V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
«Красота» в математике
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Математика – это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. А красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях.
Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира.
Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии.
Когда раскрывается эффективность применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства, не ущемляется роль математики, не подменяется другими предметами, а, наоборот, повышается интерес к предмету, выявляется высокое значение математики, процесс познания её делается увлекательным.
Задача исследования:
Цель проекта: Выяснить может ли математика доставлять эстетическое удовольствие.
Гипотеза: Мозг человека воспринимает красивые математические формулы так же, как великолепные произведения искусства.
Задачи:
1. Подбор и изучение, необходимой для исследования литературы.
2. Изучить красоту окружающих предметов с математической точки зрения.
3. Научится вычислять привлекательность математического объекта
4. Определить понятие «красивая» задача в математике.
5. Классифицировать найденные задачи по разделам
6.Узнать какие формулы считаются самыми красивыми.
Актуальность темы
Красота! Казалось бы, это понятие, лишенное практической ценности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Но почему же с давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами? Человеку достаточно одного взгляда, чтобы определить красив предмет или нет. Естественно возникает вопрос: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Какие «вычисления» проводит наш мозг, оценивая привлекательность? Существуют ли идеальные пропорции? В своей работе я попыталась ответить на эти вопросы с математической точки зрения.
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Математика: прекрасное в науке.
Анализ проявления «красоты» в математике
Французский энциклопедический словарь Ларусс определяет прекрасное как то, что "радует глаз или разум". Просто и ясно. Не будем обсуждать достоинства еще одного определения красоты, а обратим внимание на вторую часть данного определения, на то, что красота радует разум. Да, кроме красоты, постигаемой чувствами, есть и другая красота, постигаемая разумом. Это особый вид красоты - красота науки.
Как ни удивительно, но и эту необыкновенную красоту, красоту разума, успели прочувствовать древние греки. В диалоге Платона "Пир" мы читаем о том, как "беременный духовно" (говоря современными штампами - "ученый-теоретик, разрабатывающий сложнейшую проблему") "ищет везде прекрасное, в котором он мог бы разрешиться от бремени". Платон взволнованно говорит о том, как происходит восхождение к высшей красоте - красоте разума, красоте познания. "Начав с отдельных проявлений прекрасного, надо все время, словно бы по ступенькам, подниматься ради самого прекрасного вверх - от одного прекрасного тела к двум, от двух - ко всем, а затем от прекрасных тел к прекрасным нравам, а от прекрасных нравов к прекрасным учениям, пока не поднимешься от этих учений к тому, которое и есть учение о самом прекрасном, и не познаешь наконец, что же это - прекрасное. И в созерцании прекрасного самого по себе.. . только и может жить человек..."
Слова Платона - вдохновенный гимн торжеству Разума, стремлению к прекрасному, которое неотделимо от научного творчества. Раздумья о красоте научного поиска, о величии человеческого духа никогда не переставали волновать мыслящих людей. И через два тысячелетия в унисон Платону звучат слова великого представителя нашего столетия М. Горького: "Наука - высший разум человечества, это солнце, которое человек создал из плоти и крови своей, создал и зажег перед собою для того, чтобы осветить тьму своей тяжелой жизни, чтобы найти из нее выход к свободе, справедливей, красоте".
Кто, наставляемый на пути любви, будет в правильном порядке созерцать прекрасное, тот, достигнув конца этого пути, вдруг увидит нечто удивительно прекрасное по природе... Он увидит прежде всего, что прекрасное существует вечно, что оно не возникает, не уничтожается, не увеличивается, не убывает...
Платон
В чем же заключается красота науки? И если таковая существует, то есть ли эстетика науки, изучающая законы этой необычной красоты? Как самостоятельной дисциплины науки эстетики нет. И сегодня категории эстетики применяются главным образом к искусству, реже - к технике (техническая эстетика) и как исключение - к науке. Мысли о красоте науки, как говорят, только витают в воздухе, иногда они оседают на бумаге в виде отдельных высказываний некоторых ученых, но философскому анализу эти мысли практически не подвергались. Почему? Видимо, и потому, что великие ученые, которым прежде всего и "дано" увидеть истинную красоту науки, лишь останавливаются на мгновение, завороженные ее красотой. Нечасто позволяют они себе такие остановки, еще реже - философские или поэтические размышления об их причинах. Ведь научный поиск - это беспрерывное восхождение к истине, постоянная работа разума на пределе сил и возможностей, работа, не терпящая расслабления и отдыха. Так альпинисты на восхождении к вершине лишь на мгновение останавливаются, пораженные красотой и величием гор. Останавливаются, молча вытирая со лба струи соленого пота, и вновь устремляются к вершине, не имея возможности на неспешное наслаждение красотой. [3, с.94-97]
И тем не менее в богатой истории человеческой цивилизации находились люди, бравшие на себя смелость заняться анализом красоты науки. В их числе следует назвать Френсиса Хатчесона (1694-1747), шотландского философа эпохи Просвещения, автора "Исследования о происхождении наших идей красоты и добродетели в двух трактатах". Для нас особый интерес представляет раздел "О красоте теорем" первого трактата Хатчесона "О красоте, порядке, гармонии, целесообразности", начинающийся словами: "Красота теорем, или доказательств правильности всеобщих истин, заслуживает отдельного рассмотрения, поскольку по природе своей она значительно отличается от ранее рассмотренных видов красоты; и, однако, нет такой другой, в которой мы могли бы увидеть такое поразительное разнообразие при единообразии..."
Внимательно читая раздел "О красоте теорем", можно выделить три признака красоты науки, установленых Хатчесоном: 1) красота есть единство в многообразии; 2) красота заключена во всеобщности научных истин; 3) научная красота - это обретение неочевидной истины.
Принцип единства в многообразии Хатчесон считает универсальным эстетическим принципом, равно применимым и к неживой, и к живой природе, и к эстетической оценке науки. Действительно, любая математическая теорема содержит в себе бесчисленное множество истин, справедливых для каждого конкретного объекта, но в то же время эти конкретные истины собраны в единой общей для всех истине, устанавливаемой теоремой. Например, теорема Пифагора справедлива для бесчисленного множества конкретных прямоугольных треугольников, но все это многообразие треугольников обладает единственным общим свойством, описываемым теоремой. Вероятно, каждый школьник испытывал чувство радости, чувство научной красоты, когда впервые обнаружил, что, например, переместительное свойство сложения, замеченное им на множестве конкретных арифметических примеров, есть не что иное, как единый универсальный закон алгебры: a+b = b+a, справедливый для любых чисел.
Перейдем ко второму признаку красоты - всеобщности научных истин. "У теорем,- читаем мы у Хатчесона,- есть еще одна красота, которую нельзя обойти и которая состоит в том, что одна теорема может содержать огромное множество следствий, которые легко из нее выводятся. Когда исследуют природу, подобной красотой обладает познание определенных великих принципов или всеобщих сил, из которых вытекают бесчисленные следствия. Таково тяготение в схеме сэра Исаака Ньютона... И мы наслаждаемся этим удовольствием, даже если у нас нет никаких перспектив на получение какой-либо иной выгоды от такого способа Дедукции, кроме непосредственного удовольствия от созерцания красоты". Как точно сказано! И как чутко предвидит Хатчесон в 1725 г. могущество закона тяготения Ньютона, который пока еще называется "схемой Ньютона": ведь прощло только 38 лет со дня его опубликования (1687) - срок не столь уж большой для осознания столь грандиозного открытия!
Каждый может проиллюстрировать эту мысль Хатчесона своими примерами: в математике - это любая из теорем, например теорема Пифагора, в физике - закон тяготения или законы электромагнетизма, в химии - периодический закон Менделеева, в биологии - законы генетики, всеобщность которых мы постигаем на самих себе. Возвращаясь к теореме Пифагора, заметим, что существование около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т. д.) свидетельствует об огромном числе конкретных реализаций этой теоремы и ее следствий.
Наконец, третий признак - обретение неочевидной истины. Любой из нас согласится с тем, что постижение очевидной истины (ее символом стало утверждение, что дважды два - четыре) не доставляет ему эстетического наслаждения. В аксиомах мало красоты, утверждает Хатчесон, ибо их справедливость очевидна. Немного удовольствия доставляют нам и легкие теоремы, истинность которых видна "невооруженным глазом". Только открытие истин, спрятанных от нас наукой или природой, открытие, требующее поиска и серьезных усилий, доставляет нам в конце пути истинное наслаждение - познание неведомой истины. В этом и состоит радость и красота познания. Свою мысль Хатчесон подтверждает интересным примером. Ясно, что объем цилиндра больше объема вписанного в него шара, объем которого больше объема конуса, вписанного в цилиндр. Это очевидная истина, не приносящая нам никакого удовлетворения. Но когда мы установим, что объемы этих тел относятся как 3:2:1, т. е. когда мы обретем неочевидную истину, мы почувствуем, как прекрасна эта теорема и какое мы получаем удовольствие от ее первого открытия. Напомним, что первая часть этой теоремы, связывающая объемы цилиндра и вписанной в него сферы, была доказана Архимедом и почиталась им как лучшее из всех своих замечательных открытий.
В заключение Хатчесон делает важный вывод: красота науки неравнозначна научному знанию. Красота науки заключается не в собрании застывших законов, а в обретении новых знаний, в открытии новых истин, в обнаружении стройности и порядка там, где еще недавно царил хаос. Только беспрерывное движение вперед, а точнее вверх, к новым вершинам истины,- такова формула прекрасного в науке. [4, с.75-85]
Отметим еще одно существенное обстоятельство. Ясно, что все три выведенных Хатчесоном эстетических принципа справедливы для любой науки, но получены они Хатчесоном для математики. И дело здесь не в том, что остальные науки во времена Хатчесона были еще недостаточно развиты по сравнению с математикой. Дело в том, что математика во все времена была и остается "первой красавицей" среди наук и, следовательно, эстетические принципы науки наиболее ярко проявляются в математике. Чуть позже мы попытаемся обосновать эту мысль.
Но перенесемся из XVIII века в век XX. В 1931 г. в Москве вышла в свет небольшая книга драматурга и искусствоведа В. М. Волькенштейна "Опыт современной эстетики". Авторское введение прекрасно рисует дух того времени: "...автор ищет прежде всего определение той новой красоты, которая характеризует нашу бурную эпоху... Эта новая красота перед нами в еще невиданных произведениях искусств, в удивительных изобретениях техники, в новых методах мышления..." Последнее для нас является самым главным. Впрочем, это было отмечено и в предисловии первого наркома просвещения, писателя, искусствоведа, академика А. В. Луначарского (1875-1933), которым открывалась книга: "Само оглавление книги показывает, что Волькенштейн стремится распространить понятия эстетического на область мышления, считая возможным оценивать с эстетической точки зрения понятия: математические, физические, шахматную игру, всякое научное построение или формулу. Не подлежит сомнению, что это так. Беспрестанно у самих ученых... с уст срываются замечания: красивая теория, изящное разрешение затруднений и т. д. и т. д. Восхищение перед силой человеческого ума есть, конечно, глубоко эстетическое явление, своеобразное, но ничем радикально не различающееся от восхищения перед физической ловкостью человека, перед красотою здания и т. д.".
Итак, стремясь дать новое определение прекрасного, Волькенштейн пытается найти признаки красоты в науке: математике, физике, химии. Эти признаки, по Волькенштейну, таковы: 1) эстетическое впечатление "возникает только в связи с целесообразным, сложным (трудным) преодолением"; 2) "красиво сведение сложности к простоте"; 3) "всякое математическое оформление научных достижений, если оно наглядно и гармонично, вызывает эстетическое впечатление".
Легко видеть, что формула "красота есть целесообразное, трудное преодоление" перекликается с формулой Хатчесона "красота есть обретение неочевидной истины". Да, Природа прячет свои законы в сокровенных тайниках и открываются они только тому, у когс хватает сил на трудное преодоление. И как вознаграждение в конце пути ожидает ученого красота открывающейся истины. Альберт Эйнштейн (1879-1955) любил повторять, что Бог (т. е. Природа) изощрен но не злонамерен (эта надпись была сделана у Эйнштейна на камине). Изощренность Природы состоит в том что она ловко скрывает от человека свои законы, а ее внешнее проявление выглядит поначалу как полный хаос. Не злонамеренность же Природы означает существование у нее законов и принципиальную возможность их обнаружения в конце целесообразного и трудное преодоления. Познание гармонии Природы, когда лишнее и кажущееся отпадает, когда истина обретает величавую простоту и ясность, и есть высшая красота научного поиска. [7, с.48-56]
Блестящим примером торжества простоты в науке является развитие взглядов человечества на устройство мироздания. Первой научной моделью Вселенной была геоцентрическая система великого александрийского ученого Клавдия Птолемея (II в. н. э.). Для своего времени это была красивая теория, так как она объясняла сложное и непонятное движение планет на небосводе достаточно простым образом - вращением планет вокруг Земли по основным кругам (деферентам) и вспомогательным кругам (эпициклам). Кроме того, теория Птолемея могла предсказывать положение планет на небосводе и ею с успехом пользовались мореплаватели более 1000 лет. Однако гелиоцентрическая система Николая Коперника (1473-1543) позволяла гораздо проще объяснять суть истинного Движения планет относительно неподвижных звезд, она не нуждалась в эпициклах и как более простая научная теория была более красивой*. Законы Иоганна Кеплера (1571-1630) уточнили систему Коперника и придали ей математическую строгость, а Исаак Ньютон (1643-1727)в свою очередь показал, что законы Кеплера является логическим следствием законов механики и закона тяготения. Законы Ньютона являются вершиной красоты и простоты в научном описании Солнечной системы! А на очереди уже стоят тайны устройства Вселенной... Таким образом, эстетическая ценность науки непрерывно возрастает. Каждая новая, более простая теория воспринимается как более красивая.
Согласно третьему признаку Волькенштейна, математика несет красоту в любую науку. Строго говоря, этот тезис является следствием предыдущего: красиво сведение сложности к простоте, ибо математика и есть тот инструмент науки, который позволяет, говоря словами основоположника кибернетики Норберта Винера (1894-1964), "находить порядок в хаосе, который нас окружает". Волькенштейн отмечает эту особую роль математики в науке и, следовательно, ее особую эстетическую ценность: "Математика есть область утонченной красоты. Ее формулы выражают сложные соотношение чисел в определенной форме. Поэтому они могут быть красивы, или, как говорят математики, "изящны".
Широко известно, какой эстетический восторг испытывал выдающийся немецкий физик Людвиг Больцман (1844-1906) при виде уравнений Максвелла: "Не Бог ли начертал эти письмена? " Мы позволим себе привести здесь эти уравнения без необходимых пояснений, а просто как "письмена" - красивые, но непонятные иероглифы:
Что же восхищало Больцмана в этих уравнениях? Конечно, и красота формы, которую можно оценить, не понимая сути уравнений. Действительно, сами уравнения просты по форме. Части уравнений, содержащие пары , почти полностью равноправны, а сами уравнения почти полностью симметричны. Но главное, конечно, в красоте содержания уравнений, которая раскрывается далеко не каждому. Эта красота содержания заключается в том, что сами уравнения подсказали английскому физику, основателю классической электродинамики Джеймсу Клерку Максвеллу (1831 - 1879) идею электромагнитных волн и позволили связать воедино электричество, магнетизм и свет.
Так что же такое математика и в чем ее особая красота? "Математика - это больше, чем наука, это язык" - так определил место математики в системе наук знаменитый датский физик Нильс Бор (1885-1962). Математика может быть языком любой науки, умеющей на нем разговаривать. В этом универсальность и могущество математики, но в этом и особая красота математики, выделяющая ее среди других наук. Ибо всякий язык красив уже сам по себе как средство общения. [7, с.76-88]
В самом деле, как только любая из наук переведет свои проблемы на язык математики, так тут же к ее услугам откроется весь богатейший арсенал математики, обладающий массой универсальных методов и способный решать многие конкретные задачи.
Вывод
Наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т.е. пытались вывести формулу красоты. Ряд формул красоты известен. Это правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник. В ходе выполнения исследовательской работы я выяснила, что действительно существует «формула красоты», которая не является выдумкой человека. Скорее всего, это закон природы. В наибольшей степени определение «формула красоты» подходит к понятию «золотая пропорция». Эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности прекрасного. Золотая пропорция не только является господствующей во многих произведениях искусства, она определяет закономерности развития многих организмов, её присутствие отмечают почвоведы, химики, биологи, геологи, математики, астрономы.
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. При наблюдении совершенных форм, в которых соблюдаются пропорции золотого сечения между размерами отдельных частей растений, скульптуры, здания человек испытывает эстетическое наслаждение. Золотое сечение являлось критерием гармонии и красоты ещё во времена Пифагора и является настоящей формулой красоты в настоящее время. Понять это мне помогла математика. Математика является не только стройной системой законов, теорем, задач, но и уникальным средством познания красоты. Аристотель говорил:«В наслаждении красотою есть элемент наслаждения мышлением».
Анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее:
В ходе исследования дано определение «красивой» математической задачи, проведена классификация таких задач по определенным признакам, а именно:
Задачи, «красивые» по решению
Задачи, «красивые» по содержанию
Задачи, «красивые» по чертежу
«Красивые» олимпиадные задачи.
Список литературы и Интернет-ресурсов
1. А. В. Волошинов, «Математика и искусство», “Просвещение”, 2000г.2. Е.С. Смирнова, Н.А. Леонидова; «Математическое путешествие в мир гармонии», издательство - Мир, 1972.3. Мартин Гарднер, Математические чудеса и тайны, 1982.4. Мартин Гарднер, Математические досуги, издательство ―Мир, 1972.5. Журнал «Математика в школе» № 3, 1993г.6. Словарь Ларусс.7. Валентина Титова Статья "Эстетическое развитие на уроках математики"8. http://yandex.ru/clck/jsredir?bu=uniq1515783474629384031&from9. http://yandex.ru/clck/jsredir?bu=uniq1515788459564157703&from10. http://yandex.ru/clck/jsredir?bu=uniq15157896211551935&from
Приложение 1
"Красивые" задачи –
ключ к пониманию изящества математики
Человек немыслим без такого качества, как восприятие мира в его красоте и гармонии. Поэтому сегодня одним из основных направлений развития школы является поворот обучения к человеку, его ценностному потенциалу.
Многие из учащихся считают математику строгой наукой, при изучении которой нет места эмоциям, хотя очень многие заинтересованы этим предметом.
Известно, что решение задачи – одно из основных средств математического развития школьников. Каждая математическая задача служит конкретным целям обучения, но основная её цель – развитие творческого и математического мышления, формирование и развитие эстетического вкуса. Еще Д. фон Нейман отмечал, что математика «движима почти исключительно эстетическими мотивами». Попытки раскрыть содержание понятий «чувство красоты», «красивая задача» предпринимаются многими математиками.
Например, Г. Биркгоф дал интересную характеристику эстетической
привлекательности математического объекта:
,
где М – мера красоты,
О – мера порядка,
С – мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта.
Из этой формулы следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями с его стороны. Эстетическая мера объекта будет увеличиваться с упорядочиванием структуры.
Многие планиметрические задачи напрямую связаны с понятием «красивая», то есть «доставляющая наслаждение, приятная внешним видом, гармоничностью, стройностью». Восприятие эстетической стороны такой задачи начинается с условия и чертежа.
Например, задача построения с помощью циркуля фигуры, изображенной
на рисунке,
привлекает внимание обучающихся прежде всего условием (красивый узор). Но затем они начинают фантазировать на данную тему, и у них получаются оригинальные узоры, построение которых возможно лишь с помощью циркуля.
Решение «красивых» задач, мы считаем, должно быть наглядно, неожиданно, просто. Задачи, удовлетворяющие такому требованию, согласно нашим наблюдениям, неизменно вызывают интерес учащихся и побуждают их к поиску более коротких и простых путей решения, что способствует развитию креативности.
Изучив множество литературы, мы пришли к выводу, что «красивая» математическая задача должна отвечать определенным требованиям:
1) Условие задачи должно быть интересно; если задача геометрическая, то чертеж к ней – красивый.
2) Задача должна содержать нестандартный элемент, отличающий ее от большинства задач по данной теме, предлагаемых в учебниках. При этом нестандартность может проявляться как в самом условии, так и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения, и многовариантные задачи, имеющие несколько ответов (причем желательно, чтобы факт наличия нескольких ответов не был явно указан в формулировке условия).
3) Задача может устанавливать интересный факт, порой неожиданный.
4) 3адача должна быть доступна как по формулировке условия, так и по сложности и объему используемого в решении материала. Если сильные и слабые ученики окажутся при постановке проблемы в изначально неравных условиях, то предложенная задача потеряет долю своей прелести и «сработает» только на часть класса.
5) Желательно, чтобы в решении красивой задачи не использовались искусственные приемы, особенно если они известны части учеников (например, посещающим занятия-кружка или факультатива).
Наконец, основное: в решении задачи обязательно нужно спрятать «изюминку», чтобы оно было наглядно и удивительно просто. [8, с.1-3]
Учась в среднем звене и готовясь к математическим олимпиадам, мы сталкивались со множеством задач, среди которых были такие, которые отвечали данным требованиям и мы поняли, что их можно классифицировать на несколько групп:
1) «Красивые» задачи по решению; 2) «Красивые» задачи по чертежу;3) «Красивые» задачи по содержанию; 4) «Красивые» олимпиадные задачи.
Приложение 2
Классификация красивых задач
«Красивые» задачи по содержанию
Некоторые «красивые» задачи привлекают учеников изюминкой, находящейся в содержании поставленной задачи. [9] Приведем пример:
Маленький Петя подпилил все ножки у квадратного табурета и четыре отпиленных кусочка потерял. Оказалось, что длины всех кусочков различны и что табурет после этого стоит на полу, пусть наклонно, но по-прежнему касаясь, пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табурет, однако нашел только три кусочка с длинами 8, 9 и 10 см. Какой длины может быть четвертый кусочек?
Рис.10. Рисунок к задаче
Решение. Пусть А, В, С, D – концы исходных ножек табуретки, а А1, В1, С1, D1 – подпиленных. А1А + В1В = С1С + D1D. Поскольку табуретка стоит, касаясь пола четырьмя ножками, то точки А1, В1, С1 и D1 лежат в одной плоскости. Табуретка квадратная, значит, плоскости АВА1В1 и СDС1D1 параллельны. Следовательно, А1В1 // С1D1. Аналогично,
В1С1//А1D1. таким образом, четырехугольник А1В1С1D1 – параллелограмм, и его диагонали пересекаются в точке О1. Пусть О – центр квадрата АВСD. Заметим, что отрезок ОО1 – средняя линия как в трапеции АСС1А1, так и в трапеции ВDD1В1, а значит , А1А+ С1С= 2ОО1= В1В+ D1D.
Теперь переберем возможные длины отпиленной части, расположенной по диагонали от потерянной. При этом получим, что длина отпиленной части удовлетворяет одному из равенств:
8+x=9+10, 9+x=8+10, 10+x=8+9, x=7, x=9,x=11.
Поскольку длины всех кусков различны, =9, и остаются только варианты 7 и 11.
Ответ: 7,11.
«Красивые» задачи по чертежу
Задачи на построение чертежей, вызывают интерес именно условием (красивый чертеж). Поэтому учащиеся начинают фантазировать на данную тему, и у них получаются оригинальные чертежи.
Задача
Зигзаг разделил правильный девятиугольник на треугольники, как показано на рисунке. Какая часть площади больше: закрашенная или не закрашенная?
Рис.11. Рисунок к задаче
Решение. Проведем в девятиугольнике еще несколько диагоналей.
Рис.12. Рисунок к задаче
Девятиугольник разбился на 13 треугольников. На рисунке образовалось много параллелограммов и трапеций с диагоналями. Расставим номера треугольников, причем одинаковым номером отметим равные треугольники разных цветов. 12 из них разбились на пары, а тринадцатому, который оказался закрашенным, пары не хватило. Значит, закрашенная часть площади девятиугольника больше его незакрашенной части.
Ответ: закрашенная.
«Красивые» задачи по решению
Нестандартность решения может проявляться и в методах решения. Особый интерес в этом смысле представляют задачи, имеющие несколько различных методов решения, и многовариантные задачи, имеющие несколько ответов (причем желательно, чтобы факт наличия нескольких ответов не был явно указан в формулировке условия).
Задача
Дан острый угол А, вершина которого недоступна (находится за пределами чертежа). Постройте биссектрису данного угла.
Эту задачу можно решить, как минимум, тремя способами, каждый из которых по-своему красив.
Способ 1 опирается на тот факт, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Взяв две произвольные точки В и С на сторонах данного угла, получим треугольник АВС (с одной недоступной вершиной), две биссектрисы которого можно построить. Точка пересечения этих биссектрис лежит на искомой биссектрисе. Аналогично можно найти и вторую точку.
Рис.13. Рисунок к задаче
Способ 2 использует свойство углов с соответственно параллельными сторонами: проведя на равных расстояниях от сторон данного угла прямые А1В1и А1С1, параллельные соответственно сторонам АВ и АС, так чтобы точка их пересечения лежала внутри угла, получим угол В1А1С1, равный данному. Очевидно, что биссектриса В1А1С1 лежит на искомой биссектрисе угла ВАС.
Рис.14. Рисунок к задаче
«Красивые» олимпиадные задачи
Олимпиадные задачи всегда пользовались успехом у учеников 5-11 классов, приведем пример «красивой» олимпиадной задачи.
Задача
Дана белая доска размером 100*100 клеток. Двое по очереди красят ее клетки в черный цвет, причем первый всегда закрашивает квадрат 2*2, а второй—три клетки, образующие «уголок». Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?
Ответ: второй
Рис.15. Рисунок к задаче
Решение. В одном из углов доски второй игрок своим первым ходом закрашивает три клетки в прямоугольнике 2x3, а три оставшиеся клетки из этого прямоугольника объявляет резервом. В дальнейшем второй игрок делает все возможные ходы, не затрагивая резерва. Если такой ход становится невозможным, то закрашиваются клетки резерва. Ясно, что ответного хода у первого игрока нет.
Приложение 3
Самая известная формула в математике
Формула Эйлера названа самой знаменитой формулой в математике, в которой используются все основные математические константы.
e — это число Эйлера и основание натурального алгоритма.
i — мнимая единица, которая удовлетворяет равенству i2 = -1
π — число PI, отношение длины окружности к ее диаметру.
0 — нейтральным элементом или аддитивная единица.
1 — положительное число, которое равно своему обратному
Тождество Эйлера было названо «самой красивой теоремой в математике» во время опроса проведенного в 1990 году. Уравнение Эйлера было названо «великим уравнения истории» в ходе опроса, проведенного Physics World в 2004 году. [10]
Многие видели в этой формуле символ единства всей математики, ибо в ней «:
1 представляет арифметику;
i — алгебру;
π — геометрию;
e — анализ.»
Приложение 4
Опрос по выбору прямоугольника
В опросе участвовало 56 респондентов.
Цель опроса: определить какой из прямоугольников больше "радует глаз или разум".
Гипотеза: большинство респондентов должны выбрать прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении (т.е. №5
Группе респондентов были представлены 8 прямоугольников. Коэффициенты φ которых соответственно равны:
№1: φ=0,3
№2: φ=0,7
№3: φ=0,2
№4: φ=0,4
№5: φ=0,6
№6: φ=0,9
№7: φ=0,5
№8: φ=1
Задача респондентов выбрать любой один понравившийся прямоугольник.
Результат опроса:
Рис. 16. Гистограмма ответов на 1 вопрос
Вывод: на самом деле прямоугольник со сторонами в золотом отношении более понравился респондентам, не жале другие прямоугольники
Приложение 5
Опрос по выбору треугольника
В опросе участвовало 37 респондентов.
Цель опроса: определить какой из равнобедренных треугольников больше "радует глаз или разум".
Гипотеза: большинство респондентов должны выбрать треугольник, стороны которого находятся в золотом отношении (т.е. №1 или №4)
Группе респондентов были представлены 7 равнобедренных треугольников. Углы при вершине которых соответственно равны:
№1: 360
№2: 500
№3: 250
№4: 1080
№5: 500
№6: 1450
№7: 900
Задача респондентов выбрать любой один понравившийся треугольник.
Результат опроса:
Рис. 17. Гистограмма ответов на 2 вопрос
Вывод: в принципе большинство треугольников были оценены одинаково, но треугольник с углом при вершине 108 градусов не устроил большинство респондентов. А лидером по опросу стал равносторонний треугольник.
Приложение 6
Опрос по выбору листьев деревьев
В опросе участвовало 37 респондентов.
Цель опроса: определить какой из листьев деревьев больше "радует глаз или разум".
Гипотеза: большинство респондентов должны выбрать лист клена, (т.е. №1или №6)
Группе респондентов были представлены 6 листьев различных деревьев.
№1: клен
№2: береза
№3: осина
№4: дуб
№5: ольха
№6:папоротник
Задача респондентов выбрать любой один понравившийся листочек.
Результат опроса:
Рис. 18. Гистограмма ответов на 3 вопрос
Вывод: большинство респондентов выбрали как раз листья деревьев клена и папоротника.
Рис. 19. Фотографии проведения опроса
Приложение 7
Опросник
В опросе участвовало 21 респондент.
Вопрос: Какие ощущения у вас возникают, когда вам задают сложную задачу?
Какие чувства у вас возникаю после ее решения? (при условии, что вы ее решили)
Результат опроса:
По первому вопросу
Рис. 20. Гистограммы ответов на 1 вопрос
По второму вопросу:
Рис. 21. Гистограммы ответов на 2 вопрос
Вывод: в большинстве случаев у учащихся вызывает страх и опасение.