V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Паркеты

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ланцова А.А. 1

---

1МБОУ СОШ №3 г.Тосно

Неизвестный Е.В. 1

---

1МБОУ СОШ №3 г.Тосно

Работа в формате PDF

2.2 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение.

В последнее время использование мотивов различных паркетов в одежде, аксессуарах, дизайне жилища, строительстве зданий является последним «писком» моды. Математическая теория паркетов имеет свое практическое применение: знание её основ будет полезно дизайнерам, строителям, людям, увлекающимся народными ремёслами. Поэтому актуальность данной работы не вызывает сомнения.

С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

Гипотеза: Можно ли составить паркет если знать основные фигуры из которых он составит.

Цель: Определить какие основные геометрические фигуры используются при составлении паркета и разработать образец паркета со своим рисунком

Задачи:

- Подбор и изучение необходимой для исследования литературы.

- Рассмотреть задачи Пенроуза о паркете.

- Определить набор фигур для оформления паркетов.

- Разработать собственный паркетный узор.

Основная часть

2.1. Историческая справка

Долгая история художественного паркета, подарившая мировой культуре многочисленные уникальные шедевры, знала спады и подъемы. В XVII-XIX веках в мире нe было таких разнообразных и высокохудожественных полов, кaк в России. Сейчас этo изысканное ремесло переживает очередной расцвет. Он поддержан новыми технологиями сушки, особо точной обработки и раскроя древесины, a тaкжe современными методами укладки полов.

"Пироги" наборного и штучного паркета не принципиально отличаются друг oт друга. Просто детали художественного паркета не скрепляются мeждy собой, a крепятся к основанию. Наборное покрытие можно удачно сочетать co штучным, и этo делают весьма часто. Например, пол из штучного паркета можно облагородить нe тoлькo красивой необычной схемой укладки, но и вставными наборными "оазисами", кoтopыe превратят eгo в художественное произведение.

2.2. Понятие паркета

Советский энциклопедический словарь дает такое определение паркета: паркет (франц. parquet), небольшие древесные, строганные планки (клепки) для покрытия пола. Паркет изготавливают преимущественно из твердых пород дерева, для художественного паркета используют ценные породы. Различают несколько видов паркета: штучный, наборный (мозаичный), щитовой, паркетные доски.

В нашем проекте будем использовать другое определение паркета:

Парке́т или замощение — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий. Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками, разбиениями плоскости, паркетажами.

Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками).

2.3.Паркеты из правильных многоугольников

Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Ответ на этот вопрос можно найти в задачах о паркетах Пенроуза.

В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.

Значительно более сложным развитием этой задачи было условие, чтобы структура паркета, составленного из нескольких видов многоугольников и полностью покрывающего плоскость, была не совсем "правильной" или "почти" периодической. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 1970-х годов профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз решил задачу, используя всего два вида ромбов, заполнения плоскости ромбами с острыми углами в 72 и 36° . Их еще называют "толстыми" и "худыми" ромбами.

Рисунок.1. Фотография Роджера Пенроуза и паркет, составленный из ромбов с острыми углами в 72 и 36°

Для получения непериодической картины при укладывании ромбов следует придерживаться некоторых нетривиальных правил их сочетания. Оказалось, что эта простая с виду структура обладает очень интересными свойствами. Например, если взять отношение числа тонких ромбов к числу толстых, то оно оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу -1,618... Поскольку это число "не точное", а, как говорят математики, иррациональное, то и структура получается не периодической, а почти периодической. Более того, это число определяет соотношение между отрезками внутри десятиугольников, образующих пятиконечную звезду, - пентограмму, которая считается геометрической фигурой с идеальными пропорциями. Обратите внимание: десятиугольники имеют одинаковую ориентацию, что согласовывает и определяет расположение ромбов, из которых составлена мозаика Пенроуза. Поразительно, что это чисто геометрическое построение оказалось самой подходящей математической моделью для описания открытых в 1984 году квазикристаллов.

Выясним, из каких ещё правильных многоугольников можно составить паркет?

Можно ли замостить плоскость правильными пятиугольниками?

Гео­метрические фигуры могут «встретиться» в вершине паркета только тогда, когда сумма их углов составляет 360 градусов, иначе они не сомкнуться вокруг вершины или «нале­зут» друг на друга).

Итак, главное условие, необходимое для построения паркетов:

Сумма углов многоугольников в узле паркета должна равняться 360 º

Пусть в каждой точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:

m*180º*(n-2)/n=360º. (величина угла правильного n-угольника равна 180º*(n-2)/n)

После преобразований получим:

m=2*n/(n-2).

Если n=3, m=6 (6 треугольников в узле).

Если n=4, m=4 (4 четырёхугольника в узле).

Если n=5, m=3,333333… Но m не может быть дробным числом, число многоугольников должно быть натуральное.

Значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.

Если n=6, m=3 (шестиугольника)

Для п ≥ 7 не существует правильных многоугольников, для которых бы выполнялось главное условие. Значит, паркет из этих многоугольников ( п > 7; 8; 9… ) построить нельзя!

Можно сделать вывод: паркет можно построить из правильных треугольников, правильных шестиугольников, правильных четырехугольников.

На основе этих 3 правильных многоугольников можно составить различные правильные паркеты.

2.4. Паркеты, составленные из правильных многоугольников разного вида

Паркет на­зывают правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.

Среди правильных многоугольников одного и того же периметра, используемых для по­строения паркета, наибольшей площадью обладает шестиугольник. В природе этот факт находит отражение в форме пчелиных сот. Они похожи на паркеты, составленные из правильных шести угольников, посколь­ку пчелы, строя соты, инстинктивно стара­ются сделать их как можно более вмести­тельными и израсходовать при этом как можно меньше воска

Паркетов, состоящих из правильных многоугольников разного вида, до­вольно много - 11, и все они очень красивы.

Эти паркеты составляются так, что­бы вокруг каждой вершины правиль­ные многоугольники располагались в одном и том же порядке. Такие парке­ты называют полуправильными.

Рис.2. правильный паркет Рис.3. Полуправильный паркет

2.5.Геометрический паркет на сферической поверхности и торе

Геометрический паркет встречается не только на плоскости. Примером паркета на поверхности сферы может являться обычный футбольный мяч. Паркет состоит из 12 пятигранников и 20 шестигранников.

Рис.4. Футбольный мяч

В развернутом виде этот паркет представим в следующем виде.

Рис.5. Развертка футбольного мяча.

Тор – поверхность, полученная вращением окружности относительно прямой, лежащей в плоскости этой окружности и не имеющей с ней общих точек.

Рис.6. Пример паркета на торе.

Разбиение поверхности на повторяющийся узор геометрических фигур – тесселяция, от греческого tessere, «четырехугольник» – был знаком мастерам многих древних культур, от арабской до индийской и китайской. Именно мозаики испанской Альгамбры вдохновили Эшера на создание собственного художественного стиля. Сегодня тесселяция используется в видеоиграх, позволяя создавать детализированную компьютерную графику. Ну а математики называют такие структуры просто паркетами, решая самые необычные задачи по замощению поверхностей без промежутков.

Рис.7. Пример тесселяции с помощью треугольников.

2.6. Паркеты, составленные из других фигур

Наиболее яркими примерами паркетов являются паркеты голландского художника – математика Мориса Эшера. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий.

Рис.8. Картины Мориса Эшера

Каким же воображением нужно обладать, чтобы создать столь своеобразные и неповторимые произведения.

Этапы разработки фрагмента паркетного узора

Очень интересные паркеты можно получить, если на исходных фигурах имеется рисунок. После рассмотрения различных паркетных узоров мы выделили следующие этапы их разработки:

Выбрать простую плоскую фигуру, из которой можно получить паркет. (например квадрат)

вырезав из нее кусочек и обязательно добавляем его с противоположной стороны. (или наоборот)

Повторяем эту операцию необходимое количество раз.

Рис.9. Пример разработки паркета.

Заключение

Проведённое исследование показало, что в последнее время оформлению паркета уделяется все больше внимания. И не только в смысле использования различных пород древесины. Хотелось бы заметить, что паркет, как напольное покрытие, недаром пользуется повышенным спросом. Красота настоящего дерева, его неповторимый рисунок и долговечность всегда будут считаться элементом особого шика, а стиль, диктуемый паркетом, сохранится на века.

Однако как показывают поэлементные разборы паркетных узоров, в основе всегда лежит плоская геометрическая фигура чаще всего квадрат, ромб, прямоугольник, которые видоизменяются с помощью параллельных сдвигов сторон фигуры.

Список литературы

Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.: 1990

Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: 1982

Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: 1959

Википедия. ru

Васильев Н.Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. - М.: Наука, 1974, с. 15 /Библиотечка физико-математической школы, выпуск 4.

Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. - М.; 1961.

Журнал //Квант. 1979. - № 2. - С.9; 1980. - № 2. - С.25; 1986 - № 8 - С 3* 1987. - № 6. - С.27; 1987. - № 11. - С.21; 1989. - № 11. - С.57.

Журнал //Математика в школе. 1967. – № 3. – С.75; 1986. № 1. – С.59;

Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. - 1999. - № 2. - С.32.

Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.- Наука, 1966, с. 100.

Смирнова И.М. В мире многогранников. - М.: Просвещение, 1995.

Приложение 1

Классические паркетные узоры

Основная фигура для паркета прямоугольник

Основная фигура для паркета прямоугольник у которого одна сторона в четыре раза меньше второй

Основная фигура для паркета параллелограмм

Основная фигура для паркета прямоугольник у которого одна сторона в четыре раза меньше второй

Основная фигура для паркета прямоугольник

Основная фигура для паркета прямоугольник

Основная фигура для паркета квадрат

Основная фигура для паркета правильный шестиугольник

Основная фигура для паркета правильный треугольник

Основой для классических паркетных узоров являются прямоугольник, параллелограмм, квадрат, правильные шести и трёх угольники

Приложение 2

Примеры полуправильных паркетов

Приложение 3

Мои работы

Приложение 4

Работы учащихся (составление паркета из ромбов Пенроуза)

Приложение 5

Задачи о паркете в заданиях олимпиад.

При проведении олимпиад большинство задач направлены на использование нестандартного логического мышления. В математике на олимпиадах очень часто в качестве таких задач используются задачи о «Паркетах».

Плоскость будем представлять как «бесконечный лист бумаги». При решении задач на замощение плоскости, надо придумать разбиение, неограниченно продолжаемое во все стороны.

Покройте плоскость одинаковыми фигурами, изображёнными на рисунке.

Серёжа вырезал из клетчатой бумаги 12 фигурок и предложил Арине сложить из них площадки для игр: