении математики, социологии, финансов и других сфер жизни.
Личный вклад автора состоит в проведении теоретических и эмпирических исследований, в анализе полученных при исследовании данных и их оформлении в виде таблиц и выводов.
Глава 1. Азарт - двигатель науки?
1.1. Как возникла теория вероятностей
Возникновение теории вероятностей относят к средним векам, когда были первые попытки проанализировать азартные игры (кости, рулетку) с помощью математики. Ведь именно вероятность лежит в основе многих игр [5, с. 122]. В середине 17 века французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма обсуждалиосновы игры в кости. Они обнаружили, что это очень хитрая игра, в которой возможно спрогнозировать свой выигрыш. Христиан Гюйгенс ввел основные понятия теории вероятностей, например, вероятность — как величина шанса [5, с. 124].
В 1933 году Андрей Николаевич Колмогоров предложил аксиоматику вероятности.
Вероятность всех возможных событий равна 1 (единице).
Значение вероятности больше либо равно 0 (нулю).
Если события не могут совпасть, их вероятности можно складывать.
Из этих аксиом можно вывести математические свойства вероятности [4, с. 24].
В результате ряда исследований теория вероятностей приобрела математический вид и стала восприниматься как один из разделов математики.
1.2. Основные понятия теории вероятностей
Основные понятия теории вероятностей — вероятность, случайное событие, достоверное и невозможное событие, равновероятное и не равновероятное событие.
Что же такое вероятность? Это степень возможности наступления некоторого события, «возможность исполнения, осуществимости чего-либо» [10, с. 137].
Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называется случайным событием:
Моя команда выиграет баскетбольный матч (Матч можно выиграть, можно проиграть, а можно сыграть вничью)
Бросают 2 игральных кубика. Выпало 5 очков (Выпасть может не только 5 очков)
Теория вероятностей — специальный раздел математики, который изучает закономерности случайных событий, а также «случайные величины, их свойства и операции над ними» [23].
Достоверным называется событие, которое обязательно наступит, независимо от обстоятельств, например, после весны придёт лето. Вероятность достоверного события всегда равна 1. Невозможным называется событие, которое при проведении случайного эксперимента никогда не происходит, например, зайчиха родит мышонка. Вероятность невозможного события равна 0.
События называют равновероятными, если нет причин думать, что одно из них может наступить чаще, чем другое [22]. Например, выпадение «орла» или «решки» при подкидывании монеты.
Не равновероятными называются события, которые имеют различные вероятности наступления:
В коробке 18 цветных карандашей, из них 15 красных и 3 синих. Вероятность вытащить наугад красный карандаш больше, чем синий.
Вероятность падения бутерброда маслом вниз больше, чем маслом вверх, так как сторона с маслом тяжелее.
Глава 2. Мой опыт расчета вероятностей
через решение практических задач
2.1. Как оценить вероятность более, чем одного события
В жизни мы каждый день сталкиваемся с вероятностями. Попробуем оценить вероятность более, чем одного события. Допустим, мы хотим знать
вероятность, что случится А или В,
вероятность, что случится и А, и В.
В первом случае, чтобы оценить один из двух шансов, мы складываем вероятности. Во втором, чтобы оценить вероятность обоих шансов, мы умножаем вероятности. Поясним на примере.
Пусть А - это шанс попасть в команду КВН по математике, куда претендуют 5 человек, включая меня. Следовательно, вероятность попасть в команду — 1/5 или 0,2.
В - шанс попасть в команду КВН по русскому языку, куда претендуют 4 человека, включая меня. Тогда шанс попасть в команду КВН по русскому языку - 1/4 или 0,25.
Шанс на попадание в 1 команду КВН - или по математике, или по русскому языку: 0,2+0,25=0,45. Если события не могут совпасть, их вероятности можно складывать. Это аксиома Колмагорова, о которой мы говорили в первой главе нашего исследования.
Шанс попасть в обе команды КВН: 0,2×0,25=0,05
Ответ: вероятность попасть в одну команду КВН (или по математике, или по русскому языку) на 0,40 (0,45-0,05=0,40) больше, чем вероятность попасть сразу в обе команды КВН.
2.2. Оценка выигрыша на скачках
Оценим вероятность выигрыша ставок на лошадиных скачках. Это самый древний вид ставок [13, с. 228]. Допустим, букмекеры обозначают шансы лошадей на выигрыш следующим образом: Гром 20:1, Ветер 4:1, Буян 8:1, Пират 7:1, Рыжий 5:1
Получается, что шансы Грома выиграть — 1 из 20. Шансы Ветра больше — 1 из 4 и т.д. Согласно аксиомам Колмагорова, математически сумма вероятностей всех возможных событий должна быть равна 1.
Давайте проверим:
1/20 + 1 / 4 + 1/ 8 + 1/7+1/ 5 =0,05+0,25+0,125+0,1429+0,2=0,7679
Разница между 1 и 0,7679 составляет 0,2321.
Так, можно сделать вывод, что шансы на победу каждой лошади были уменьшены. Шансы букмекеры уменьшают сознательно, чтобы извлечь себе прибыль. В данном случае прибыль букмекеров будет около 23%. Так, при уменьшении вероятности (шансов на победу) каждой лошади, процент прибыли букмекеров увеличивается.
Реальная вероятность должна давать в сумме 1, так как обязательно будет лошадь - победитель, конечно, если все лошади дойдут до финиша. Вероятность выигрыша увеличивается, если вести собственную статистику.
2.3. Работает ли фактор предвзятости?
Я предложил одноклассникам провести эксперимент, Задача была такая: Есть 2 коробки с шарами, распределенными следующим образом:
первая коробка — в ней 10 шаров, 9 белых и 1 красный,
вторая коробка — в ней 100 шаров, 92 белых и 8 красных
Надо вытащить красный шар, не заглядывая в коробки.
Вопрос: какую коробку выбрать, чтобы увеличить шансы вытащить красный шар?
Я разработал анкету (см. Приложение №1) и провел опрос среди 50 пятиклассников, затем проанализировал полученные анкеты:
первую коробку выбрали 19 человек,
вторую коробку выбрали 31 человек.
Итак, 62% (31 человек) моих одноклассников выбрали вторую коробку со 100 шарами.
А теперь давайте посчитаем:
1 коробка - вероятность вытащить красный шар 1/10. Это 0,1.
2 коробка - вероятность вытащить красный шар 8/100. Это 0,08.
Вывод: вероятность 0,1 больше, чем вероятность 0,08, следовательно, при выборе коробок работает фактор предвзятости. Для многих число 100 звучит значительнее, чем число 10. Это и объясняет выбор ребят. И еще то, что во 2 коробке находится больше красных шаров, наталкивает на мысль, что шансов вытащить красный больше. Сделать правильный выбор нам помогает теория вероятности, простые математические вычисления.
2.4. Практические задачи для решения на уроках математики
Задача 1. Определить, какие из следующих событий достоверные (Д), а какие невозможные (Н)? В главе 1 мы разбирали, что достоверное событие обязательно наступает при проведении эксперимента. А невозможное событие не происходит никогда (см. Глава 1).
1. При броске игрального кубика выпало 8 очков.
2. При подбрасывании пяти монет число «орлов» окажется равным числу «решек».
3. Бросили два игральных кубика. Выпало 1 очко.
4. Бросили два игральных кубика. Выпало число очков, меньше, чем 13.
5. Мама старше своих детей.
6. 30 февраля будет дождь.
Ответ: 1. Н, 2. Н, 3. Н, 4. Д, 5. Д, 6. Н.
Задача (эксперимент) 2: Я три раза подбросил монету. Возможно ли, что монета все три раза упадет гербом вверх, то есть выпадет «орел»?
Ответ: Я провел эксперимент 5 раз. В двух экспериментах из пяти монета упала только гербом вверх, то есть это возможно. В оставшихся трех экспериментах «орел» и «решка» выпадали совершенно случайно, так как это равновероятные события.
Задача (эксперимент) 3: Я и двое моих друзей подбрасывали монетку 50 раз и записывали, сколько раз выпадет «орел», а сколько раз «решка». Результаты получились следующие:
|
«Орел» |
«Решка» |
|
|
мой результат |
29 |
21 |
|
Саша |
31 |
19 |
|
Денис |
22 |
28 |
|
Наташа |
24 |
26 |
Только «орел» или только «решка» не выпали все 50 раз у одного человека. Это невозможно? Докажем это математически.
Определим вероятность выпадения «орла» или «решки» по формуле
P = m/N, где
P — вероятность,
m — число благоприятных событий,
N — число всех возможных событий [11, с. 139].
|
«Орел» |
«Решка» |
|
|
мой результат |
0,58 |
0,42 |
|
Саша |
0,62 |
0,38 |
|
Денис |
0,44 |
0,56 |
|
Наташа |
0,48 |
0,52 |
Ответ: Вероятность выпадения «орла» получилась от 0,44 до 0,62 (ср. 0,53). Вероятность выпадения «решки» — от 0,42 до 0,56 (ср. 0,47). Это объясняется тем, что в эксперименте с подбрасыванием монеты есть лишь два исхода («орел» и «решка»). Таким образом, вероятность выпадения «орла» и «решки» приближена к 0,5.
Чем больше экспериментов мы проводим, тем точнее определяется вероятность. Так, при проведении 50 экспериментов вероятность определяется точнее, чем при проведении трех экспериментов. Если проводить еще больше испытаний, то результат будет еще точнее.
Задача (эксперимент) 4. Каковавероятностьтого, что при бросании игрального кубика выпадет
а) 1 очко; б) более 3 очков
При решении используем формулу
P = m/N
а) кубик может лечь на любую из шести граней, поэтому есть есть шесть равновозможных результатов этого эксперимента. Может выпасть 1,2,3,4,5 или 6 очков. Из них нам благоприятен только один результат: когда вверху единица. Вероятность вычисляется, как 1/N, где N - число всех результатов. Соответственно, в нашем случае P= 1/ 6.
б) есть три равновозможных исхода. Может выпасть 4,5 и 6. А может 1,2 и 3.
То есть P= 3/6, это 1/2
Ответ: а) 1/ 6, б) 1/2.
Задача 5. На экзамене 20 билетов. Ученик не выучил 5. Какова вероятность, что ученику попадается билет, который он выучил?
N = 20 (всего билетов)
m = 15 (выучил 20-5=15)
m/N=15/20=0,75
Ответ: 0,75 вероятность того, что ученик вытащит билет, ответ на который он знает.
Задача 6. В коробке с новогодними украшениями лежит 8 красных, 7 зеленых, 5 синих и 10 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым; в) красным или золотым?
Всего в коробке лежит 30 шаров.
а) Вероятность вытащить красный шар 8/30= 0,27
б) Вероятность вытащить золотой шар 10/30=0,33
в) Вероятность вытащить или красный, или золотой шар 0,27+0,33= 0,6
Ответ: а) 0,27, б) 0,33, в) 0,6.
Задача 7. Представим, что пятиклассник за год учебы получил по математике 100 оценок. Из них 65 пятерок, 28 четверок, 6 троек и 1 двойку. Допустим, что такое распределение оценок может сохраниться. Вычислим вероятность получения каждой оценки.
P пятерок 65/100= 0,65
P четверок 28/100= 0,28
P троек 6/100=0,06
P двоек 1/100= 0,01
Ответ: P (5) 0,65; P (4) 0,28; P (3) 0,06; P (2) 0,01.
Задача 8. В озере 50000 рыб. Из них 7000 карасей, 3000 щук, 40000 пескарей. Какова вероятность попадания на удочку каждого вида рыб?
P карасей 7000/50000= 0,14
P щук 3000/50000= 0,06
P пескарей 4000/ 50000= 0,8.
Ответ: P (к)= 0,14; P (щ)= 0,06; P (п)= 0,8.
Чем меньше вероятность события, тем больше информации содержит сообщение об этом событии. Например, если пятиклассник получит по математике двойку, это намного больше удивит тех, кто его знает, чем если бы он получил пятерку. Или же информация о том, что рыбак в озере поймал щуку, а не пескаря также более информативна, так как сразу наталкивает на размышление, как ему это удалось.
Делая вывод, отметим, что для оценки вероятности одного из случайных событий, мы складываем вероятности. А для оценки вероятности нескольких случайных событий, мы вероятности умножаем.
Самая большая вероятность всегда равна 1. На примере скачек это объясняется тем, что обязательно будет лошадь - победитель, конечно, если все лошади дойдут до финиша. Вероятность выигрыша увеличивается, если вести собственную статистику.
Выделяют равновероятные (пример с подбрасыванием монетки) и не равновероятные события (пример с шарами).
Фактор предвзятости работает. Для многих число 100 кажется значимее, чем число 10. Это и объясняет выбор ребят. И еще то, что во 2 коробке находится больше красных шаров, наталкивает на мысль, что шансов вытащить красный больше. Теория вероятностей помогает нам сделать правильный выбор.
Чем больше испытаний мы проводим, тем точнее определяется вероятность. Так, при проведении 50 испытаний вероятность определяется точнее, чем при проведении 3 испытаний.
Заключение
Размышления 17 века об игре в кости спустя два столетия переросли в отдельную дисциплину. Именно человеческий азарт привел к возникновению новой математической дисциплины - теории вероятностей. В результате ряда исследований теория вероятностей приобрела математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.
Современную жизнь нельзя представить без оценки рисков. Умение рассчитать вероятность наступления случайного события помогает нам оценить свои шансы и быть успешными во многих сферах жизни. Для оценки вероятности одного из случайных событий, мы складываем вероятности. А для оценки вероятности нескольких случайных событий, мы вероятности умножаем.
В математике вероятность измеряется от 0 до 1. Вероятность достоверного события всегда равна 1. Это самая большая вероятность. Вероятность невозможного события равна 0. вероятность 0,1 —низкая, а 0,9 — высокая. Чем больше экспериментов мы проводим, тем точнее определяется вероятность. Чем меньше вероятность события, тем больше информации содержит сообщение об этом событии
Наше предположение подтвердилось: фактор предвзятости работает. Часто мы руководствуемся лишь приблизительной оценкой исходных данных, и это приводит к ошибкам. Теория вероятностей помогает нам сделать правильный выбор.
Вероятность можно рассчитать по формуле P = m/N, где P - вероятность, m - число благоприятных событий. N - число всех событий.
Теория вероятностей интегрируется в учебный процесс пятиклассника, дает возможность научиться рассчитывать вероятность своего успеха и делать правильный выбор.
Приложение №1
Давайте проведем эксперимент!
Представь 2 коробки с шарами
В первой коробке 10 шаров - 9 белых и 1 красный.
Во второй коробке 100 шаров - 92 белых и 8 красных.
Тебе надо вытащить красный шар, не заглядывая в коробки
Вопрос: из какой коробки у тебя больше шансов вытащить красный шар?
Обведи верный вариант:
из первой коробки
из второй коробки
Напиши, пожалуйста, имя, фамилию и класс___________________________
Спасибо!
Список использованных источников и литературы
Бобров С. Архимедово лето, или история содружества юных математиков. М: Издательский Дом Мещерякова, 2017. 232 с.
Бударина Е.П. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Элма, 2000. 256 с.
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. Спб: Ленанд, 2016. 248 с.
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М: USSR, 2018. 120 с.
Крилли Т. 50 идей, о которых нужно знать. М: Фантом Пресс, 2017. 208 с.
Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г. Элементы статистики и теории вероятностей. М.: Просвещение, 2008. 388 с.
Математическая составляющая/ ред. Н.Н. Андреев. М: Фонд «Математические этюды», 2015. 151 с.
Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов. М.: Мнемозина, 2008. 112 с.
Новая книга знаний в вопросах и ответах. М: Махаон, 2009. 160с.
Ожегов С.И. Толковый словарь русского языка. М: «АЗЪ»,1994. 928 с.
Перельман Я. И. Живая математика. СПб: СЗКО, 2017. 224 с.
Роузен Р. Математика для «гиков». Москва: Аст, 2016. 320 с.
Руни Э. Математика за 15 минут. М: Кучково поле, 2016. 304 с.
Соколова О. Л. Вероятностный подход к определению количества информации. М: ВАКО, 2006. 110 с.
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Высшая школа экономики, 2001. 235 с.
Энценсбергер Х. М. Дух числа. Математические приключения. – Пер. с англ. Харьков: Книжный Клуб «Клуб Семейного Досуга», 2004. 272 с.
Энциклопедия символов /сост. В.М. Рошаль. М: Сова, 2006. 1007 с.
Я познаю мир. Москва: Астрель,2002. 460 с.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D1%91%D0%B2,_%D0%9F%D0%B0%D1%84%D0%BD%D1%83%D1%82%D0%B8%D0%B9_%D0%9B%D1%8C%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87
htps://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0
http://oyla.xyz/article/ego-velicestvo-slucaj
https://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par12
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9