V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Секреты быстрого счета

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Чибисов С.И. 1

---

1МБОУ "СОШ № 19"

Карпина Ю.В. 1

---

1МБОУ "СОШ № 19"

Работа в формате PDF

397 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Всем известно, какую роль в школьном курсе обучения имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, быстро производить вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учёбе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счёт – настоящая гимнастика для ума.

Большинство учащихся испытывают затруднения при выполнении вычислений. Многие часто используют калькулятор, устно же в основном считают плохо. Приемов рациональных вычислений в учебниках очень мало, однако при сдаче ЕГЭ и ОГЭ требуются умения и навыки хороших вычислений. Поэтому тему моего исследования «Секреты быстрого счета» считаю актуальной.

Гипотеза: можно ли овладеть приемами быстрого счета и улучшить вычислительные способности.

Цель исследования: изучить алгоритмы ускоренных вычислений и научиться их применять.

Задачи исследования:

- изучить теоретический материал по рассматриваемой проблеме;

- рассмотреть алгоритмы ускоренных вычислений при выполнении арифметических действий, возведении в квадрат, извлечении из квадратного корня, перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь;

- выбрать наиболее рациональные алгоритмы ускоренных вычислений;

- составить памятку для учащихся по применению алгоритмов ускоренных вычислений.

Объект исследования: действия с числами.

Предмет исследования: алгоритмы ускоренных вычислений.

Методы исследования:

- сбор информации;

- анкетирование;

- эксперимент;

- систематизация и обобщение.

Трудно сказать, когда появились числа, и как человек научился считать. Однако наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить продукты, добычу, делать запасы впрок. Таким образом, человек, сам не замечая того, научился считать, производить вычисления. Для счета использовали пальцы рук, ног, различные предметы. Появились и изображения чисел. Например, индейцы изображали числа с помощью узелков на верёвках. Первым способом «записи» чисел были зарубки на палке. В Древнем Вавилоне записывали числа, выдавливая значки палочкой на глиняной дощечке. А сейчас мы пользуемся цифрами, нам это привычно и удобно. Сначала люди научились складывать и вычитать, потом умножать и делить, причем способы вычислений не всегда были удобны и понятны. Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления - последнее всего больше. "Умноженье - мое мученье, а с делением - беда",- говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый "магистр деления" (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. И все эти приемы умножения - "шахматами, или органчиком", "загибанием", "по частям, или в разрыв", "крестиком", "решеткой", "задом наперед", "ромбом", "треугольником", "кубком", или "чашей", "алмазом" , а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после продолжительной практики. Признавалось даже, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения и деления многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна. (Приложение 1)

Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Я. Перельман, Г. Берман, Я. Трахтенберг и другие. Известна необычная история создания целой системы повышения быстроты счета. Она создана была в годы второй мировой войны профессором математики Я. Трахтенбергом, и известна под названием "Системы быстрого счета". В 1941 году гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось создать систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета. После войны Я. Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт, получивший мировую известность.

Автором нашего привычного способа умножения столбиком многозначного числа на многозначное следует считать Адама Ризе (27 марта 1492 —30 марта 1559) — немецкого математика, выдающегося учителя счёта. Этот алгоритм считается самым удобным.

Мною было проведено анкетирование учащихся 8 – х, 9 - х, 11 классов школы по следующим вопросам:

1. Какие способы и приемы умножения вы знаете?

2. Какие способы и приемы сложения вы знаете?

3. Какие способы и приемы вычитания вы знаете?

4. Какие способы и приемы деления вы знаете?

5. Какие приемы перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь вы знаете?

6.Какие способы возведения в квадрат и извлечение из квадратного корня вы знаете?

7. Знакомы ли вы с приемами быстрого счета?

8. Допускаете ли вы ошибки при вычислениях?

В анкетировании приняли участие 78 учащихся. Анализ результатов показал следующее:

По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев учащиеся не знают других способов выполнения действий кроме таких, как умножение, сложение, вычитание столбиком и деление «уголком», а при возведении в квадрат и извлечении из квадратного корня применяют таблицу или калькулятор. Около половины опрошенных часто допускают вычислительные ошибки и лишь около трети знакомы с приемами быстрого счета.

Конечно, знать все способы быстрого счета невозможно, но наиболее доступные можно изучить и применять.

Основная часть

Алгоритмы ускоренных вычислений

В истории математики известно большое количество способов умножения, деления, сложения и вычитания, отличающихся либо схемой записи, либо самим ходом вычислений. Принятые у нас обычный способ умножения, вычитания и сложения «столбиком», деление «уголком», в котором многие часто допускают ошибки, является привычным для нас, но не самым удобным.

Рассмотрим некоторые приемы ускоренных вычислений при выполнении арифметических действий, возведении числа в квадрат, извлечение из квадратного корня и перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь.

Умножение

1.Умножение числа на 11, 111 и т.д

Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

7543∙ 11=82973, так как 3+4=7, 5+4=9, 7+5=12, 7+1=8

534 ∙ 111= 59274, так как 3+4=7, 5+4+3=12, 5+3+1=9

2.Умножение чисел, близких к 100

97 ∙ 95 = 9215

Находим дополнение каждого множителя до 100: 100 – 97 = 3, 100 – 95 = 5. Определяем произведение дополнений 3∙ 5 = 15. Из одного множителя вычитаем дополнение другого: 97 – 5 = 92.

3.Умножение двузначных чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10

Округляем числа до десятков и находим их произведение, чтобы получить число сотен, и к числу сотен прибавляем произведение единиц.

34 ∙ 36 = 3∙4∙100+4∙6=1224

108∙102=11∙10∙100+8∙2=11016

4.Умножение двузначного числа на 101, 1001 и т.д.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. 57 ∙ 101 = 5757

324 ∙ 1001=324324

5.Умножение на число, записанное одними девятками

Для того чтобы найти произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9.

8 ∙ 9 = 72 (т.к. 8 – 1 = 7, 9 – 7 = 2)

46 ∙ 99 = 4554

137∙ 999= 136 863

3562 ∙ 9999 = 35616438

6. Умножение на 25

Чтобы устно умножить число на 25, его делят на 4 и к частному приписывают два нуля. Например,72∙25= 72:4100= 1800.

Если же число не делится нацело на 4, то поступаем таким образом: находим неполное частное и остаток от деления на 4, потом этот остаток умножаем на 25 и к неполному частному приписываем полученное произведение.

34 ∙ 25 = 850 (ост 2, 2 ∙ 25 = 50)

67 ∙ 25 = 1675 (ост 3, 3 ∙ 25 = 75)

7. Способ умножения В. Оконешникова

Изобретателем новой системы устного счёта является кандидат философских наук Василий Оконешников. Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах.

15647 ∙ 5 = 78235

Каждую цифру числа умножаем на 5: 5, 25, 30, 20, 35. Полученные произведения складываем особым образом: пятая – 5, четвертая – 0 + 3 = 3, третья – 0 + 2 = 2, вторая – 5 + 3 = 8, первая цифра: 5 + 2 = 7. Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

8. Прямое умножение

1) перемножают число десятков у множителей и к полученному результату приписывают два нуля.

2) число десятков первого множителя умножают на число единиц второго множителя и к полученному результату приписывают нуль.

3) Число единиц первого множителя умножают на число десятков второго множителя, к полученному результату приписывают нуль.

4) перемножают число единиц у множителей. Например, 26 ∙ 74: перемножим число десятков и к полученному результату припишем два нуля: 2 ∙ 7 =14(00). Умножим число десятков первого множителя (2) на число единиц второго множителя(4) и к полученному результату припишем нуль: 2 ∙ 4 = 8(0). Умножим число единиц первого множителя (6) на число десятков второго множителя (7) и к полученному результату припишем нуль: 6 ∙ 7 = 42 = 420. Перемножим число единиц: 6 ∙ 4 = 24. Тогда 26 ∙ 74 = 1400 + 80 + 420 + 24 =1924.

9.Умножение чисел, оканчивающихся на 1

Надо перемножить цифры десятков и к полученному произведению прибавить сумму десятков и единиц.

81∙31=80∙30+(80+30) +1=2400+111=2511

61∙51=60∙50+(60+50)+1=3000+111=3111

10.Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые

Перемножаем цифры десятков и прибавляем цифры единиц, получим число сотен и затем к числу сотен приписываем число единиц.

72∙32=(7∙3+2) ∙100+2∙2=2304

18∙98=(1∙9+8) ∙100+8∙8=1764

Сложение

Сложение – наиболее простое арифметическое действие, поэтому число упрощенных приемов сравнительно невелико. Рассмотрим их.

1.Представление двузначного числа в виде суммы двух слагаемых

Первое слагаемое – число десятков, второе – число единиц: 18+24=(10+20)+(8+4)=30+12=42

124+345=(100+300)+(20+40)+(4+5)=469

2.Сложение путем последовательного прибавления к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших

3745+637=(37+6) ∙100+45+37=4300+82=4382

3.Сложение путем округления чисел

96+47=100+47-4=143

2984+996+1998+4002=(3000+1000+2000+4000)-(16+4+2-2)=10000-20=9980

Вычитание

1.Вычитание с помощью круглого числа

Вычитание с помощью круглого числа. Если вычитаемое оканчивается на 9, 8, 7, 6 или 5, то нужно вычесть ближайшее к вычитаемому круглое число, а к полученному результату добавить 1, 2, 3, 4 или 5 соответ­ственно.

Например: найдем разность чисел 567 и 29 с по­мощью круглого числа.

567 - 29 = 567 - (30 - 1) =(567- 30) + 1 = 537 + 1 = 538.

2. Вычитание с помощью замены вычитаемого

При вычитании с помощью замены вычитаемого используют следующий прием. Вычитаемое представляют в виде суммы двух чисел, одно из которых равно цифре в разряде единиц уменьша­емого. После этого из уменьшаемого последова­тельно вычитают оба этих числа.

Например: у уменьшаемого 563 цифра в разряде единиц равна 3. Поэтому представим вычитаемое 8 в ­ следующем виде: 8 = 3 + 5. Тогда

563 - 8 = 563 - (3 + 5) = (563 - 3) - 5 = 560 - 5 = 555.

3.Раздельное поразрядное вычитание

574-243= (500-200)+(70-40)+(4-3)=331

68894-42413=(68000-42000)+(800-400)+(94-13)=26481

647-256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=391

4.Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

456-128=(456+2)-128-2=(458-128)-2=330-2=328

1558-1219=1558-(1218+1)=(1558-1218)-1=340-1=339

Деление

1.Деление на 25

Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4

12100:25=12100:100∙4=121∙4=484

2.Деление на 75

Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4

2400:75=2400:300∙4=32

3.Деление на 50

Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2

21600:50=21600:100∙2=216∙2=432

4.Деление на 125

Чтобы число разделить на 125, надо это число разделить на 1000 и умножить на 8.

9000:125=9000:1000∙8=72

5.Деление на 37

Чтобы разделить число на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3

999:37=999:111∙3=27

7.Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:

240 : 32=(240 : 8) : 4=30 : 4=7,5

750 : 15=(750 : 5) : 3=150 : 3=50.

Возведение в квадрат

1.Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.

15∙15 = 225 = 10∙20+ 25 (или 1∙2 и приписываем справа 25)

2.Возведение в квадрат числа от 11 до 19

проводится суммированием трёх слагаемых: число, умноженное на 10, последняя цифра, умноженная на 10 и последняя цифра в квадрате: 16²=160+60+36=256

3.Возведение в квадрат любого числа

67 ∙ 67 = 4489

В первой строке в ряд записываются квадраты цифр возводимого в квадрат числа по порядку. Для числа 67 это - 36 и 49. Следующая строка представляет собой удвоенное произведение цифр числа, в данном примере цифр 6 и 7. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат. Если какая-то цифра в квадрате своем дает однозначное число, или же удвоенное произведение каких-либо цифр является однозначным числом, то в ячейке, отведенной для записи данного результата в разряде десятков записывается "0", в разряде единиц - получившееся число, как в следующем примере: 381 ∙ 381 = 145161

Извлечение из квадратного корня

1. Метод оценки

Например, надо найти . Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами 70 и 80, поскольку, 70²=4900, 80²=6400, а число 5041 находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это 7.

Последняя цифра в числе 5041 равна 1. Поскольку 1²=1, 9²=81, последняя цифра в ответе – либо 1, либо 9.

Проверим:71²=(70+1)²=4900+140+1=5041.

Перевод в десятичную дробь

В десятичную дробь можно перевести дроби, у которых знаменатель можно представить в виде степени чисел 2, 5 или произведения их степеней.

Поэтому в десятичную дробь можно перевести дроби со знаменателями: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125 и т.д.

10=2∙5

100= 2² ∙ 5²

1000=2³ ∙ 5³

10000=2⁴ ∙ 5⁴

100000=2⁵ ∙ 5⁵ и т.д.

4∙25=100

8∙125=1000

, т.к 2³ = 8, то дополнительный множитель – 5³ = 125

, т.к 1000=25∙40

=0,0875, т.к 10000=125∙80

Заключение

Таким образом,изучив литературу по данной теме, я сделал отбор: из множества алгоритмов ускоренных вычислений, я выбрал те, которые просты в понимании и применении для любого ученика. (Приложение 2)

Научившись считать всеми представленными в моей работе способами, я провел исследование эффективности применения алгоритмов ускоренных вычислений. В эксперименте приняли участие 10 учащихся 8 – 11 классов. Стартовая диагностика показала следующие результаты: среднее время вычислений 8 минут. Все участники вычисления выполняли в столбик.

После ознакомления с приемами вычисления была проведена повторная диагностика. Среднее время выполнения заданий составило 3 минуты. Все участники справились с заданиями без ошибок. По результатам исследования можно сделать вывод: основными составляющими навыка быстрого счета являются:

- алгоритмы (знание алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации);

- тренировка и опыт (постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят улучшить скорость и качество счета).

Поэтому вычислительные навыки развить может каждый ученик, независимо от его математических способностей. Проведенный эксперимент показал, что знание приемов быстрого счета помогает избежать ошибок и сократить время вычислений. Выдвинутая в начале работы гипотеза подтвердилась: знание приемов быстрого счета помогает избежать ошибок при вычислениях и сократить время вычислений. Систематизировав полученную информацию, по данной теме, я составил памятку по применению алгоритмов ускоренных вычислений. Данный материал можно использовать при подготовке учащихся к ЕГЭ и ОГЭ, на факультативных занятиях и элективных курсах.Таким образом, цель моей работы достигнута.

Список литературы:

1. Александрова В. А. Устный счет – гимнастика ума (Законы математической логики). – Кемерово: ГБОУ СПО «Кемеровский аграрный техникум», 2013.

2. Бикташева Л.В. «Алгоритмы ускоренных вычислений» - М.: Чистые пруды, 2007 – Библиотека «Первого сентября», серия «Математика».

3. Камаев П. М. Устный счет – М.: Чистые пруды, 2007 – Библиотека «Первого сентября», серия «Математика».

4. Мельникова Н. Развитие вычислительной культуры учащихся // Математика в школе.- 2001.- №18.- С. 9-14.

5. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка – Математика в школе, № 7, 2008 г.

6. Филиппов Г. Устный счет – гимнастика ума // Математика. - 2001. - №3. - С. 25-27.

Приложение 1

Старинные способы умножения и деления

Умножение методом Ферроля

Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков, умножают десятки одного на единицы другого и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки.

Например, 12 ∙ 14 = 168

2 ∙ 4 = 8

1 ∙ 4 + 2 ∙ 1 = 6

1 ∙ 1 = 1

Китайский способ умножения

Например, умножим 13 ∙ 24 = 312

Начертим рисунок число 13: 1 линия, отступ. 3 линии; число 24: 2 линии, отступ, 4 линии. Определим количество точек пересечения: верхний левый – 2, нижний левый и верхний правый – 6+4 = 10, нижний правый – 12. Так как два последних числа двузначные, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему.

2+1=3

1+0=1

2

Арабский способ деления (золотое деление)

Когда в Европе появился арабский способ деления, он получил название «золотое деление». А метод Герберта стали называть: «железное деление». Долгое время конкурировали два способа деления: «галера» и «золотое деление», которым мы пользуемся и по сей день. Итак, сами того не ведая, мы делим числа методом «золотого деления». Сейчас для выполнения деления используют более короткую запись – уголком.

Итальянский способ умножения

Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху нуль, а внизу число. Заполняем решетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Русский способ умножения

Этот прием умножения использовался русскими крестьянами примерно 2 – 4 века назад. Суть способа в том, на сколько мы делим первый множитель, на столько мы умножаем второй.

Например: 32 ∙ 13 = 416

32 ∙ 13 (32 разделим на 2 и 13 умножим на 2)

16 ∙ 26 (и т.д)

8 ∙ 52

4 ∙ 104

2 ∙ 208

1 ∙ 416

Как поступить если приходится делить нечетное число – откинуть единицу и делить остаток пополам, а к последнему числу правого столбца прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением.

19 ∙17 (18 делим на 2 , 17 умножаем на 2)

9 ∙ 34 (8 делим на 2, 34 умножаем на 2)

4 ∙ 68

2 ∙ 136

1 ∙ 272

272 + 17+ 34=323

Индийский способ умножения

Правило 1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множитель, то есть в данном случае под 9.

Правило 2. Последующее произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения.

Деление «галерой»

Итальянцы этот способ так называли из-за того, что после окончания вычислений цифры располагаются в виде фигуры, напоминающей это гребное судно. Англичане называли его - метод зачеркиваний, т. к. здесь постоянно производится зачёркивание цифр.

Разделим 7968 на 24. Записываем делимое, а под ним делитель. Справа от делимого ставим скобку, за которой последовательно записываем цифры частного. Как и при обычном делении, подбором находится первая цифра частного, в данном случае 3. Записываем её. Теперь умножаем первую цифру делителя, 2, на 3 и результат вычитаем из первой цифры делимого. Разность 7 – 2·3=1 записываем сверху над цифрой 7, после чего зачёркиваем цифру 7 в делимом и цифру 2 в делителе – они уже «вышли» из игры. Переходим ко второй цифре делителя – 4 и т.д. Выполняя деление по определенному алгоритму, запутанному и замысловатому, получаем в частном 332. И если запись повернуть на 90 градусов, то она будет напоминать галеру.

Приложение 2

Памятка для учащихся «Алгоритмы ускоренных вычислений»