V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математический цветник. Розы Гвидо Гранди
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Математик, так же, как и художник или поэт, создаёт узоры» Г.Харди
Математика-это наука, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы, описывает процессы, происходящие в окружающем нас мире. Законы математики и решения математических задач приложены ко всем областям человеческой деятельности. Линии занимают особое положение в математике. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удается решать многие научные ,инженерные задачи в различных отраслях жизни. Меня заинтересовали кривые ,заданные в полярных координатах. Среди них можно назвать спираль Архимеда, логарифмическую спираль, кардиоиду, лемнискату, астроиду, розы Гвидо Гранди. Больше других мое внимание привлекла математическая кривая, похожая на цветок- полярная роза или роза Гвидо Гранди, и я в своей работе хочу исследовать многообразие форм «роз» Гвидо Гранди.
Цель работы:
-Исследовать, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат в зависимости от различных значений параметров
Задачи:
-Установить связь между количеством липестков , их формул и симметричности получившегося рисунка.
-Получить большое разнообразие форм «роз» Гвидо Гранди.
-Изучить использование полярных координат в жизни, искусстве, науке, технике и применить на практике .
2.1 Историческая справка о розах Гвидо Гранди
В 18 веке итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) создал кривые линии с правильными плавными очертаниями. Они были похожи на цветок. Семейство этих кривых было названо семейством роз Гвидо Гранди. Их правильное очертание-это не каприз природы- они предопределены математическими зависимостями. Эти зависимости были подсказаны самой природой, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси. Свои прекрасные цветы Гвидо Гранди собрал в одну книгу и назвал ее «Цветник роз». Гранди известен своей работой Flores geometrici (1728), изучавшей розы - кривые, которые имеют форму лепестков цветка. Он назвал розы кривой rhodonea и назвал кривую Clelia в честь графини Клелии Борромео.
Уравнение розы Гвидо Гранди в полярных координатах имеет вид
Задавая параметр отношением натуральных чисел можно получить замкнутые кривые, при определенных условиях превращающиеся в лепестковые цветы или в ажурные розетки, которые могут служить элементами декора или орнамента.
Очарованный результатами Гранди, немецкий геометр, математик-натуралист XIX в. Б. Хабенихт также решил заняться математическим «растениеводством».И он путем многочисленных экспериментов «вырастил» замечательные экспонаты. Полагая, что абрис (очертание) листа или цветочного лепестка в полярных координатах описывается выражением r=f(ϕ), где f(ϕ) для каждого отдельного растения представляет определённую комбинацию тригонометрических функций,Хабенихт в своих работах приводит ряд полученных им уравнений, которые с хорошим приближением аналитически выражают очертания различных листьев и плодов. Он также рассматривает контур листа как замкнутую кривую, которая в полярной системе координат имеет уравнение.Если предположить, что кривая, изображающая контур листа, симметрична относительно полярной оси, а функция является конечной суммой, то эта сумма должна состоять из косинусов или синусов. Исходя из этого общего уравнения, Хабенихт исследует его частные случаи. Постепенно усложняя уравнение он получает большое количество уравнений контуров листьев: плюща, крапивы, листьев кислицы и др.
2.2. Разнообразие роз Гвидо Гранди
Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin(k*a)
Возьмём для начала любое n и k-чётное число, тогда получим «розу» с количеством лепестков 2k, и длина от начала координат до вершины лепестков будет равна радиусу описанной окружности n. Кривые симметричны относительно оси ординат, оси абсцисс и начала координат.
Если мы возьмём любое n и k-нечётное число, то получим цветок изkлепестков. Мы замечаем, что в одном случаи есть лепесток, направленный по оси ординат вверх, а в другом вниз. Это зависит от значения k. Вниз лепесток будет направлен при k=3 и при всех последующих нечётных через одно число, вверх – при k=5 и при всех следующих нечетных числах через одно. Кривые симметричны относительно оси ординат.
Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin((c/b)*a)
Мы замечаем, что количество лепестков стало зависеть от c и b.Если c=1, а b=2 получаем кривую, напоминающую 2 кардиоиды, "наползшие" друг на друга. Если b=3, то мы получим кардиоиду с петлей "внутри себя". Если b>3 мы получим закольцованную спираль, в центре которой будет кардиоида(1 или 2). Если c>b, c-любое нечётное число, b-любое нечётное число и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда мы получаем «розу» с c-лепестков, у которого они находят друг на друга. При c=5 и всех последующих нечётных чисел через одни, один лепесток «розы» будет направлении вниз по оси ординат. По аналогии при c=7 и при всех последующих нечётных числах один лепесток направлен вверх по оси ординат. Кривая симметрична относительно оси ординат.
Если c>b, c-любое чётное число, b-любое нёчетное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, то мы имеем «розу» из лепестков количеством 2c. Они ложатся друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.
Если мы зададим значения c>b, c-любое нечётное число, b-любое чётное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда увидим цветы с количеством лепестков 2c. Они будут накладываться друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.
Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin(k*a)+m
Если k-чётное число, и мы будем прибавлять |m|>5, то наша «роза» из 2k лепестков будет переходить в кривую, стремящуюся к форме окружности. Чем больше m и чем меньше n, тем более округленный цветок мы получим
Если k-нечётное число, и если будем прибавлять числа |m|>5, то наша кривая в форме цветка будет переходить в окружность. Чем больше m и чем меньше n, тем более округленный цветок мы получим
2.3. Полярная система координат.
Положение любой точки A в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа (или другие символы), определяющие положение точки, называются координатами этой точки. В зависимости от целей и характера исследований выбирают различные системы координат. Рассмотрим полярную систему координат.
Полярная система координат
Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ϕ соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке. И так:
положительным направлением отсчета углов считается направление «против часовой стрелки»
Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта – полюс, и луч, начинающийся в этой точке – полярная ось.
Полярный радиус ρ – длина отрезка ОA
Полярный угол φ – величина угла между полярной осью и отрезком ОA
А ( 7; 60)
В ( 6; 120)
С ( 10; 150)
D ( 4; 240)
E ( 5; 285)
K ( 8; 100)
Переход от полярной системы координат к декартовой
Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ox, то по известным полярным координатам точки А( ρ; φ) её прямоугольные координаты вычисляются по формулам:
x1 = ρ cosφ, y1 = ρ sinφ
2.5 Общие свойства роз Гвидо Гранди
Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как
| sin(k | ≤1,
то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.
Наиболее красивые «цветы» получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза, хотя читателю, обратившему внимание на рис. 11,б, может показаться, что эта кривая больше напоминает пропеллер).
Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3≥0, решая которое находим область допустимых углов: 0≤ ,
В силу периодичности функции sin3 (ее период равен ) достаточно построить график для углов в промежутке 0 , а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть 0≤. Если угол изменяется от 0 до 1 , sin3 изменяется от 0 до 1, и, следовательно, изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от , то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла от 0 до , точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до . Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением .
Функция — периодическая с периодом π, кроме того,
sin(2( ,
поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.
Функция = sin2 на отрезке [0; монотонно возрастает с 0 до 1 , а на отрезке [; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.
Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:
• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;
• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .
Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.
Вообще, если k — натуральное число, то роза состоит из 2k лепестков при четном k и из k: лепестков при k нечетном. Если k — рациональное число (k=, то роза состоит из т лепестков в случае, когда оба числа т и п нечетные, и из 2т лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k - иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества частично перекрывающихся лепестков
2.6.Связь с другими кривыми
Замечательные кривые
Кардиоида
Кардиоида (от греческих слов сердце и вид) – получила свое название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.
Кардиоиду можно построить и другим способом. Она описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом.
Определяется уравнением в полярных координатах
ρ=a(1-cosφ)
(a - радиус окружности)
В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя в спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало ее изучению.
Определяется уравнением в полярных координатах
ρ^2=2c^2 cos2φ
(с – половина расстояния между фокусами лемнискаты)
Полярная роза – известная математическая кривая, похожая на цветок. Определяется уравнением в полярных координатах
ρ=2 sin4φ
Спираль Архимеда – названа в честь ее изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Определяется уравнением в полярных координатах
ρ=φ
В наши дни подобные эксперименты удобно проводить, имея персональный компьютер.
Построение графиков в полярной системе координат в Delphi
Создадим проект в среде Delphi для построения графиков полярных кривых, заданных параметрическими уравнениями: кардиоиды, логарифмической спирали, декартова листа, фигуры Лиссажу, k-лепестковой розы, эпициклоиды
Интерфейс проекта
Свойства элементов
Используемые процедуры
|
Элемент управления |
Свойство |
Значение |
|
Label3 |
Caption |
Построение полярных кривых |
|
Label1 |
Caption |
График |
|
Label1,Label2,Label3 |
Alignment |
2 - center |
|
Text1 |
Text |
|
|
Text1 |
Alignment |
0 - left |
|
Button1 |
Caption |
Пуск |
Процедура выбора типа кривой
procedure TForm1.RadioButton1Click(Sender: TObject);
begin
‘в глобальной переменной V запоминаем индекс выбранного переключателя’
V:=1;
‘выводим параметрические уравнения’
Edit1.Text:='r = a * (1 + Cos(f));
Edit2.Text:='x = r * Cos(f);
Edit3.Text:='y = r * Sin(f);
End;
Процедура кнопки "Пуск"
Procedure TForm1.StartClick(Sender: TObject);
Begin
PaintBox1.Repaint; ’вызываем функцию отвечающую за прорисовку’
End;
Пример построения графика кардиоиды
Var
x, y, f, a :extended;
r :double;
begin
a:= 4;
f:= 0; ’в начале полярный угол равен 0’
While f