Введение
Вы не сможете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В школе мы изучаем таблицу умножения, а затем учимся умножать числа в столбик. Это не единственный способ умножения. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения многозначных чисел.
Актуальность: В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Многие ученики не знают даже таблицы умножения! Чтобы привлечь внимание учащихся к математике и ответить на вопрос «Надо ли знать таблицу умножения?» я выбрала тему проекта «Различные способы умножения».
Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.
Задачи:
Найти и разобрать различные способы умножения.
Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
Рассказать о новых способах умножения и научить одноклассников ими пользоваться.
Основная часть
История появления таблицы умножения.
При раскопках здания в городе Нара, древней столице Японии, археологами была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения. Из всех табличек, обнаруженных в Японии, найденная – самая древняя.
Каким же образом жители Японии впервые узнали о математической «запоминалочки»? Судя по тому, что иероглифы, которыми записаны цифры напоминают китайское письмо, скорее всего, она была просто скопирована из китайского учебника арифметики того времени. А откуда она взялась в Китае? Не исключено, что именно там ее впервые и придумали.
Эту версию подтверждает находка, сделанная китайскими археологами на юге страны. Там была обнаружена дощечка, на которой был фрагмент таблицы умножения, возраст которой ученые оценили в 2700 -3000 лет.
На основании этой находки ученые Китая предложили гипотезу, согласно которой впервые таблица умножения была составлена в Древнем Китае, а потом вместе с караванами проникли в Индию, а оттуда в страны Передней Азии и Европу. Однако этой версии противоречат многие находки, сделанные ранее. Например, в Индии в свое время были обнаружены более древние варианты таблицы умножения, возраст которых оценивается в 3000-3200 лет.
Самые старые в мире таблицы умножения были найдены при раскопках городов Древней Месопотамии. Они были нанесены с помощью клинописи на глиняные таблички, возраст которых составляет 5000 лет. Скорее всего, таблица умножения появилась где-то в тех краях.
Хотя не исключено также и то, что данная система устного счета появилась независимо в разных местах. Узнать имя гениального математика, который первым додумался записать результаты умножения в виде таблицы, скорее всего, не удастся. Это пришло в голову сразу нескольким людям. В европейской культуре автором таблицы умножения считается знаменитый греческий математик Пифагор. [1, с.78]
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел, и все эти приемы соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом. [2, с.16]
Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые способы умножения.
Способы умножения
Русско-крестьянский способ умножения.
Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоений другого числа. Пример: 32 х 13
Множимое =32 |
Множитель = 13 |
32 |
13 |
16 |
26 |
8 |
52 |
4 |
104 |
2 |
208 |
1 |
416 |
Таблица 1.
Деление пополам (см. левую половину Табл.1) продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число (правая часть Табл.1). Последнее удвоенное число и дает искомый результат.
Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение:( 32 х 13 ) = ( 1 х 416 ) [3, с.54]
Особо внимательные заметят "А как быть с нечетными числами, которые не кратны 2-м?".
Итак, пусть нам необходимо умножить два числа: 987 и 1998. Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается.
Операцию продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение. [3, с.67] Дана графическая иллюстрация по данному описанию. ( см. Таблицу 2.)
Таблица 2.
Квадрат Пифагора.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Это всем известный Квадрат Пифагора, отражающий мировую систему счисления, состоящую из девяти цифр: от 1 до 9. Выражаясь современным языком – это девяти разрядная числовая матрица, в которой цифры, являющиеся основой для дальнейших вычислений любой сложности расположены в порядке возрастания. Квадрат Пифагора называют и Эннеадой, а тройку цифр - триада. Можно рассматривать тройки цифр расположенные по горизонтали (123, 456, 789) и по вертикали(147, 258, 369). Причем, записанные таким образом, тройки цифр начинают обозначать уже особые числа, подчиняющиеся законам математической пропорции и гармонии.
Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы. Это будет напоминать египетскую систему счисления, по сути, с разницей в том, что все цифры либо числа записываются в один столбик (без указания того или иного действия в соседнем столбике - как у египтян). [4, с.97]
Начнем с цифр, составляющих Квадрат Пифагора: от 1 – до 9.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Цифра 1: обычный последовательный ряд цифр.
Цифра 9: левый столбик - четкий восходящий ряд («поток»).
правый столбик - четкий нисходящий ряд последовательных цифр. Условимся называть восходящим ряд, значения чисел в котором увеличиваются сверху вниз ; в нисходящем же – наоборот: уменьшаются значения чисел сверху вниз.
Цифра 2: в правом столбике повторяются четные цифры 2,4,6,8 («в периоде»).
Цифра 8: такой же повтор - только в обратном порядке- 8,6,4,2.
Цифры 4 и 6: четные цифры «в периоде» 4,8,2,6 и 6,2,8,4.
Цифра 5: подчиняется правилу сложения цифры 5- чередование 5 и 0.
Цифра 3: правый столбик - нисходящий ряд уже не цифр, а чисел, образующих тройки вертикальных рядов в квадрате Пифагора- 369, 258, 147. Причем, отсчет идет «из правого угла квадрата» или справа налево. Здесь также действует принятое выше правило восходящего - нисходящего ряда. Но восходящий ряд – это движение от тройки чисел 147 до тройки 369; нисходящий - от 369 до 147.
Цифра 7: восходящий ряд чисел 147,258,369 из «левого угла» или слева направо. Впрочем, все зависит от того, как изображена сама девятиразрядная числовая матрица - где поставить цифру 1.
Китайский способ умножения.
Такой прием напоминает умножение столбиком, но проводится довольно долго.
Использование приема. Допустим, нам надо умножить 13 на 24. Начертим следующий рисунок:
Этот рисунок состоит из 10 линий (количество может быть любым)
Эти линии обозначают число 24 (2 линии, отступ, 4 линии)
А эти линии обозначают число 13 (1 линия, отступ, 3 линии)
Теперь нужно сосчитать пересечения линий на всех четырех концах следующим способом: (пересечения на рисунке указаны точками)
Количество пересечений:
Верхний левый край: 2
Нижний левый край: 6
Верхний правый: 4
Нижний правый: 12
1) Пересечения в верхнем левом крае (2) – первое число ответа
2) Сумма пересечений нижнего левого и верхнего правого краев (6+4) – второе число ответа
3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа.
Получается: 2; 10; 12.
Т.к. два последних числа – двузначные и мы не можем их записать, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему.
3(2+1)1(0+1)2
Ответ: 312 [5, с.48]
Итальянский способ умножения.
В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность. [5, с.74]
Использование приема:
Например, умножим 6827 на 345.
Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.
Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.
т.е.
6*3 = 18. Записываем 1 и 8
8*3 = 24. Записываем 2 и 4
Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.
(Как у нас в примере при умножении 2 на 3 получилось 6. Вверху мы записали 0, а внизу 6)
Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.
Ответ: 2355315.
Таблица Оконешникова.
Рис.1. Таблица Оконешникова
Умножение не стоит на месте, о чем доказывает новый способ умножения, который разработал Василий Иванович Оконешников. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе и «теперь ребята смогут умножать и складывать в уме не только единицы, десятки, но также миллионы, триллионы и даже, не пугайтесь, секстиллионы с квадриллионами»При этом каждая кнопка делится еще на 9 квадратов, в которой записываются результаты перемножения числа данной кнопки на числа от одного до девяти, т.е. получаем своеобразную таблицу умножения. Данный метод имеет ограничение - умножение делается на однозначное число. Например, найдем произведение чисел 148 и 4. Для этого обратимся к квадрату соответствующему четверке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, четверке, восьмерке. Получаем: 04 16 32. Левую цифру (в нашем примере - ноль) оставляем без изменений, а следующие складываем попарно: четверку с единицей, шестерку с тройкой.. Последняя цифра также без изменений. 0(4 + 1)(6+3)2 = 0592. Число 592 и есть результат умножения. Произведя расчет по методу Василия Ивановича Оконешникова при умножении многозначного числа на однозначное, этот метод достаточно прост и быстр, если имеется готовая таблица в уме или перед глазами. [8, с.32]
Индийский способ умножения.
В древней Индии применяли два способа умножения: сетки и галеры. На первый взгляд они кажутся очень сложными, но если следовать шаг за шагом в предлагаемых упражнениях, то можно убедиться, что это довольно просто.
Умножаем, например, числа 6827 и 345:
1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем один из номеров над колонками, а второй по высоте. В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.
Сетка 1 Сетка 2
2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 3 на 6, на 8, на 2 и на 7. Посмотри на этой схеме, как пишется произведение в соответствующей клетке.
Сетка 1
3. Посмотри, как выглядит сетка со всеми заполненными клетками.
Сетка 1
4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.
Сетка1
Посмотри, как из результатов сложения цифр по диагоналям (они выделены жёлтым фоном) составляется число 2355315, которое и является произведение чисел 6827 и 345, то есть 6827 х 345 = 2355315. [8, с.65]
Египетский способ умножения.
Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать. Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное перемножение на второй множитель (см. пример). Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.
Разложение. Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.
Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:
1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 4 x 2 = 8 8 x 2 = 16 16 x 2 = 32
Пример разложения числа 25: Кратный множитель для числа «25» — это 16; 25 — 16 = 9. Кратный множитель для числа «9» — это 8; 9 — 8 = 1. Кратный множитель для числа «1» — это 1; 1 — 1 = 0. Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1. [9, с.28]
Пример: умножим «13» на «238» . Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: ✔ 1 х 238 = 238 ✔ 4 х 238 = 952 ✔ 8 х 238 = 1904
13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 =1904 + 952 + 238 = 3094.
Заключение
Существует много различных, забавных и интересных способов умножения чисел, но не все они удобны в использовании. Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным и простым показался мне «Итальянский способ».
Я показал некоторые способы умножения своим одноклассникам, и многие очень заинтересовались необычными вычислениями.
Работая над этим проектом, я пришла к выводу, что самый простой и привычный способ умножения, это тот, который мы изучаем в школе. А чтобы пользоваться этим способом, нужно всем знать наизусть таблицу умножения!
Список литературы и Интернет - ресурсы
1.1. Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. - М.: АСТ - ПРЕСС, 1999. - 368 с.1.2. Беллюстина В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. - ЛКИ ,2012.-208 с.1.3. Депман И. Рассказы о математике. – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.1.4. Ликум А. Все обо всем. Т. 2. - М.: Филологическое общество «Слово», 1993. - 512 с.1.5. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К.. Старинные занимательные задачи. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.1.6. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. - М.: Русанова, 1994 – 205с.1.7. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л.: Лениздат, 1941 — 12 с. 1.8. Савин А.П. Математические миниатюры. Занимательная математика для детей. - М.: Детская литература, 1998 - 175 с.1.9. Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.2. Другие источники информацииИнтернет – ресурсы: 2.1. Корнеев А.А. Феномен русского умножения. История. [Электронный ресурс]
Приложение 1
Анкетирование
Мною было проведено анкетирование учащихся 5а класса, в котором приняли участие 25 человек.
На основании анкетирования выявлено, что все опрошенные умеют умножать традиционным способом, а вот о нетрадиционных способах умножения большинство ребят не знают. И есть желающие познакомиться с ними.
Вопросы в анкете были следующие:
Когда была неделя математики в нашей школе, видели ли вы мою стенгазету о разных способах умножения?
Рис.2. Круговая диаграмма. Опрос учащихся к 1-му вопросу
Ответ: да – 20 человек, нет – 5 человек.
Знаете ли вы нетрадиционные способы умножения? Приведите пример.
Рис.3. Круговая диаграмма. Опрос учащихся к 2-му вопросу
Ответ: знают – 7 человек, не знают – 18 человек.
Хотели бы вы научиться нетрадиционным способам умножения?
Рис.3. Круговая диаграмма. Опрос учащихся к 3-му вопросу
Ответ: хотят – 19 человек, не хотят – 6 человек.
Приложение 2
Сравнение результатов по вычислению примеров (по эффективности затраченного времени)
Время, за которое мне и моим одноклассникам удалось решить один и тот же пример разными способами |
||||
Китайский способ |
Таблица Оконешникова |
Итальянский способ |
Столбик |
|
Я |
56 секунд |
30 секунд |
25 секунд |
8 секунд |
Ученик №1 |
58 секунд |
32 секунд |
28 секунд |
10 секунд |
Ученик №2 |
1 минута 6 секунд |
50 секунд |
42 секунды |
10 секунд |
Ученик №3 |
1 минута 10 секунд |
56 секунд |
48 секунды |
11 секунд |
Ученик №4 |
1 минута 25 секунд |
1 минута |
55 секунд |
12 секунд |
Вывод: самым эффективным способом умножения является умножение столбиком.
Приложение 3
Моя работа на неделе математики в школе
Приложение 4
Памятка для учащихся