V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Старинные задачи через века и страны
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
введение
Выбор темы данного проекта можно объяснить тем, что люди имеют большой интерес к задачам древности, способам их решения. Это позволяет показать связь истории и математики.
В древние времена нашим предкам было необходимо считать, сравнивать, узнавать, кто больше принес домой добычи и сколько дать еды каждому человеку в семье. Знать сколько требуется для заготовки еды, посуды и многого другого. И для этого древние люди научились считать , а затем решать задачи для нахождения какой-либо информации. До нашего времени сохранились некоторые задачи.
Объект исследования: старинные задачи
Цель моей работы: подобрать задачи древности, подготовить презентацию, провести занятие для одноклассников.
Для того, чтобы добиться цели работы, я поставила перед собой задачи:
Узнать первоисточники.
Наглядно продемонстрировать изучаемый предмет.
Произвести опрос одноклассников.
Провести мастер-класс.
Сделать соответствующие выводы.
Старинные задачи через века и страны
Задачи Древнего Египта
Наиболее распространенные письменные математические тексты датируются примерно началом II тыс. до н.э. Около пяти тысяч лет назад при фараоне Джосере был призван богом мудрости великий врачеватель, государственный деятель и первый известный нам по имени математик Имхотеп.
Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали на стенах храмов или на папирусах.
Задачи из папируса Ахмеса:
Задача 1.Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это так называемый папирус писца XVIII-XVII вв. до н.э. Ахмеса. Папирус имеет размер 5,25 м х 33 см и содержит 84 задачи. Папирус был приобретен в 1858 году Г. Райндом и изучен впервые профессором А. Эйзенлором в 1877 году. Другой папирус имеет размер 5,44 м х 8 см и включает 25 задач. Он был приобретен русским востоковедом В.С. Голенищевым в 1893 году и в настоящее время принадлежит Московскому музею изобразительных искусств имени А.С. Пушкина.
Задача 2. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?
Задача 3. Найти приближенное значение для числа π, приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга.
Задачи Древней Греции
Если от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицы, то в Древней Греции рождается наука математика, основанная на строгих доказательствах. Этот важнейший скачок в истории науки относится к VI-V вв. до н. э.
Задача Фалеса:
Начало греческой науки прожила ионийская школа натурфилософии. Ее основателем был отец греческой науки Фалес Милетский (ок. 625-547 до н. э.) – купец, политический деятель, философ, астроном и математик. Первоосновой всего сущего Фалес считал воду («Вода есть начало всего; все из нее происходит и все в нее превращается»). В математике Фалес доказал несколько важных теорем, предложил способы вычисления высоты фигуры по длине ее тени и определения расстояния до корабля на море.
Задача 1. Определить расстояние от берега до корабля на море.
Задача о школе Пифагора
Первое построение геометрии как дедуктивной науки принадлежит Пифагору Самосскому (ок. 570 - ок. 500 до н. э.) – древнегреческому математику и философу. В молодости Пифагор путешествовал по Египту и Вавилону, изучая мудрость жрецов. Около 530 г. до н.э. он переехал в Кротон (Южная Италия), где основал знаменитый пифагорейский союз (школу). Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). В их школе возникло представление о шарообразности Земли.
Задача: Тиран острова СамосПоликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним еще трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколько учеников было у Пифагора?
Задача Евклида
В III в. до н. э. древнегреческая геометрия достигла своего апогея в работах знаменитого математика Евклида, написавшего 13 книг, объединенных общим названием «Начала». В трудах Евклида логическая сторона геометрии была доведена до очень высокого уровня.
Задача 1. Мул и осел под вьюком по дороге с мешкам шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, огеометр, поведай нам это.
Задача 2. На данном отрезке AB построить равносторонний треугольник.
Задача 3. Разделить произвольный угол на две равные части.
Задачи Древнего Китая
Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ относится к началу II в. до н. э. На обломках посуды XIII-XII вв. до н. э. имеются изображения геометрических орнаментов с правильными 5-, 7-, 8-, 9-угольниками.
К эпохе, когда «расцвели сто цветов, соперничали сто школ ученых», относится деятельность Конфуция (551-479 до н. э.), выработавшего основы учения о «добродетельном поведении». В это время появились первые книги по математике, которые составили основы «Математики в девяти книгах» (III в. до н. э.). Для забвения прежних традиций император ЦиньШихуанди в 221 г. до н. э. приказал сжечь все книги. Но уже вскоре, во II в. до н. э., началось восстановление древних книг.
Среди важнейших достижений китайской математики отметим: правило двух ложных положений, введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения систем линейных уравнений, алгебраических уравнений высших степеней и извлечение корней любой степени.
Задача Ло-шу
К глубокой древности относится возникновение магических квадратов, т.е. квадратных таблиц натуральных чисел (nхn), имеющих одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям. Наиболее ранние сведения о магических квадратах содержатся, по-видимому, в древних китайских книгах V-VI вв. до н. э. Самым «старым» из дошедших до нас древних магических квадратов является таблица Ло-шу (2200 г. до н. э.). Название «магические» (волшебные, таинственные) квадраты получили от арабов. Люди верили, что магические квадраты обладают чудесными свойствами, и использовали их как талисманы.
Задача: Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3х3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу 15.
Задачи Древней Индии
В долине реки Инда еще в III тыс. до н. э. существовала развитая цивилизация, одним из центров которой был Мохендждо-Даро. В I тыс. до н. э. возникли рабовладельческие государства. Борьба за власть в этих государствах велась между воинами-кшатриями и священниками-брахманами. В это же время появляются священные книги брахманов «Веды» (в переводе с санскритского языка «Знания»).
В IV в. до н. э. большая часть Северной Индии была завоевана Александром Македонским (356-323 до н. э.). Примерно в это же время были созданы астрономо-математические труды сиддханты (учения). Одна из важнейших сиддхант была написана Брахмагуптой (ок. 598-660) около 628 г., состояла из 20 книг и называлась «Брахма-спухта-сиддханта» («Усовершенствованное учение Брахмы»). БхаскараII в XII в. написал трактат «Сидханта-широмани» («Венец учения») в четырех частях, из которых стихотворная «Лилавати» («Прекрасная») посвящена арифметике, а «Биджагонита» - алгебре. В XIII в. этот трактат был переписан на полоски пальмовых листьев.
Творчество индийских математиков оказало огромное влияние на развитие арифметики (индийская десятичная позиционная нумерация), алгебры (метод рассеивания для решения неопределенных уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными) и тригонометрии (бесконечные ряды для синуса, косинуса и арктангенса). Наиболее ранние сведения о математике в Древней Индии относятся к эпохе составления священных религиозно-философских книг «Веды».
Задача о разрезании шахматной доски
В старинной легенде о четырех алмазах рассказывается о восточном властелине. Он был искусным игроком в шахматы и за всю жизнь проиграл лишь четыре раза. В честь мудрецов-победителей властелин приказал инкрустировать алмазами четыре поля доски, на которых был заматован его король. Но сын после смерти властелина решил отомстить мудрецам за их победы и потребовал разделить шахматную доску на четыре одинаковые части с одним алмазом в каждой. Мудрецы выполнили требование, разрезав доску только по границам между вертикалями и горизонталям доски. Однако жестокий деспот, как гласит легенда, все равно казнил каждого мудреца, используя его часть доски с алмазом.
Задача: Как мудрецы разделили шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые части с одним алмазом в каждой?
Задача БхаскарыI
Учеником Ариабхаты был БхаскараI (VI в.). Неопубликованная рукопись по математике БхаскарыI относится к 522 г. Он придал слоговому обозначению чисел позиционность, ввел слог для обозначения пустого разряда. Один и тот же слог мог служить в данном числе для обозначения 7, 70, 700 и т.д.
Задача: Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5, и 6 остаток 1 и, кроме того, делящиеся на 7.
Нестареющие Отечественные задачи
Первые сведения о развитии математики на Руси относятся к IX-XII вв. (древнерусская нумерация, метрология, первые системы дробей и др.). В Древней Руси времени Ярослава Мудрого (978-1054) уже существовали общеобразовательные школы. Ценные сведения о математических знаниях содержатся в памятнике древнерусского права «Русская Правда» и в памятниках духовного содержания: «Книга святых тайн Еноха», «Шестоднев», «Толковая палея» и др.
В первых рукописях создается самобытная русская математическая терминология. Сохранилась рукопись XVII в. «Книга сошному письму», содержащая «статью», посвященную вычислению налога с земельной площади в «сохах». Для расчета «сошного письма» применялись русские счеты. Арифметические рукописи в XVI в. переписывались и в XVII в. и мели традиционное название «Книга рекома по-гречески арифметика, а по-немецки алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость.». Первые русские книги по математике XVI-XVII вв. были вытеснены замечательной книгой Л. Ф. Магницкого «Арифметика» (1703).
Творчество великого Леонардо Эйлера (1707-1783), много лет проработавшего в России, охватил практически все области физико-математических знаний. Именно в XVIII в. было положено начало в формировании русской математической школы. В XIX в. славу нашей академии принесли блестящие открытия в теории чисел, теории вероятностей и математическом анализе крупнейшего отечественного ученого П. Л. Чебышева (1821-1894).
Задачи из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого
Русский математик и педагог Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739) в 1703 году опубликовал свою знаменитую книгу «Арифметика, сиречь наука числительная». Эта книга была до середины XVIII в. основным учебником по математике в России. «Арифметика» Магницкого поистине была энциклопедией математических знаний и сыграла большую роль в их распространении. М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого «вратами учености» наряду со «Славянской грамматикой» (1643) МелентияСмотрицкого.
Задача: Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертная часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников.
Задачи Леонарда Эйлера
Именем Леонардо Эйлера (1707-1783) в современной математике названы: критерий, метод, многочлены, подстановки, постоянная, преобразование, произведение, ряд, теоремы, тождества, уравнения, формулы, функции, характеристика, интегралы, углы.числа и т.п. Гений XVIII в. – Леонард Эйлер – обрел в России вторую родину и проработал в Петербургской академии наук более 30 лет. Французский математик П. С. Лапсас советовал: «Читайте, читайте Эйлера – он учитель всех нас».
Задача: На реке Преголя, где стоит город Калининград (б. Кёнигсберг), имеется семь мостов. Возможно ли пройти по всем мостам, не вступая ни на один из них дважды?
Задача, предложенная Ивану Петрову
Иван Петров – сын крестьянина, родом из села РогозиноКологривского уезда Костромской губернии. Математически одаренный мальчик не умел ни читать.ни писать, но любил проводить в уме всякого рода устные арифметические подсчеты. В мае 1834 г. одиннадцатилетний Ваня успешно выдержал устный экзамен по математике в Костромской гимназии. Ване было предложено двенадцать задач, и на все он дал правильные ответы, затратив на решение около часа.
Задача: Сосчитать в уме, сколькими способами можно уплатить 78 рублей, имея билеты трех- и пятирублевого достоинства.
Задача Рачинского
Выражение, которое и составляет «задачу Рачинского», запечатлено на картине художника Н. П. Богданова-Бельского «Устный счет», хранящейся в Третьяковской галерее. На картине изображен урок устного решения задачи в школе Татево Смоленской губернии. Эту школу основал и в ней преподавал бывший профессор Московского университета Сергей Николаевич Рачинский (1833-1902). Художник Н. П. Богданов-Бельский был учеником этой школы.
Задача: Путем устных вычислений найти быстро результат выражения
102 +112+122+132+142
365
Заключение
На уроках алгебры мы изучаем разные задачи. И встречаемся со старинными задачами , мне хотелось познакомится с такими задачами и познакомить с ними одноклассников. Для этого была подготовлена презентация (Приложение)
В древние времена нашим предкам было необходимо считать, сравнивать, узнавать, кто больше принес домой добычи и сколько дать еды каждому человеку в семье. Знать сколько требуется для заготовки еды, посуды и многого другого. И для этого древние люди научились считать , а затем решать задачи для нахождения какой-либо информации. До нашего времени сохранились некоторые задачи.
Мне и моим одноклассникам понравилось решать такие задачи!
Список использованных источникови литературы
Баврин И. И., Фрибус Е. А. Старинные задачи: Кн. для учащихся.— М., 1994. — 128 с
Владимиров В.В. Как наши предки учили математику. Старинные задачки с решениями.-М. : ООО Дом печати Издательства Книготорговли «Капитал», 2017. – 48с.
МасловА. Н., Логика для детей и взрослых. - М.: ООО «Луч», 2015.- 196 с.
Рачинский С.А. 1001 задача для умственного счета в школе. – М.: «Белый город», 2017.- 144с.
Приложение
Презентация для занятия