V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Таирова  И.А. 1

---

1Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №29» города Калуги

Кулёмина  В.С. 1

---

1Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №29» города Калуги

Работа в формате PDF

464.4 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

1.Введение

Согласно философскому воззрению Пифагора - древнегреческого учёного и его последователей числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса. Можно ли представить себе мир без чисел? Думаю, что нет. Без чисел нельзя оплатить покупки, узнать, который час, набрать номер телефона. И всё это было бы невозможно, если бы не наука о числах. Какие же бывают числа? На данный момент я знаю, что числа бывают простые и составные, натуральные, четные и нечетные, совершенные… Моя учительница по математике рассказала мне, что числа бывают дружественными. Меня заинтересовало эта тема и я решила узнать об этих числах более подробно. Изучив определённые литературные источники, интернет-ресурсы, справочник по математике, я узнала, что именно, дружественные числа являются родоначальниками всех натуральных чисел. В связи с этим я поставила перед собой следующие цели и задачи.

Цель работы: Познакомиться с дружественными числами и установить роль этих чисел в изучении свойств натуральных чисел.

Задачи:

1.Изучить историю возникновения дружественных чисел.

2.Рассмотреть свойства дружественных чисел.

3.Провести собственные опыты через составление кроссвордов, чайнвордов и т.д.

Актуальность темы заключается в следующем. Среди большого объёма математических тем, совсем непросто понять, для чего нужны те или иные числа, задачи, схемы, таблицы и т.д. Поэтому, я считаю, так важно изучать именно историю чисел. Это даёт возможность осознать и более глубоко понять применение математики в жизни человека.

Гипотеза: Если бы не появились дружественные числа, то невозможно было бы становление математики, как науки.

Объект исследования – дружественные числа.

Предмет исследования – свойства натуральных чисел, полученные благодаря дружественным числам.

2.Основная часть

2.1.Числа правят миром!

Из истории мы знаем, что жизнь наших предков была намного проще, но даже они были вынуждены прибегать к использованию цифр. В своих исследованиях историки рассказывают нам о том, что древний человек хотел изучить вещи, которыми он владел. Сколько у него инструментов? Сколько оружия? Сколько животных? Как только появилась необходимость передавать идеи, связанные с количеством, он начал пользоваться математикой. Вообще счет стал началом математики. Это искусство счета развивалось на протяжении длительного времени. Сначала для этого делались зарубки на стене или отметки на папирусе. Древний человек мог ответить на вопрос: Сколько?; глядя на такие зарубки, хотя не имел слов, чтобы назвать это.

Из исторической литературы, я узнала, о том, что четные и нечетные числа были известны очень давно. Ведь математика – наука, которая возникла благодаря практическим нуждам человека. У торговца на рынке, раскладывающего товар на прилавке парами, иногда оставались лишними яблоко, хлеб или топор. Но Пифагор занялся изучением свойств четных и нечетных чисел. При сложении двух четных чисел он получил четное число, когда сложил два нечетных числа, тоже получил четное. При сложении четного и нечетного чисел получил нечетное число. Объяснить это у Пифагора вначале не получилось. Первого греческого ученого, который начал рассуждать о математике, а не только пользоваться ею, звали Фалес. А о числах первым начал рассуждать грек Пифагор, который родился на острове Самосе в VI веке до нашей эры. Поэтому его часто называют Пифагором Самосским. Много легенд рассказывали греки об этом мыслителе. Его ученики уверяли даже, что он был сыном самого солнечного бога Аполлона, что его бедро было сделано из чистого золота, а когда он подошел к одной реке, та вышла из берегов, чтобы приветствовать Пифагора! Но мало ли что рассказывали люди в то легковерное время!

Если отбросить сказки и выдумки, то окажется, что Пифагор очень много сделал для развития науки (хотя начинал он совсем не как ученый, а как победитель Олимпийских игр по кулачному бою!). Сначала он занялся музыкой. Ему удалось установить связь между длиной струны музыкального инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не только законы музыки, но и вообще все на свете можно выразить с помощью чисел "Числа правят миром!" - провозгласил он.Древнегреческий учёный стал думать о свойствах чисел.

2.2.Дружественные числа

Однажды Пифагор на вопрос, кого следует считать другом, ответил так: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Видимо, какое – то необычное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел.

Дружественными числами называются два натуральных числа, если сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому.

Считается, что именно Пифагор и был первооткрывателем этой пары дружественных чисел - первой, наименьшей из возможных и единственно известной на протяжении более чем 15 последующих веков.

Вторую пару: 17296 и 18416 – открыл марокканский учёный ибн аль-Банна (около 1300 г). Не зная этого через 300 лет (в 1636 г) эту же пару открыл Пьер Ферма.

Третью пару нашел Ране Декарт в 1638 году, а через 100 лет Эйлер излагает 5 различных методов выявления дружественных чисел и преподносит их ровно 59 пар!

Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел ещё одной парой, был наш великий соотечественник П.Л. Чебышев (в 1851 г), а за ним - тоже одной парой (в 1866 г) – шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини (тезка знаменитого скрипача).

Согласно официальным данным, на ноябрь 2006 известно 11 446 960 пар дружественных чисел, которые состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. А на сентябрь 2007 года известно 11.994.387 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одной чётности. О том существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел науке до сих пор неизвестно. Кроме того, по-прежнему невыясненным остается предположение о существовании взаимно простых дружественных числа. В том случае, если такая пара дружественных чисел все же существует, то их произведение должно быть больше 1067.

2.3.Исследование дружественных чисел.

Проверю несколько пар дружественных чисел. Начну с первой пары: 220 и 284.

1. Найду собственные делители чисел 220 и 284.

Делители 220: 1;2;4;5;10;11;20;22;44;55;110.

Делители 284: 1;2;4;71;142.

Вычислю сумму делителей числа 220: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110= 284.

Вычислю сумму собственных делителей числа 284: 1+2+4+71+142= 220

Делаю вывод: сумма собственных делителей числа 220 равна числу 284, а сумма собственных делителей числа 284 равна числу 220, значит, числа 220 и 284 являются дружественными.

2.Найду собственные делители чисел 2620 и 2924.

Делители 2620: 1;2;4;5;10;20;131;262;524;655;1310.

Делители 2924: 1;2;4;17;34;43;68;86;172;731;1462.

Вычислю сумму делителей числа 2620:1+2+4+5+10+20+131+262+524+655+1310= 2924

Вычислю сумму делителей числа 2924: 1+2+4+17+34+43+68+86+172+731+1462=2620

Вывод: сумма собственных делителей числа 2620 равна числу 2924, а сумма собственных делителей числа 2924 равна числу 2620, значит, числа 2620 и 2924 также являются дружественными.

3. Найду собственные делители чисел 6232 и 6368.

Делители 6232: 1;2;4;8;19;38;41;76;82;152;164;328;779;1558;3116.

Делители 6368: 1;2;4;8;16;32;199;398;796;1592;3184.

Вычислю сумму делителей числа 6232: 1+2+4+8+19+38+41+76+82+152+164+328+779+1558+3116=6368

Вычислю сумму делителей числа 6368: 1+2+4+8+16+32+199+398+796+1592+3184=6232

Вывод: сумма собственных делителей числа 6232 равна числу 6368, а сумма собственных делителей числа 6368 равна числу 6232, значит, числа 6232 и 6368 действительно являются дружественными.

3. Заключение.

В результате изучения различных источников я познакомилась с удивительными натуральными числами: дружественными.

При выполнении работы было доказано, что числа 220 и 284; 2620 и 2924; 6232 и 6368 действительно являются дружественными числами. При нахождении делителей этих чисел я раскладывала их на простые множители.

Проанализировав данные решения, можно сделать вывод: что простые числа – это основа, на которой строятся все натуральные числа, переставляя их, можно получить удивительные «числовые сооружения».

Эта работа вызвала у меня большой интерес, и я надеюсь, что она заинтересует и других учащихся. В процессе изучения данной темы, я узнала о существовании ещё и других, не менее интересных числах. Такие, как фигурные и компанейские числа. Думаю, что эти числа станут объектом изучения для моей следующей исследовательской работы.

4. Библиография

Волошинов А.В. Пифагор. М. 1993.

Депман И.Я. За страницами учебника математики. М. 1989.

Депман И.Я. Из истории математики. М.1985.

Депман И.Я. Мир чисел. М. 1979.

Математический энциклопедический словарь. М. 1988

Интернет-ресурсы

ru.wikipedia.org›Дружественные числа

dic.academic.ru. Дружественные числа

sitekid.ru›matematika.Дружественные числа

9 января

5.Приложения

Приложения 1.

Это интересно

Примеры всех пар дружественных чисел до 980984.

Приложения 2.

Числа – это увлекательно.

Предлагаю несколько интересных кроссвордов на данную тему. Надеюсь, они будут интересны моим одноклассникам.

1.Кроссворд «Числа и их создатели»

По вертикали: 1- Древнегреческий философ, математик. 2 – Натуральные числа, противоположные натуральным и нуль. 3 -Натуральные числа, которые имеют два делителя. 4- Натуральные числа, которые имеют больше двух делителей. 5 -Число, на которое делится данное число без остатка.

По горизонтали: 6 - два натуральных числа, для которых сумма собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех делителей второго числа равна первому числу.

2.Чайнворд «Математика»

Приложение 3.

Ответы на кроссворд и чайнворд.