V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Прямоугольный треугольник Герона и его свойства
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Аннотация: Данная работа исследовательская. Автор предлагает разбить все множество треугольников Герона на два класса:
- Треугольники, у которых длина меньшего катета выражена четным числом
- Треугольники, у которых длина меньшего катета выражена нечетным числом.
Для каждого класса треугольников сформулированы в виде теорем их свойства, обнаруженные автором работы. Выведены формулы для расчета радиусов вписанных и описанных окружностей таких треугольников. Доказано свойство суммы квадратов медиан, проведенных из вершин острых углов. По результатам исследования и выведенных формул составлен генератор треугольников Герона (в таблицах Excel), с помощью которого можно найти все элементы любого треугольника Герона. Проведено сравнение периметров и площадей прямоугольных героновых треугольников, их необычных свойств. В приложении указаны все расчёты
Цель работы: рассмотреть различные виды прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами и площадями; выявить их свойства, провести классификацию таких треугольников.
Задачи: вывести формулы связи радиусов вписанной и описанной окружности; сравнить площади и периметры рассматриваемых треугольников.
Объект исследования: прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами
Предмет исследования: свойства героновых прямоугольных треугольников
Проблема: Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Проблема в том, чтобы классифицировать такие треугольники; вывести формулы связи для радиусов вписанной и описанной окружностей, выявить и сформулировать свойства героновых треугольников.
Гипотеза: можно так классифицировать треугольники Герона, что радиусы вписанных в них окружностей будут последовательными натуральными числами.
В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел (x,y,z) удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2. При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно, при домножении x, y и z на одно и то же натуральное число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка (x,y,z) называется примитивной, если она не может быть получена таким способом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть, x,y,z являются взаимно простыми числами. Нетрудно видеть, что в примитивной тройке (x,y,z) числа x и y имеют разную чётность, причем чётное делится на 4, а z — всегда нечётно. Любая примитивная пифагорова тройка (x,y,z) , где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде для некоторых натуральных взаимно простых чисел разной чётности, которые можно вычислить по формулам:
Наоборот, любая такая пара чисел (m,n) задаёт примитивную пифагорову тройку (1, Серпинский В.Н.)
Пифагоровы тройки известны давно. В архитектуре древних месопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.
Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3,4,5 ( 9 +16 =25). Если гипотенуза геронова треугольника является числом четным, то медиана, проведенная к гипотенузе, а, следовательно, и радиус описанной около такого треугольника окружности, также будут целыми числами.
Еще один интересный факт просматривается на приведенном рисунке:
Этот рисунок был приведен в статье на сайте Wolfram Math World [6]. Меня он очень заинтересовал: захотелось выяснить, какие значения будут принимать радиусы вписанных окружностей для других треугольников. Появилась гипотеза: можно так классифицировать треугольники Герона, что радиусы вписанных в них окружностей будут последовательными натуральными числами.
В ходе работы мной были составлены таблицы, анализируя которые я обнаружил много замечательных свойств прямоугольных треугольников Герона.
Основная часть. В начале исследования закономерности никакой не наблюдалось. Но затем, я заметил, что закономерность есть, если все треугольники Герона разбить на два класса:
- треугольники, длина меньшего катета которых выражается нечетным числом и
- треугольники, длина меньшего катета которых выражается четным числом.
Радиус описанной окружности вычислял, учитывая, что он равен половине гипотенузы. А радиус вписанной окружности из соображений, что S = , значит, , где S = (половина произведения катетов), то есть = .
Рассмотрим прямоугольные треугольники с меньшим катетом кратным трем и выберем из них те, для которых другой катет равен 4k и гипотенуза равна 5k:
(3;4;5); (6;8;10); (9;12; 15); (12;16;20)… . Для таких треугольников найдем радиусы вписанной и описанной окружностей. Получаем для (3; 4; 5) r = 1; R= 2,5.
Для (6;8;10) r = 2; R= 5. Для (9;12;15) r = 3; R= 7,5. Для (12;16;20) r = 4; R= 10….
Для 1. (3k;4k;5k) r = n; R= 2,5n, где n и k натуральные числа.
Проведем такие же расчеты для треугольников других видов (Результаты исследования приведены в виде таблиц в приложении ) :
- (5k;12k;13k): r = 2k; R = 6,5k
- (7k;24k;25k): r = k; R =12,5k
- (9k;40k;41k): r = k; R=20,5k
- (11k;60k;61k): r = 5k; R=30,5k
…………………………………………
На n-ном месте будет треугольник с меньшим катетом (2n+ 1)k.
Для него r = n, R = n(n + 1) +, n = 1, 2,3….
Таким образом, выведена формула для расчета радиусов вписанной и описанной окружностей для прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, причем меньший катет равен нечетному числу. Результат исследования можно сформулировать в виде теоремы:
Теорема 1. Если у геронова треугольника меньший катет равен нечетному числу (2n+ 1) , где n = 1,2,3,…, то
- второй катет и гипотенуза отличаются на единицу, то есть являются последовательными натуральными числами;
- радиус вписанной окружности равен r = n;
- радиус описанной окружности равен R = n(n + 1) +
- квадрат меньшего катета равен сумме гипотенузы и другого катета
Как можно использовать эту формулу?
Если известен один катет, то можно вычислить n , а зная n можно вычислить все остальные элементы прямоугольного треугольника: R вычисляем по нашей формуле. А зная R, можно вычислить гипотенузу такого треугольника, как с = 2R , а зная гипотенузу, по теореме Пифагора можно найти и второй катет.
Например, возьмем n = 33. Имеем меньший катет (2n + 1) = 67; тогда по выведенной нами формуле R = 2,5 + 33(33+1) – 2 = 1122,5, следовательно, гипотенуза равна 2 R = 2245. По теореме Пифагора найдем второй катет: Таким образом, мы получаем тройку чисел (67; 2244; 2245).
Если известен меньший катет, так же можно вычислить все остальные элементы прямоугольного треугольника. Пусть он равен, допустим, 17. Тогда из равенства 2n+ 1 = 17 найдем 2n = 16, то есть n = 8. R вычисляем по нашей формуле: R = 2,5 + 8(8+1) – 2 = 72,5. А зная R, можно вычислить гипотенузу такого треугольника, как с = 2R = 145 , а зная гипотенузу, по теореме Пифагора можно найти и второй катет: .
Таким образом, мы получаем тройку чисел (17;144;145).
То есть выведенную формулу можно использовать для нахождения новых пифагоровых троек: а = 2n + 1; в = 2n(n+1); с = 2n(n+1) +1; для вычисления радиусов вписанных и описанных окружностей для пифагоровых треугольников.
То есть, я предлагаю генератор треугольников Герона (или пифагоровых троек) первого класса:
|
n |
|||||
|
1 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2.5 |
|
… |
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь героновы треугольники с меньшим катетом, длина которого равна четному числу 2n, где n = 3,4,… Посчитаем для них радиусы вписанной и описанной окружностей. Получаем
- (6; 8; 10), r = 2; R = 5.
- (8; 15;17), r = 3; R = 8,5.
- (10; 24;26), r = 4; R = 13.
- (12; 35; 37), r = 5; R = 18,5.
- (14; 48; 50), r = 6; R = 25.
- (16; 63; 65), r = 7; R = 32,5.
- (18; 80; 82), r = 8; R = 41.
- (20; 99; 101), r = 9; R = 50,5.
- (22; 120; 122), r = 10; R = 61
…………………………………
(2n; ), r = n - 1; R = , где n = 3,4,5,….
Таким образом, выведена формула для расчета радиусов вписанной и описанной окружностей для прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, причем меньший катет равен четному числу: 2n, где n=3,4,5… . Результат исследования можно сформулировать в виде теоремы:
Теорема 2. Если у геронова треугольника меньший катет выражается числом четным 2n, где n = 3,4,5,…, то
второй катет и гипотенуза отличаются на два;
радиус вписанной окружности равен r = n - 1;
радиус описанной окружности равен R = , где n = 3,4,5,….
Как можно использовать эту формулу?
Если известно n , можно вычислить все остальные элементы прямоугольного треугольника. R вычисляем по нашей формуле. А зная R, можно вычислить гипотенузу такого треугольника, как с = 2R , а зная гипотенузу, по теореме Пифагора можно найти и второй катет: а = 2n; в . Получаем генератор героновых треугольников второго класса:
|
n |
|||||
|
3 |
6 |
8 |
10 |
2 |
5 |
|
… |
|
|
|
|
|
Кроме того, исследуя такие треугольники, я пришел к выводу, что если гипотенуза выражается числом четным , то и сумма квадратов медиан, проведенных из вершин острых углов, будет числом целым.
Доказательство.
|
||||
|
||||
|
|
|
АА1 = m1; BB1= m2 . Катет АС лежит в треугольнике
АСА1 , по теореме Пифагора
Катет ВС лежит в треугольнике ВСВ1 , по теореме Пифагора . Получается система уравнений. Сложим эти два уравнения и учтем, что по теореме Пифагора .
Получаем:
; .
По условию с число чётное, то есть, равно 2k, например. Тогда , следовательно, , так как k число целое, то и
Заключение.
В работе проведена классификация прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами и площадями по их свойствам.
Выявлено, при каких условиях сумма квадратов медиан тоже будет целым числом.
Выведены формулы для расчета радиусов вписанной и описанной окружностей исследуемых треугольников.
Найдены формулы расчета элементов исследуемых треугольников с учетом предложенной классификации.
Так как длины сторон треугольника Герона удовлетворяют условию x2 + y2 = z2, то можно считать, что составлен генератор пифагоровых чисел, о которых шла речь во введении.
Значения длин сторон треугольников с «четным» меньшим катетом совпадают с примитивной пифагоровой тройкой , описанной в книге Серпинского В.Н. Кроме того, проанализированы и сформулированы свойства таких треугольников:
- квадрат меньшего катета равен сумме гипотенузы и большего катета (для треугольников с нечетным меньшим катетом); (приложение1)
- периметр геронова треугольника всегда является четным числом;
- площадь геронова треугольника всегда кратна 6;(приложения 1-13)
- существует геронов треугольник со сторонами и площадью, выраженными последовательными числами 3;4;5;6 соответственно;(приложение 14)
- треугольник 3;4;5 и кратные ему являются треугольниками со сторонами, образующими арифметическую прогрессию; (Приложение 1)
- существует треугольник Герона, площадь которого равна полупериметру этого треугольника (3;4;5) - площадь равна 6, периметр 12; (приложения 14, 15)
- существуют героновы треугольники с площадью, равной периметру – это (5;12;13) и (6;8;10); (приложения 14,15)
- не существует равнобедренных героновых треугольников;
- существуют героновы треугольники, для которых квадрат периметра кратен площади: (3;4;5) и ему кратные р2/s =24; (5;12;13) и ему кратные р2/s=30; (9;40;41) и ему кратные р2/s=45 (приложения 14, 15)
Список литературы
- В. Н. Серпинский Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959. — 111 с.
- В. Н Серпинский О решении уравнений в целых числах. М., Физматгиз,1961 (пер. с польского).
- Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, pp. 57-59, 1987.
- Горин Е.А. Пифагоровы тройки, включающие степени простых. Тезисы 4-й межд. конф. «Совр. проблемы теории чисел и ее прил.»,Тула, 10–15 сент. 2001 г., с. 47–48.
- Weisstein, Eric W. Пифагорова тройка(англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Приложение1 Тройка(3k;4k;5k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2,5 |
|
k =2 |
6 |
8 |
10 |
2 |
5 |
|
k =3 |
9 |
12 |
15 |
3 |
7,5 |
|
k =4 |
12 |
16 |
20 |
4 |
10 |
|
k =5 |
15 |
20 |
25 |
5 |
12,5 |
|
k =6 |
18 |
24 |
30 |
6 |
15 |
|
k=7 |
21 |
28 |
35 |
7 |
17,5 |
|
k=8 |
24 |
32 |
40 |
8 |
20 |
|
k=9 |
27 |
36 |
45 |
9 |
22,5 |
|
k=10 |
30 |
40 |
50 |
10 |
25 |
|
k=11 |
33 |
44 |
55 |
11 |
27,5 |
|
k=12 |
36 |
48 |
60 |
12 |
30 |
|
k=13 |
39 |
52 |
65 |
13 |
32,5 |
|
k=14 |
42 |
56 |
70 |
14 |
35 |
|
k=15 |
45 |
60 |
75 |
15 |
37,5 |
|
k=16 |
48 |
64 |
80 |
16 |
40 |
|
k=17 |
51 |
68 |
85 |
17 |
42,5 |
|
k=18 |
54 |
72 |
90 |
18 |
45 |
|
k=19 |
57 |
76 |
95 |
19 |
47,5 |
|
Вывод: |
3k |
4k |
5k |
k |
2,5k |
Формула связи: Rk=rk+1,5k
Приложение2 Тройка (6k;8k;10k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
6 |
8 |
10 |
2 |
5 |
|
k =2 |
12 |
16 |
20 |
4 |
10 |
|
k =3 |
18 |
24 |
30 |
6 |
15 |
|
k =4 |
24 |
32 |
40 |
8 |
20 |
|
k =5 |
30 |
40 |
50 |
10 |
25 |
|
k =6 |
36 |
48 |
60 |
12 |
30 |
|
k=7 |
42 |
56 |
70 |
14 |
35 |
|
k=8 |
48 |
64 |
80 |
16 |
40 |
|
k=9 |
54 |
72 |
90 |
18 |
45 |
|
k=10 |
60 |
80 |
100 |
20 |
50 |
|
k=11 |
66 |
88 |
110 |
22 |
55 |
|
k=12 |
72 |
96 |
120 |
24 |
60 |
|
k=13 |
78 |
104 |
130 |
26 |
65 |
|
k=14 |
84 |
112 |
140 |
28 |
70 |
|
k=15 |
90 |
120 |
150 |
30 |
75 |
|
k=16 |
96 |
128 |
160 |
32 |
80 |
|
k=17 |
102 |
136 |
170 |
34 |
85 |
|
k=18 |
108 |
144 |
180 |
36 |
90 |
|
k=19 |
114 |
152 |
190 |
38 |
95 |
|
Вывод: |
6k |
8k |
10k |
2k |
5k |
Формула связи: Rk=rk+3k
Приложение 4 Тройка (8k;15k;17k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
8 |
15 |
17 |
3 |
8,5 |
|
k =2 |
16 |
30 |
34 |
6 |
17 |
|
k =3 |
24 |
45 |
51 |
9 |
25,5 |
|
k =4 |
32 |
60 |
68 |
12 |
34 |
|
k =5 |
40 |
75 |
85 |
15 |
42,5 |
|
k =6 |
48 |
90 |
102 |
18 |
51 |
|
k=7 |
56 |
105 |
119 |
21 |
59,5 |
|
k=8 |
64 |
120 |
136 |
24 |
68 |
|
k=9 |
72 |
135 |
153 |
27 |
76,5 |
|
k=10 |
80 |
150 |
170 |
30 |
85 |
|
k=11 |
88 |
165 |
187 |
33 |
93,5 |
|
k=12 |
96 |
180 |
204 |
36 |
102 |
|
k=13 |
104 |
195 |
221 |
39 |
110,5 |
|
k=14 |
112 |
210 |
238 |
42 |
119 |
|
k=15 |
120 |
225 |
255 |
45 |
127,5 |
|
k=16 |
128 |
240 |
272 |
48 |
136 |
|
k=17 |
136 |
255 |
289 |
51 |
144,5 |
|
k=18 |
144 |
270 |
306 |
54 |
153 |
|
k=19 |
152 |
285 |
323 |
57 |
161,5 |
|
Вывод: |
8k |
15k |
17k |
3k |
8,5k |
Формула связи: Rk=rk+5,5k
Приложение3 Тройка (10k;24k;26k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
10 |
24 |
26 |
4 |
13 |
|
k =2 |
20 |
48 |
52 |
8 |
26 |
|
k =3 |
30 |
72 |
78 |
12 |
39 |
|
k =4 |
40 |
96 |
104 |
16 |
52 |
|
k =5 |
50 |
120 |
130 |
20 |
65 |
|
k =6 |
60 |
144 |
156 |
24 |
78 |
|
k=7 |
70 |
168 |
182 |
28 |
91 |
|
k=8 |
80 |
192 |
208 |
32 |
104 |
|
k=9 |
90 |
216 |
234 |
36 |
117 |
|
k=10 |
100 |
240 |
260 |
40 |
130 |
|
k=11 |
110 |
264 |
286 |
44 |
143 |
|
k=12 |
120 |
288 |
312 |
48 |
156 |
|
k=13 |
130 |
312 |
338 |
52 |
169 |
|
k=14 |
140 |
336 |
364 |
56 |
182 |
|
k=15 |
150 |
360 |
390 |
60 |
195 |
|
k=16 |
160 |
384 |
416 |
64 |
208 |
|
k=17 |
170 |
408 |
442 |
68 |
221 |
|
k=18 |
180 |
432 |
468 |
72 |
234 |
|
k=19 |
190 |
456 |
494 |
76 |
247 |
|
Вывод: |
10k |
24k |
26k |
4k |
13k |
Формула связи: Rk=rk+9k
Приложение 5 Тройка (14k;48k;50k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
14 |
48 |
50 |
6 |
25 |
|
k =2 |
28 |
96 |
100 |
12 |
50 |
|
k =3 |
42 |
144 |
150 |
18 |
75 |
|
k =4 |
56 |
192 |
200 |
24 |
100 |
|
k =5 |
70 |
240 |
250 |
30 |
125 |
|
k =6 |
84 |
288 |
300 |
36 |
150 |
|
k=7 |
98 |
336 |
350 |
42 |
175 |
|
k=8 |
112 |
384 |
400 |
48 |
200 |
|
k=9 |
126 |
432 |
450 |
54 |
225 |
|
k=10 |
140 |
480 |
500 |
60 |
250 |
|
k=11 |
154 |
528 |
550 |
6 |
275 |
|
k=12 |
168 |
576 |
600 |
72 |
300 |
|
k=13 |
182 |
624 |
650 |
78 |
325 |
|
k=14 |
196 |
672 |
700 |
84 |
350 |
|
k=15 |
210 |
720 |
750 |
90 |
375 |
|
k=16 |
224 |
768 |
800 |
96 |
400 |
|
k=17 |
238 |
816 |
850 |
102 |
425 |
|
k=18 |
252 |
864 |
900 |
108 |
450 |
|
k=19 |
266 |
912 |
950 |
114 |
475 |
|
Вывод: |
14k |
48k |
50k |
6k |
25k |
Формула связи: Rk=rk+19k
Приложение 6 Тройка (12k;35k;37k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
12 |
35 |
37 |
5 |
18,5 |
|
k =2 |
24 |
70 |
74 |
10 |
37 |
|
k =3 |
36 |
105 |
111 |
15 |
55,5 |
|
k =4 |
48 |
140 |
148 |
20 |
74 |
|
k =5 |
60 |
175 |
185 |
25 |
92,5 |
|
k =6 |
72 |
210 |
222 |
30 |
111 |
|
k=7 |
84 |
245 |
259 |
35 |
129,5 |
|
k=8 |
96 |
280 |
296 |
40 |
148 |
|
k=9 |
108 |
315 |
333 |
45 |
166,5 |
|
k=10 |
120 |
350 |
370 |
50 |
185 |
|
k=11 |
132 |
385 |
407 |
55 |
203,5 |
|
k=12 |
144 |
420 |
444 |
60 |
222 |
|
k=13 |
156 |
455 |
481 |
65 |
240,5 |
|
k=14 |
168 |
490 |
518 |
70 |
259 |
|
k=15 |
180 |
525 |
555 |
75 |
277,5 |
|
k=16 |
192 |
560 |
592 |
80 |
296 |
|
k=17 |
204 |
595 |
629 |
85 |
314,5 |
|
k=18 |
216 |
630 |
666 |
90 |
333 |
|
k=19 |
228 |
665 |
703 |
95 |
351,5 |
|
Вывод: |
12k |
35k |
37k |
5k |
18,5k |
Формула связи: Rk=rk+13,5k
Приложение 8 Тройка (16k;63k;65k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
16 |
63 |
65 |
7 |
32,5 |
|
k =2 |
32 |
126 |
130 |
14 |
65 |
|
k =3 |
48 |
189 |
195 |
21 |
97,5 |
|
k =4 |
64 |
252 |
260 |
28 |
130 |
|
k =5 |
80 |
315 |
325 |
35 |
162,5 |
|
k =6 |
96 |
378 |
390 |
42 |
195 |
|
k=7 |
112 |
441 |
455 |
49 |
227,5 |
|
k=8 |
128 |
504 |
520 |
56 |
260 |
|
k=9 |
144 |
567 |
585 |
63 |
292,5 |
|
k=10 |
160 |
630 |
650 |
70 |
325 |
|
k=11 |
176 |
693 |
715 |
77 |
357,5 |
|
k=12 |
192 |
756 |
780 |
84 |
390 |
|
k=13 |
208 |
819 |
845 |
91 |
422,5 |
|
k=14 |
224 |
882 |
910 |
98 |
455 |
|
k=15 |
240 |
945 |
975 |
105 |
487,5 |
|
k=16 |
256 |
1008 |
1040 |
112 |
520 |
|
k=17 |
272 |
1071 |
1105 |
119 |
552,5 |
|
k=18 |
288 |
1134 |
1170 |
126 |
585 |
|
k=19 |
304 |
1197 |
1235 |
133 |
617,5 |
|
Вывод: |
16k |
63k |
65k |
7k |
32,5k |
Формула связи: Rk=rk+25,5k
Приложение 7 Тройка (18k;80k;82k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
18 |
80 |
82 |
8 |
41 |
|
k =2 |
36 |
160 |
164 |
16 |
82 |
|
k =3 |
54 |
240 |
246 |
24 |
123 |
|
k =4 |
72 |
320 |
328 |
32 |
164 |
|
k =5 |
90 |
400 |
410 |
40 |
205 |
|
k =6 |
108 |
480 |
492 |
48 |
246 |
|
k=7 |
126 |
560 |
574 |
56 |
287 |
|
k=8 |
144 |
640 |
656 |
64 |
328 |
|
k=9 |
162 |
720 |
738 |
72 |
369 |
|
k=10 |
180 |
800 |
820 |
80 |
410 |
|
k=11 |
198 |
880 |
902 |
88 |
451 |
|
k=12 |
216 |
960 |
984 |
96 |
492 |
|
k=13 |
234 |
1040 |
1066 |
104 |
533 |
|
k=14 |
252 |
1120 |
1148 |
112 |
574 |
|
k=15 |
270 |
1200 |
1230 |
120 |
615 |
|
k=16 |
288 |
1280 |
1312 |
128 |
656 |
|
k=17 |
306 |
1360 |
1396 |
136 |
697 |
|
k=18 |
324 |
1440 |
1476 |
144 |
738 |
|
k=19 |
342 |
1520 |
1558 |
152 |
779 |
|
Вывод: |
18k |
80k |
82k |
8k |
41k |
Формула связи: Rk=rk+33
Приложение 9 Тройка (20k;99k;101k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
20 |
99 |
101 |
9 |
50,5 |
|
k =2 |
40 |
198 |
202 |
18 |
101 |
|
k =3 |
60 |
297 |
303 |
27 |
151,5 |
|
k =4 |
80 |
396 |
404 |
36 |
202 |
|
k =5 |
100 |
495 |
505 |
45 |
252,5 |
|
k =6 |
120 |
594 |
606 |
54 |
303 |
|
k=7 |
140 |
693 |
707 |
63 |
353,5 |
|
k=8 |
160 |
792 |
808 |
72 |
404 |
|
k=9 |
180 |
891 |
909 |
81 |
454,5 |
|
k=10 |
200 |
990 |
1010 |
90 |
505 |
|
k=11 |
220 |
1089 |
1111 |
99 |
555,5 |
|
k=12 |
240 |
1188 |
1212 |
108 |
606 |
|
k=13 |
260 |
1287 |
1313 |
117 |
656,5 |
|
k=14 |
280 |
1386 |
1414 |
126 |
707 |
|
k=15 |
300 |
1485 |
1515 |
135 |
757,5 |
|
k=16 |
320 |
1584 |
1616 |
144 |
808 |
|
k=17 |
340 |
1683 |
1717 |
153 |
858,5 |
|
k=18 |
360 |
1782 |
1818 |
162 |
909 |
|
k=19 |
380 |
1881 |
1919 |
171 |
959,5 |
|
Вывод: |
20k |
99k |
101k |
9k |
50,5 |
Формула связи: Rk=rk+41,5k
Приложение 9 Тройка (22k;120k;122k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
22 |
120 |
122 |
10 |
61 |
|
k =2 |
44 |
240 |
244 |
20 |
122 |
|
k =3 |
66 |
360 |
366 |
30 |
183 |
|
k =4 |
88 |
480 |
488 |
40 |
244 |
|
k =5 |
110 |
600 |
610 |
50 |
305 |
|
k =6 |
132 |
720 |
732 |
60 |
366 |
|
k=7 |
154 |
840 |
854 |
70 |
427 |
|
k=8 |
176 |
960 |
976 |
80 |
488 |
|
k=9 |
198 |
1080 |
1098 |
90 |
549 |
|
k=10 |
220 |
1200 |
1220 |
100 |
610 |
|
k=11 |
242 |
1320 |
1342 |
110 |
671 |
|
k=12 |
264 |
1400 |
1464 |
120 |
732 |
|
k=13 |
286 |
1560 |
1586 |
130 |
793 |
|
k=14 |
308 |
1680 |
1708 |
140 |
854 |
|
k=15 |
330 |
1800 |
1830 |
150 |
915 |
|
k=16 |
352 |
1920 |
1952 |
160 |
976 |
|
k=17 |
374 |
2040 |
2074 |
170 |
1037 |
|
k=18 |
396 |
2160 |
2196 |
180 |
1098 |
|
k=19 |
418 |
2280 |
2318 |
190 |
1159 |
|
Вывод: |
22k |
120k |
122k |
10k |
61k |
Формула связи: Rk=rk+51
Приложение 11 Тройка (5k;12k;13k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
5 |
12 |
13 |
2 |
6,5 |
|
k =2 |
10 |
24 |
26 |
4 |
13 |
|
k =3 |
15 |
36 |
39 |
6 |
19,5 |
|
k =4 |
20 |
48 |
52 |
8 |
26 |
|
k =5 |
25 |
60 |
65 |
10 |
32,5 |
|
k =6 |
30 |
72 |
78 |
12 |
39 |
|
k=7 |
35 |
84 |
91 |
14 |
45,5 |
|
k=8 |
40 |
96 |
104 |
16 |
52 |
|
k=9 |
45 |
108 |
117 |
18 |
58,5 |
|
k=10 |
50 |
120 |
130 |
20 |
65 |
|
k=11 |
55 |
132 |
143 |
22 |
71,5 |
|
k=12 |
60 |
144 |
156 |
24 |
78 |
|
k=13 |
65 |
156 |
169 |
26 |
84,5 |
|
k=14 |
70 |
168 |
182 |
28 |
91 |
|
k=15 |
75 |
180 |
195 |
30 |
97,5 |
|
k=16 |
80 |
192 |
208 |
32 |
104 |
|
k=17 |
85 |
204 |
221 |
34 |
110,5 |
|
k=18 |
90 |
216 |
234 |
36 |
117 |
|
k=19 |
95 |
228 |
247 |
38 |
123,5 |
|
Вывод: |
5k |
12k |
13k |
2k |
6,5k |
Формула связи: Rk=rk+4,5k
Приложение 10 Тройка (7k;24k;25k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
7 |
24 |
25 |
3 |
12,5 |
|
k =2 |
14 |
48 |
50 |
6 |
25 |
|
k =3 |
21 |
72 |
75 |
9 |
37,5 |
|
k =4 |
28 |
96 |
100 |
12 |
50 |
|
k =5 |
35 |
120 |
125 |
15 |
62,5 |
|
k =6 |
42 |
144 |
150 |
18 |
75 |
|
k=7 |
49 |
168 |
175 |
21 |
87,5 |
|
k=8 |
56 |
192 |
200 |
24 |
100 |
|
k=9 |
63 |
216 |
225 |
27 |
112,5 |
|
k=10 |
70 |
240 |
250 |
30 |
125 |
|
k=11 |
77 |
264 |
275 |
33 |
137,5 |
|
k=12 |
84 |
288 |
300 |
36 |
150 |
|
k=13 |
91 |
312 |
325 |
39 |
162,5 |
|
k=14 |
98 |
336 |
350 |
42 |
175 |
|
k=15 |
105 |
360 |
375 |
45 |
187,5 |
|
k=16 |
112 |
384 |
400 |
48 |
200 |
|
k=17 |
119 |
408 |
425 |
52 |
212,5 |
|
k=18 |
126 |
432 |
450 |
54 |
225 |
|
k=19 |
133 |
456 |
475 |
57 |
237,5 |
|
Вывод: |
7k |
24k |
25k |
3k |
12,5k |
Формула связи: Rk=rk+9,5k
Приложение 12 Тройка (9k;40k;41k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
9 |
40 |
41 |
4 |
20,5 |
|
k =2 |
18 |
80 |
82 |
8 |
41 |
|
k =3 |
27 |
120 |
123 |
12 |
61,5 |
|
k =4 |
36 |
160 |
164 |
16 |
82 |
|
k =5 |
45 |
200 |
205 |
20 |
102,5 |
|
k =6 |
54 |
240 |
246 |
24 |
123 |
|
k=7 |
63 |
280 |
287 |
28 |
143,5 |
|
k=8 |
72 |
320 |
328 |
32 |
164 |
|
k=9 |
81 |
360 |
369 |
36 |
184,5 |
|
k=10 |
90 |
400 |
410 |
40 |
205 |
|
k=11 |
99 |
440 |
451 |
44 |
225,5 |
|
k=12 |
108 |
480 |
492 |
48 |
246 |
|
k=13 |
117 |
520 |
533 |
52 |
266,5 |
|
k=14 |
126 |
560 |
574 |
46 |
287 |
|
k=15 |
135 |
600 |
615 |
60 |
307,5 |
|
k=16 |
144 |
640 |
656 |
64 |
328 |
|
k=17 |
153 |
680 |
697 |
68 |
348,5 |
|
k=18 |
162 |
720 |
738 |
72 |
369 |
|
k=19 |
171 |
760 |
779 |
76 |
389,5 |
|
Вывод: |
9k |
40k |
41k |
4k |
20,5k |
Формула связи: Rk=rk+16,5k
Приложение 13 Тройка (11k;60k;61k)
|
|
Меньший катет |
Больший катет |
Гипотенуза |
r |
R |
|
k =1 |
11 |
60 |
61 |
5 |
30.5 |
|
k =2 |
22 |
120 |
122 |
10 |
61 |
|
k =3 |
33 |
180 |
183 |
15 |
91,5 |
|
k =4 |
44 |
240 |
244 |
20 |
122 |
|
k =5 |
55 |
300 |
305 |
25 |
152,5 |
|
k =6 |
66 |
360 |
366 |
30 |
183 |
|
k=7 |
77 |
420 |
427 |
35 |
213,5 |
|
k=8 |
88 |
480 |
488 |
40 |
244 |
|
k=9 |
99 |
540 |
549 |
45 |
274,5 |
|
k=10 |
110 |
600 |
610 |
50 |
305 |
|
k=11 |
121 |
660 |
671 |
55 |
335,5 |
|
k=12 |
132 |
720 |
732 |
60 |
366 |
|
k=13 |
143 |
780 |
793 |
65 |
396,5 |
|
k=14 |
154 |
840 |
854 |
70 |
427 |
|
k=15 |
165 |
900 |
915 |
75 |
457,5 |
|
k=16 |
176 |
960 |
976 |
80 |
488 |
|
k=17 |
187 |
1020 |
1037 |
85 |
518,5 |
|
k=18 |
198 |
1080 |
1098 |
90 |
549 |
|
k=19 |
209 |
1140 |
1159 |
95 |
579,5 |
|
Вывод: |
11k |
60k |
61k |
5k |
30,5k |
Формула связи : Rk=rk+25,5k
Приложение 14 Сравнение периметров и площадей
|
№ |
a |
b |
c |
r |
R |
S |
p |
P 2:S |
|
1 |
3 |
4 |
5 |
1 |
2.5 |
6 |
12 |
24 |
|
2 |
5 |
12 |
13 |
2 |
6.5 |
30 |
30 |
30 |
|
3 |
7 |
24 |
25 |
3 |
12.5 |
84 |
56 |
37, 3… |
|
4 |
9 |
40 |
41 |
4 |
20.5 |
180 |
90 |
45 |
|
5 |
11 |
60 |
61 |
5 |
30.5 |
330 |
132 |
52,8 |
|
6 |
13 |
84 |
85 |
6 |
42.5 |
546 |
182 |
60,6… |
|
7 |
15 |
112 |
113 |
7 |
56.5 |
840 |
240 |
68,57… |
|
8 |
17 |
144 |
145 |
8 |
72.5 |
1224 |
306 |
76,5 |
|
9 |
19 |
180 |
181 |
9 |
90.5 |
1710 |
380 |
84,4… |
|
10 |
21 |
220 |
221 |
10 |
110.5 |
2310 |
462 |
92,4 |
|
11 |
23 |
264 |
265 |
11 |
132.5 |
3036 |
552 |
100,36… |
|
12 |
25 |
312 |
313 |
12 |
156.5 |
3900 |
650 |
108,3… |
|
13 |
27 |
364 |
365 |
13 |
182.5 |
4914 |
756 |
116,3… |
|
14 |
29 |
420 |
421 |
14 |
210.5 |
6090 |
870 |
124,28… |
|
15 |
31 |
480 |
481 |
15 |
240.5 |
7440 |
992 |
132,26… |
|
16 |
33 |
544 |
545 |
16 |
272.5 |
8976 |
|
|
|
17 |
35 |
612 |
613 |
17 |
306.5 |
10710 |
|
|
|
18 |
37 |
684 |
685 |
18 |
342.5 |
12654 |
|
|
|
19 |
39 |
760 |
761 |
19 |
380.5 |
14820 |
|
|
Приложение 15 Сравнение периметров и площадей
|
№ |
a |
b |
c |
r |
R |
S |
р |
|
|
1 |
6 |
8 |
10 |
2 |
5 |
24 |
24 |
24 |
|
2 |
8 |
15 |
17 |
3 |
8.5 |
60 |
40 |
|
|
3 |
10 |
24 |
26 |
4 |
13 |
120 |
60 |
30 |
|
4 |
12 |
35 |
37 |
5 |
18,5 |
210 |
84 |
|
|
5 |
14 |
48 |
50 |
6 |
25 |
336 |
112 |
|
|
6 |
16 |
63 |
65 |
7 |
32.5 |
504 |
144 |
|
|
7 |
18 |
80 |
82 |
8 |
41 |
720 |
180 |
45 |
|
8 |
20 |
99 |
101 |
9 |
50.5 |
990 |
220 |
|
|
9 |
22 |
120 |
122 |
10 |
61 |
1320 |
264 |
|
|
10 |
24 |
143 |
145 |
11 |
72.5 |
1716 |
312 |
|
|
11 |
26 |
168 |
170 |
12 |
85 |
2184 |
364 |
|
|
12 |
28 |
195 |
197 |
13 |
98.5 |
2730 |
420 |
|
|
13 |
30 |
224 |
226 |
14 |
113 |
3360 |
480 |
|
|
14 |
32 |
255 |
257 |
15 |
128.5 |
4080 |
544 |
|
|
15 |
34 |
288 |
290 |
16 |
145 |
4896 |
612 |
|
|
16 |
36 |
323 |
325 |
17 |
162.5 |
5814 |
684 |
|
|
17 |
38 |
360 |
362 |
18 |
181 |
6840 |
760 |
|
|
18 |
40 |
399 |
401 |
19 |
200.5 |
7980 |
840 |
|
|
19 |
42 |
440 |
442 |
20 |
221 |
9240 |
924 |
|