V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Замечательные кривые
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.»
Г. Галилей
Понятие линии (кривой) возникло в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертание цветов и листьев растений, извилистая линия берега и другие явления природы с давних пор привлекли внимание людей. Наблюдаемые многократно, они послужили основой для постепенного установления понятия о линии. Но потребовался значительный промежуток времени для того, чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых. Первые рисунки на стенах пещер, примитивные орнаменты на домашней утвари показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и различать отдельные кривые. В разговорном языке «кривая», «кривой» «кривое» употребляется, как прилагательные, обозначающие, то что откланяется от прямого, от правильного, от справедливого. Говорят о кривой палке, кривой дороге, о кривом зеркале; «без соли, и стол кривой» - гласит пословица. Так же и сегодня, все что нас окружает, состоит из множества черт, которые, в свою очередь, складываются из различных кривых. В силу частой встречаемости кривые находят широкое практическое применение: они встречаются в быту, живописи, архитектуре, природе... Изучение этих кривых, а также принципа их построения способствует тому, что, определяя закономерности, которым подчиняется след движущейся точки, и, описывая их, можно прийти к тому, что, зная только параметры направляющей и производящей фигур, можно построить интересующую кривую. Например, по круговой траектории движутся люди при катании на колесе обозрения, карусели, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе – тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту. Знакомство с кривыми, изучение их свойств позволит расширить геометрические представления, углубить знания, повысить интерес к геометрии; создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и других наук.
Цели и задачи проекта.
Актуальность темы: заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. В курсе изучения аналитической геометрии не предусмотрено рассматривание свойств замечательных кривых, которые широко используются в жизни.
Цель работы: изучить свойства, применение, построение некоторых кривых, которые встречаются и имеют практическое применение в нашей жизни и создать программы на языке программирования Pascal ABC для их построения.
Задачи:
- изучить необходимую литературу про свойства замечательных кривых;
-исследовать присутствие и применение некоторых кривых в окружающей жизни;
- найти практическое применение данных кривых на уроках математики и информатики.
Объект исследования: построение кривых и их свойства.
Гипотеза: использование данного материала показывает практическое применение кривых в жизни человека.
Практическая значимость: материал по замечательным кривым поможет красочно и доступно продемонстрировать значимость их свойств , а несложные инструменты, созданные на основе этих свойств, помогут без особого труда построить данные кривые .
Объектом исследования явились замечательные кривые.
Задачи исследования: Я хочу познакомить вас с некоторыми поистине замечательными кривыми, населяющими удивительный мир геометрии и встречающиеся в нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Они не так уж редки в природе и имеют практическое приложение в жизни человека. Знание их замечательных свойств используется в различных механизмах, применяемых человеком в жизни. Я выбрал эту тему, так как считаю её интересной и содержательной, развивающей познавательный интерес к математике, открывающей практическое приложение математики в жизни. Использование данного материала на факультативных занятиях расширяет кругозор учащихся, развивает пространственное представление, мышление. В школьном курсе математики рассматриваются кривые второго порядка – гипербола, парабола, окружность, синусоида, но нигде не говорится о замечательных свойствах эллипса, циклоиды, кардиоиды, спирали Архимеда, кардиоиды, а тем более об их практическом применении. Я думаю, что полезно будет знать информацию об этих кривых, которые широко применяются в жизни. В данной работе собран материал с уклоном на практическое построение и применение кривых. Изучение каждой кривой я рассматривал в трех направлениях:
· Теория – определение кривой и её замечательное свойство.
· Практика – как построить кривую при помощи школьных чертежных инструментов или подручного материала.
· Приложение – построение замечательных кривых при помощи компьютерных программ.
Циклоида.
Циклоидой именуют кривую, которая описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой(рис.1).
рис.1
Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на нее внимание. Сравнивая вес двух металлических пластинок равной толщины, одна из которых была вырезана по циклоиде, а другая по окружности, порождающей эту циклоиду, Галилей обнаружил, что площадь сегмента циклоиды в три раза больше площади соответствующего круга. Опыты Галилея дали толчок строгим математическим исследованиям циклоиды. Сначала его ученик Торричелли, а затем Роберваль, Декарт и Ферма не только обосновали зависимость, открытую Галилеем, но и установили ряд других свойств циклоиды. Простота и изящество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVII-XVIII вв. Ею занимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причем вначале циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающего математического анализа.
Построение.
Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча диаметром, равным, например, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3х3,14 = 9,42 см.
Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е. длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на данную точку, занумеровав эти положения цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.Чтобы перейти
из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота, так как расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0 , то в положении 1 он будет лежать в точке M1 - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М2 - на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M1 , M2 , М3 и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания, радиусом, равным 1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 - две засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 - три засечки и т. д. Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки М0, М1 , M2 , М3 , М4 , M5 , M6 , плавной кривой (на глаз).
Декартов Лист.
Впервые уравнение кривой исследовал Р.Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где (x) {displaystyle x}и ({displaystyle y}y) принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком В современном виде эту кривую впервые представил Х.Гюйгенс в 1692году.
Роза.
Роза - известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками.
Эллипс.
Эллипс - замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость. Окружность является частными случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.
Парабола.
Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой(называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Кардиоида.
Если использовать две окружности с одинаковыми радиусами и вращать одну вокруг другой, то получится кардиоида (греч.кардиа - сердце) - по мнению математиков, получаемая кривая отдаленно напоминает сердце.На рисунке 2 изображено построение в программе PascalABC.
Рис(2)
Гипоциклоида.
Гипоциклоида — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения. Гипоциклоиду можно построить с помощью программы PascalABC.
Спираль Архимеда.
Архимедова спираль – плоская кривая, описываемая точкой M, равномерно движущейся по прямой OA, в то время как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг одной из своих точек O.
Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками (рис.3). На (рис.4)изображено построение Спирали Архимеда в программе PascalABC. рис.3 Рис.4Построение(С помощью чертёжных инструментов)
1. Делим радиус окружности на одинаковое число равных частей.
2. Делим окружность на такое же число равных частей.
3. Проводим лучи из центра через точки деления окружности.
4. На первом луче откладываем одно деление радиуса.
5. На втором луче откладываем два деления радиуса и т. д.
6. Если строить спираль дальше, то на луче 1 откладываем 8+1 деление радиуса (получаем точку IX).
7. На втором луче откладываем 8+2 деления радиуса (получаем точку X).
8. На третьем луче откладываем 8+3 деления радиуса (получаем точку XI) и т. д.(Приложение 6)
Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов.
Безобидная воронка, образованной вытекающей из ванны водой; свирепый смерч(рис.5), опустошающий все на своем пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик (рис.6) – все они имеют форму спиралей. рис.(5) и рис(6)
По спирали Архимеда идет, например звуковая дорожка. Одна из деталей швейной машинки – механизм для равномерного наматывания нити на шпульку – имеет форму спирали Архимеда(рис.7).
рис.7
Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого – винт (прообраз объемной спирали)- использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека – устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность – винтовой ротор в мясорубке. Заключение.
Применение замечательных кривых широко распространено, их применяют в производстве, строительстве, военном деле. Замечательные кривые поистине замечательны своими свойствами. Трудно себе представить мир без этих кривых, хотя они так не заметны для нашего повседневного взора.
Мы их видим каждый день! Несмотря на то, что у них на первый взгляд сложные и непонятные названия – все они по-своему замечательные!
Список литературы.
1. Г. Штейнгауз «Математический калейдоскоп»; 1981 г.
2. Г. Н. Берман «Циклоида»; 1980 г.
3. А. И. Маркушевич «Замечательные кривые»;1978 г.
4. http://ru.wikipedia.org/wiki/