V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Периодические бесконечные десятичные дроби
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Сначала я бы хотела объяснить, почему я взяла эту тему. Я взяла эту тему для того чтобы объяснить и самой узнать:
1.откуда появились периодические бесконечные десятичные дроби.
2.какие виды существуют.
3.для чего служат периодические бесконечные десятичные дроби.
4.как составить периодическую бесконечную дробь.
Цель: узнать, что такое периодические бесконечные десятичные дроби.
Актуальность выдвинутой мной проблемы заключается в привлечении учащихся к решению нестандартных задач, которые часто можно встретить в современных учебниках по математике.
Помогла мне выбрать эту тему мой учитель по математике Старкова Галина Владимировна.
Глава 2
Периодическая десятичная дробь — это любая десятичная дробь, у которой:
Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;
Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.
Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе — периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.
Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:
Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.
Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.
Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.
Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом — в настоящем решении так делать не обязательно.
Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.
Глава 3
Существовало несколько высказываний как появились дроби и десятичные дроби.
1.Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби. Но единой записи дробей, как и целых чисел, не было.
2.В древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины: чи, цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки, дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан=10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2чжана, 1 чи, 3 цуни, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.
Полную теорию десятичных дробей дал узбекский ученый Джемшид Гиясэддин алКаши в книги «ключ к арифметике», изданной в 1424 году, в которой он показал запись дроби в одну строку с числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Ученый пользовался несколькими способами написания дроби: то он применял вертикальную черту, то чернила черного и красного цветов.
Дроби в Греции.
Греки, как и египтяне, первоначально имели дроби только с числителем, равным единице, и записывали их словами, а позже символами, например, дробь записывали так: ٧ א ′ Герон Александрийский (1 век до н.э.) применял дроби общего вида и записывал их без дробной черты, числитель и знаменатель ставил рядом, причем числитель записывал с одним штрихом, а знаменатель записывал дважды и отмечал двумя штрихами, например, записывал так: ß′ ε′′ε′′ . У греков был знак, заменяющий слово «получается» , назывался этот знак «гигнестай». Диофант ( III в.н.э) дроби записывал почти так же, как и мы, только над чертой писал знаменатель, а под чертой – числитель, слово частица и затем знаменатель.
Десятичные дроби в древности.
Некоторые элементы десятичной дроби встречаются в трудах многих ученых Европы в XII, XIII, XIV веках. Полную теорию десятичных дробей дал узбекский ученый Джемшид Гиясэддин ал-Каши в книге «Ключ к арифметике», изданной в 1424 году. Но этот труд до европейских ученых своевременно не дошел. Только через 150 лет после выхода этой книги (1585) фламандский ученый Симон Стевин в своей книге «О десятичной» описал правила действия с десятичными дробями. Его и считают изобретателем десятичных дробей. Стевин десятичные дроби записывал так: 0,3752= 3 7 5 2 или 5,693= 5 6 9 3 . У других авторов встречалась запись 3,7= 3 7 или 3/7, или целую часть записывали чернилами одного цвета, дробную – чернилами другого цвета.
Современные десятичные дроби.
Современную запись, т.е. отделение целой части запятой, предложил Кеплер (1571-1630гг.). В странах, где говорят по английский (Англия, США, Канада и др.), и сейчас вместо запятой пишут точку, например, 2,3 пишут 2.3 и читают: два точка три.
Глава 4
Виды периодических десятичных дробей.
Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смешанные.
Если в периодической дроби период начинается сразу же после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой. Например, следующие периодические дроби являются чистыми:
0, (3)
0, (6)
0, (5)
Видно, что в этих дробях период начинается сразу же после запятой.
Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно записать числителем ее период, а в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде.
Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смешанной. Например, следующие периодические дроби являются смешанными:
0,52 (3)
0,16 (5)
0,31 (6)
Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.
Чтобы записать смешанную периодическую дробь в виде обыкновенной, надо из числа, стоящего до второго периода вычесть число, стоящее до первого периода, результат записать в числителе; в знаменатель записать число, содержащее столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей в конце, сколько цифр между запятой и периодом.
Например. Запишем дробь в виде обыкновенной.
Примеры:
1. 2,71136136136…..=2,7(136)-смешанная
2. 11,33333333…….=11,(3)чистая
Глава 5
Применяются периодические бесконечные десятичные дроби к примеру в профессиях:
1.Кулинария- Повара применяют десятичные дроби для составления меню.
2.Парикмахер- Парикмахер применяет десятичные дроби для приготовления раствора для покраски волос и для завивки.
3.Продавцам и покупателям-в магазине при взвешивании товара.
4. Экономисты и бухгалтеры- Экономисты и бухгалтеры используют десятичные дроби для составления отчетов, расчетов.
5.Строители- Строители используют десятичные дроби для составления сметы.
Глава 6
Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.
Бесконечно малая
Последовательность {displaystyle a_{n}} называется бесконечно малой, если {displaystyle lim limits _{nto infty }a_{n}=0}.
Например, последовательность чисел {displaystyle a_{n}={dfrac {1}{n}}} — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки {displaystyle x_{0}}, если {displaystyle lim limits _{xto x_{0}}f(x)=0}.
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если {displaystyle lim limits _{xto +infty }f(x)=0} либо {displaystyle lim limits _{xto -infty }f(x)=0}.
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность
функции и её предела, то есть если {displaystyle lim limits _{xto +infty }f(x)=a}, то {displaystyle f(x)-a=alpha (x)}, {displaystyle lim limits _{xto +infty }(f(x)-a)=0}.
Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения [при стремлении х{displaystyle x} к {displaystyle a}а (из {displaystyle lim limits _{xto a}f(x)=0})] делается меньше произвольного числа ( {displaystyle varepsilon }). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о числе [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое.
Глава 7
Лейбниц и анализ бесконечно малых
Лейбниц и анализ бесконечно малых
«Почти все остальные крупные математики, — писал в XX веке Иозеф Хоффман, видный исследователь биографии Лейбница, — увлекались математикой уже в юные годы и разрабатывали радикально новые идеи. Однако этот период в жизни Лейбница не был ознаменован какими-либо заметными математическими открытиями». И в этом, и во многом другом Лейбниц очень отличается от Ньютона.
Когда Лейбниц прибыл в Париж, ему было уже 26 лет. К этому времени он был лишь поверхностно знаком с «Началами» Евклида и знал немногим больше элементарной арифметики, изученной в школе по книге Клавия. Как рассказывал много лет спустя один из его первых учеников Иоганн Бернулли, издание «Геометрии» Декарта с комментариями Ван Схотена, с которым Лейбниц бегло ознакомился в университете, показалось ему слишком сложным. В Нюрнберге, где он жил после получения степени доктора в Альдорфском университете (1666 год), он поверхностно изучил Geometria indivisibilibus Кавальери. Так что, когда он прибыл в Париж в марте 1672 года, его знания были весьма плачевными, хотя, по словам Хоффмана, математика была у Лейбница в крови.
Сохранилось множество рукописей и документов Лейбница, в частности почти все, написанное им в период обучения в Париже. Эти документы позволяют понять, как проходило его обучение и как он пришел к открытию анализа бесконечно малых.
В первый год в Париже Лейбниц был дилетантом в математике. Позднее он сам признавался, что мучился от недостатка знаний. В этом же году он впервые побывал в Лондоне, где при посредничестве Ольденбурга и Коллинза познакомился с английскими математиками. Его «святая простота», о которой он знал, его недооценка собственных возможностей вкупе с излишней открытостью и общительностью не раз приводили к недопониманию с британскими математиками и впоследствии стали одной из причин обвинений в плагиате.
Осенью 1672 года он познакомился с Христианом Гюйгенсом, самым известным ученым и математиком Европы, который в то время получал жалование во Французской академии наук. К тому времени Лейбниц уже совершил свое первое математическое открытие: он показал, как использовать разность для сложения чисел. Позднее он упоминал, что на мысль о взаимно обратной связи дифференцирования и интегрирования его навела взаимно обратная связь между сложением и вычитанием.
Рассуждения Лейбница были таковы. Допустим, что требуется найти сумму а1 +а2+ а3+ … + аn.Нам известно, что каждое из этих чисел является разностью двух других: ak= bk+1— bk.Следовательно, простое сокращение последовательных членов bkозначает, что а1 +а2+ а3+ … + аn= bn+1— b1.
Ввиду врожденного оптимизма и недостатка математических знаний Лейбниц посчитал, что открыл способ нахождения суммы произвольных рядов чисел. Его уверенность только усилилась, когда он поделился своим открытием с Гюйгенсом и тот предложил найти сумму чисел, обратных треугольным числам:
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + …
По случайному совпадению, этот ряд — один из немногих, к которым применим способ, открытый Лейбницем, так как члены этого ряда имеют вид 1/n(n+1), то есть равны разности между 1/n и 1/(n+1). Таким образом,
1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + … = 1
Лейбниц вычислил суммы похожих рядов, образованных пирамидальными числами, и подготовил небольшую статью для публикации в Journal des Savants. Однако статья так и не увидела свет, поскольку весь 1673 год журнал не издавался. В этой статье Лейбниц цитирует Кавальери, Галилея, Валлиса, Грегори, Паскаля, Сен- Венсана и Архимеда, а также упоминает Гоббса как великого математика, что указывает на определенный прогресс в его образовании.
В январе 1673 года Лейбниц впервые посещает Лондон. Свой первый визит он нанес Генри Ольденбургу, секретарю Лондонского королевского общества и своему соотечественнику, который принял его с распростертыми объятиями.
Вывод:
1.периодическими бесконечными десятичными дробями занимались многие математики и говорили свою точку происхождения.
2.периодическая бесконечная десятичная дробь нужна в большинстве профессий.
3.периодическая бесконечная десятичная дробь:
1.Онисущественно обогащают наше представление о математике.
2.Ониоткрываютнамэстетическую сторону математики.
3.Они открывают математическую сторону окружающего мира.
4.Онимогутповысить интерес школьников к такой «сухой» и точной науке, как математика.
5.Они дают богатый материал для дополнительных исследовательских работ в школе.
4. Бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби – это рациональное число.
Литература :
1. Серия «Мир Математики»- Истина в пределе «анализ бесконечно малых», Изд.:Де Агостини, 2014
2.Сайт «Яндекс. Картинки» https://yandex.ru/images/search?p=3&text
3. Сайт Формулы с примерами http://formula-xyz.ru/beskonechnye-desyatichnye-drobi.html
4. Учебно-методический портал http://sgt-portal.ks.ua/
5. Презентации по математике https://ppt4web.ru/matematika/desjatichnye-drobi-klass1.html
6. Сайт для подготовки к ОГЭ-ЕГЭ Раздел : Учебник https://youclever.org/book/desyatichnye-drobi-1
7. Сайт «Заочник.ру» https://www.zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/desjatichnye-drobi-opredelenija-zapis-primery-dejs/
8. Образовательный портал http://www.maam.ru/detskijsad/proekt-desjatichnye-drobi-vokrug-nas.html
9. Сайт для учителей http://uchitelya.com/matematika/21380-proekt-drobi-v-nashey-zhizni.html
10. Сайт по подготовке презентаций https://ppt4web.ru/matematika/periodicheskaja-drob-mne-ulybnulas.html
11.Портал «Википедия» https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%8F_%D0%B8_%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F
12.https://yandex.ru/search/?text=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B1%D1%8C%D1%8E%20%D0%BD%D0%B0%D0%B7%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%B5%D1%82%D1%81%D1%8F%20&lr=10743&rnd=40175