V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Функции в окружающем нас мире
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Именно функция является тем средством математического языка,
которое позволяет описывать процессы движения,
изменения ,присущие природе»
Галилео Галилей
Математика – один из моиx самых любимых предметов. Я считаю, что ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без математического описания. Одним из инструментов описания реального мира является функция.
Современная математика знает множество функций, и у каждой своей неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на земле.
Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов.
Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.
Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них появляются основные свойства функций.
На уроках математики все знакомятся с различными функциями, их свойствами и графиками, но мало знают о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.
Проблема
На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.
Актуальность темы
Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.
Цель
Исслeдовать и изучить связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека.
Исходя из цели, я поставил перед собой следующие задачи:
Узнать историю происхождения функций;
Найти и рассмотреть функции, которые существуют в нашем мире;
Установить связь математических функций с другими науками;
Выяснить, как часто в практической деятельности и природе человек может использовать функции и их свойства и, каким образом это позволит улучшить качество жизни людей.
Методы исследования
-Теоретический:
сбор материала, работа с литературой,, анализ, обобщение;
изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии).
-Эмпирический:
анализ полученной информации (опыт, наблюдение, решение задач, сравнение, сопоставление с имеющимися знаниями по данной теме, обобщение);
опрос учащихся и учителей с целью выявления мнения о роли функции в жизни.
Гипотеза
Функции- неотъемлемая часть нашей жизни. Они окружают нас повсюду.
Объект исследования
Математические функции и их приложения.
Предмет исследования
Функциональные зависимости в окружающей жизни.
А чтобы проверить эту гипотезу мною была изучена и проанализирована дополнительная литература, а также был проведен опрос учащихся моего класса с целью выявления мнения о роли функции в жизни человека.
Практическая значимость проекта
Работа позволяет развивать интерес школьников к урокам математики, убеждает в высокой практической значимости математической науки, формирует представление о взаимосвязи математики с объектами реального мира, убеждает в необходимости применять полученные знания на практике и поможет желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях.
2 Основная часть
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений.
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.
Само слово «функция» (от латинского functio - совершение,выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году Леонард Эйлер.
Что же такое функция?
Разные ученые выдвигали разные мысли. Но я хочу вас познакомить с одним определением: «Если даны числовое множество X и правило f, позволяющие поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(x) с областью определения Х; у = f(x) , хЄХ. При этом переменную х называют независимой переменной или аргумент, а переменную у- зависимой переменной.»
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Функция – это не только математическое понятие, но и:
функция — работа, производимая органом, организмом; роль, значение чего-либо;
функция в математике — закон зависимости одной величины от другой;
функция — возможность, опция, умение программы или прибора;
функция — обязанность, круг деятельности;
функция персонажа в литературном произведении;
функция — вид подпрограммы в информатике социальная функция.
Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов.
В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.
Математика создает условия для развития умения применять теоретические знания для решения практических задач, ориентироваться в окружающей нас действительности. Нам кажется, что функциональные зависимости могут касаться самых разнообразных явлений природы и окружающей среды. Каждому человеку в его повседневной практической деятельности приходится применять практические приемы геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков. Без конкретных математических знаний затруднено понимание и восприятие научных знаний, разнообразной социальной, экономической, технологической информации.
Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, а порой является естественным средством их решения. Математика является языком различных областей науки и нашей жизни.
Экологические проблемы являются глобальными проблемами человечества, всех стран независимо от размеров территории, численности населения, уровня экономического развития.
С функцией мы встречаемся каждый день.
Например:
каждый ученик в школе учится в определённом классе. Если обозначить через Х – множество учеников в школе, а через Y – множество классов, то можно сказать, что каждому элементу множества Х (т.е. каждому ученику) сопоставляется единственный элемент множества Y (т.е. тот класс, где данный ученик учится);
пришли в магазин, купить яблоки. Пусть их цена 200 рублей. Сколько денег мы отдаем за 2кг? За 5кг? Говорят, что стоимость покупки есть функция от количества яблок;
Изменение температуры в классе или на улице есть функция от времени. В одно и то же время температура не может принимать более одного значения и быть одновременно +5 и -10.
Способы задания функций.
Существует несколько способов задания функций:
аналитический,
словесный,
графический,
табличный,
с помощью графов.
Задать функцию – это значит указать ее область определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.
1. Табличный способ.
При табличном задании просто выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующих им значений функции. Табличный способ особенно распространен в технике, естествознании. Числовые результаты последовательных наблюдений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде таблицы. Можно изобразить эту функцию на плоскости, она будет дискретной.
Преимущества: для каждого значения независимой переменной, помещенного в таблице, можно сразу без всяких вычислений найти соответствующее значение функции.
Недостатки: 1. Обычно невозможно задать функцию полностью, найдутся такие значения независимой переменной, которые не помещены в таблице.
2. Отсутствие наглядности при большом объеме таблицы, трудно выявить характер изменения функции.
Пример:
|
Х |
-1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
12 |
15 |
28 |
|
Y |
100 |
65 |
23 |
25 |
-5 |
43 |
56,9 |
1 |
2. Аналитическое задание (задание формулой).
Аналитическое задание функции состоит в том, что дается формула, с помощью которой по заданным значениям независимой переменной можно получить соотвтетстующие им значения функции. При аналитическом задании функции под областью определения понимают множество значений х, при которых формула, определяющая функцию, имеет смысл.
Аналитическое задание функции – основной способ задания в математическом анализе. Можно построить график функции, она будет не дискретной.
Пример: у = 3х2 – 2х + 5х
Преимущества: 1. Сжатость, компактность задания.
2. Возможность вычислить занчение функции для любого значения независимой переменной из области определения.
3. Возможность применить к данной функции аппарат математического анализа, так как он наилучшим способом приспособлен как раз к аналитической форме задания функций.
Неудобства: 1. Недостаточная наглядность.
2. Необходимость вычислений, нередко очень громоздких.
3. Графическое задание.
Графиком функции (в системе декартовых прямоугольных координат) называется множество всех точек, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции. Масштабы на обеих осях координат могут быть как одинаковыми, так и различными. Графиком функции служит некоторая кривая линия. Понятия линии и функции тесно связаны. Заданием функции порождается линия – ее график; заданием линии порождается функция – та, для которой эта линия служит гарфиком.
Графическое задание функции состоит в задании графика этой функции. В физике и технике функции нередко задаются графически, причем иногда гарфик является единственным доступным средством задания функции. Чаще всего это бывает при употреблении самопишущих приборов, автоматически записывающих изменение одной величины в зависимости от изменения другой. В результате на ленте прибора получается линия, графически задающая регистрируемую прибором функцию.
Преимущества:
1. Наглядность.
2. Единственный способ задания для некоторых функций.
Недостаток: не может быть непосредственно применен аппарат математического анализа.
4.С помощью графов.
В математике графом называют набор точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки именуются вершинами графов, а отрезки- ребрами.
Итак, определение таково:
Функция – это зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. При этом переменную х называют независимой переменной или аргумент, а переменную у- зависимой переменной.
3 Практическая часть
Понятие «Функция» сыграла и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Как известно, наиболее распространен аналитический способ задания функции, при котором функция задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы найти у.
1) Квадратичная функция. Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. Графиком квадратичной функции является парабола. Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста, выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха).
Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике, например, параболическая арка; свод моста.
Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости.
Свойство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, отражательных телескопов - рефлекторов.
Параболы в природе
Рис.1-Природный парк Ергаки, Западные Саяны, гора Парабола
Рис. 2- Радуга – природная парабола.
Рис.3- Наша галактика – вогнутая парабола.
2). Линeйная функция
От чего зависит стоимость телеграммы, отправленной по территории России? Мы узнали, что стоимость одного слова равна 55 коп., а оформление телеграммы -7 рублей. Получилась такая формула: C=0,55*х +7
В повседневной жизни мы часто встречаемся с разными зависимостями (функциями) . Например, благодаря функции мы можем вычислить сколько раз в месяц нужно посещать парикмахерскую.
Если молодой человек хочет что бы у него длина волос была не длиннее 7 см, но и не короче 4 см, зная, что скорость роста волос 1,5 см в месяц, мы можем использовать график и увидеть с какой периодичностью он должен ходить в парикмахерскую.
3) Функция «Обратная пропорциональность»
Она обладает замечательными свойствами, которые позволяют считать её не только предметом изучения, но и средством познания мира, позволяющим сделать мир более совершенным.
Гипербола в жизни. Гипербола в жизни встречается гораздо реже, чем парабола. Наши предки наблюдали ветвь гиперболы на стене, когда подносили к ней горящую свечу в подсвечнике с круглым основанием.
Применение гиперболы для определения местонахождения. Во время второй мировой войны использовались гиперболические навигационные системы. Штурман на борту самолёта или морского судна принимал радиосигналы от двух пар станций на берегу, которые испускали их одновременно. Используя разность времени между моментами приема сигналов от обеих станций, штурман строил две гиперболы, пересечение которых на карте позволяло определить место, где он находился.
Гипербола и космические спутники
Если спутник движется «с первой космической скоростью, то он будет вращаться вокруг Земли по круговой орбите».
При достижении «второй космической скорости, траектория спутника станет параболической и спутник никогда не вернётся в точку из которой он запущен».
При дальнейшем увеличении скорости, спутник будет двигаться по гиперболе и второй фокус появится с другой стороны (центры Земли всё время будут находиться в фокусе орбиты).
4). Тригонометрическая функция.
Различные колебания окружают нас на каждом шагу.
Механические колебания применяются для просеивания материалов на виброситах, безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры. Колебания сопровождают и биологические процессы, например, слух, зрение, работу сердца и мозга.
В школe, изучая графики функций, мнe стало интересно: где же еще применяются графики, оказалось, что метеорологическая служба фиксирует изменения температуры, строя с помощью термографа график температуры.
Используя показания сейсмографов ( приборов, непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики – сейсмограммы), геологи могут предсказать приближение землетрясение или цунами.
Врачи выявляют болезни сердца с помощью кардиографа, их называют кардиограммами.
5). Свойства функции в пословицах и поговорках.
Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.
«Чем дальше в лес, тем больше дров»
График представит количество дров как функцию пути.
«Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне.
«Пересев хуже недосева»
«Горяч на почине, да скоро остыл»
6)Изображения с помощью графиков известных функций
7)Функции в экономике
Широко применяются графики в экономике, в частности, кривая
спроса и предложения, линия производственных возможностей.
В течение последних нескольких месяцев страны мира находятся в состоянии финансово - экономического кризиса, начавшегося в США. Пришел кризис и в Россию. Нас заинтересовало, какие функциональные зависимости в экономике подверглись изменениям в связи с этим, и каким образом. Изучением этих вопросов занимается математическая экономика - наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов.
Экономический рост в России за последние пять лет в большей степени определялся высокими ценами на энергоресурсы: нефть и газ. И когда цены на нефть упали, денежный поток, который шел в Россию, сократился. Как следствие этого сократился спрос внутри страны на продукцию, что в свою очередь привело к сокращению производства. Финансовый кризис перешел в промышленный.
Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.
Облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.
Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.
Выводы
1. Математические функции являются одним из основных понятий в различных областях науки и техники.
2. Математическое понятие функции широко используется в описании и изучении процессов и явлений реального мира.
3. Широкое развитие физики, химии, биологии, авиации, сотовой связи и вообще техники было бы невозможным без понятия функции.
4. Функциональные зависимости присутствуют во всех сферах жизни человека.
5. Работа позволяет развивать интерес школьников к урокам математики, убеждает в высокой практической значимости математической науки, формирует представление о взаимосвязи математики с объектами реального мира, убеждает в необходимости применять полученные знания на практике.
4 Заключение
Изучая и анализируя области применения и взаимосвязь математических функций не только с естественными, но и гуманитарными науками, мы решили поставленные ранее задачи, а значит, добились цели нашего проекта.
Я убедился в том, что функция является неотъемлемой частью нашей жизни и наук в целом, так как функциональные зависимости, действительно, существуют во всех сферах жизни человека.
Графики и функции широко распространены в нашей жизни, так как они содержательные, наглядные и удобны для передачи и восприятия информации, дальнейшей обработки информации(например, прогнозирование, анализ).
В рамках изученной темы и в соответствии с поставленными целями и задачами
проанализировал и изучили литературу по истории развития функции, применении её в науке и технике;
познакомился с определением понятия «функция» и способами задания функции;
познакомился со способами изучения функциональной зависимости величин: опыт, измерение, вычисление, составление таблиц и построение графиков;
научился применять изученные способы для установления функциональных зависимостей между величинами и описания свойств величин на основании их функциональной зависимости;
обобщил сведения о линейной функции, выяснили её связь с повседневной жизнью и устным народным творчеством.
Таким образом, изучив и проанализировав литературу по истории развития функций, их применения в науке, технике и в окружающем мире, я убедилась, что между величинами существует функциональная связь, а также мне удалось показать, что понятие “функция” находит проявление в природе и широкое применение в жизни человека.
Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.
5 Список литературы и использованных источников
Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике: Книга для внеклассного чтения 9 – 10 кл. – 2 – е изд., испр. – М.: Просвещение, 1993.
Волович М.Б. «Справочник школьника 5-11 класс»
Володин В.А/ Аванта +/ Энциклопедия для детей «Общество. Экономика и политика Ч.1», том 21- М.:/ 2002 г.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение. - 1982.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс - М.: Просвещение. - 1983.
Интернет-ресурсы:http://linear function.ru
http://ru.wikipedia.org/wiki/ЭТ
Макарычев Ю.Н. “Алгебра 7 класс”. – 6-е изд. – М. : Издательство “Просвещение”, 1998.
Мордкович А.Г. “Алгебра 7 класс”. – 11-е изд. – М. : Издательство “Мнемозина”, 2008.
Ульяновская Н. Н. О, функция, как ты Важна // Математика. – 1999. - №45.
Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.