V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Геометрические формы новых композиционных материалов на основе мыльных плёнок
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Целью работы является создание нового лёгкого и прочного композиционного материала. В каждом композиционном материале есть структура из стержней или плёнок. Это каркас, скелет материала. Как сделать самый прочный и самый лёгкий скелет?
Работа началась с изучения мыльных пузырей. Мыльные пузыри – это самые лёгкие конструкции, потому что они легко поднимаются вверх. Мыльные пузыри – это самые прочные конструкции, иначе они сразу бы лопались. Сейчас продаются застывающие мыльные пузыри. Застывшая плёнка будет самой прочной и самой лёгкой, но только для круглой формы. Нельзя ли сделать мыльные плёнки другой формы, а потом перенести их форму на новый композиционный материал? Задача создания лёгкого и прочного композиционного материала была решена повторением формы мыльных плёнок. Для этого из тонкой проволоки надо изготовить каркасы, опустить их в мыльный раствор и посмотреть на плёнки. Пока я изучаю только кубический каркас, но были изготовлены более сложные.
Результаты работы получены после изучения мыльных плёнок, натянутых на кубический каркас. Сначала плёнки натягиваются по шести граням кубика. Если одну грань проткнуть, то плёнки стягиваются к маленькому пустому квадрату в середине. Сначала считаем, что квадрат в середине настолько маленький, что все мыльные плёнки стянуты в точку в центре кубика. Это приближённое решение для самого лёгкого и прочного композиционного материала с кубической ячейкой и с каркасом из плёнок. Мне было нужно изготовить бумажную модель композиционного материала. Появилось много других задач. Решена задача о бумажной выкройке для одной и для двух пирамидок. Нерешённой осталась задача об одной бумажной выкройке для нескольких пирамидок. С помощью пар пирамидок удалось склеить квадратные панели (6х6=36) из пирамидок, похожие на коробки для яиц. Если эти панели положить в стопку, то образуются кубические ячейки, конструкция становится очень прочной. Бумажные панельки выдерживают не только трёхлитровую банку с водой, но и вес школьника и даже тяжёлого студента. С помощью мыльных плёнок на кубике решена задача о квадратной ячейке. Какая самая короткая линия соединяет четыре вершины квадрата? Эта линия похожа на жучка с четырьмя лапками, она короче двух диагоналей квадрата. Задача решена простыми измерениями всех возможных линий, форма которых такая же, как у кубика с мыльными плёнками, если смотреть сбоку. Числа были введены в компьютер, а потом построен график, на котором есть самая короткая линия. Этой работой заинтересовались специалисты по железобетонным конструкциям в Московском государственном строительном университете, предложили сделать доклад.
Следующая задача, которую я решила измерениями мыльных плёнок, связана с точным решением для кубической ячейки с маленьким пустым квадратом в середине. Этот квадрат приблизительно в три раза меньше стороны ячейки. Это установлено по фотографиям мыльных плёнок. Вторая бумажная модель нового композиционного оказалась более точной, потому что точнее повторяет формы мыльных плёнок на кубе.
Третья модель нового композиционного материала самая точная. Пока изготовлена только одна кубическая ячейка, в которой точно повторены формы мыльных плёнок. Модель изготовлена из пластмассы. В ней есть не только квадрат в середине куба, как на мыльных плёнках, но и крылышки. Такая конструкция самая прочная.
Работа доложена в Казанском (Приволжском) федеральном университете, на конкурсах РОСТ-ISEF-2016 и 2017 в Нижнем Новгороде в Институте Прикладной физики РАН, Президиуме РАН на форуме «Новые материалы 2017», Институте Космических исследований РАН, Санкт-Петербургском Политехническом университете Петра Великого, НИЯУ МИФИ, МАИ, МГСУ-МИСИ, МФТИ, СПбПУ, Институте Машиноведения РАН, на семинаре «Продай свой проект инвестору» фирмы LOGAGroup. Сняты 4 видеоролика о работе и о мыльных плёнках на кубике [6-9].
1. Способы построения каркаса из стержней и плёнок
Работа относится к области композиционных материалов. Основу композиционного материала составляют силовые ячейки. В этой работе изучаются свойства кубической силовой ячейки. Изучаются два способа построения кубической ячейки. Первый способ представляет конструкцию из стержней. Второй способ заключается в формировании конструкции из плёнок. В стержневой кубической ячейке достаточно сравнить небольшое количество возможных вариантов конструкций и выбрать наиболее лёгкую ячейку. В случае плёночных конструкций решение задачи требует применить сложную математику. Но можно сделать проще. Предлагается экспериментальный способ построения минимальных плёночных структур. Этот способ основан на аналогии с мыльными плёнками. В математике это направление известно под как минимальные поверхности [1].
Основу композиционного материала составляют силовые ячейки, соединённые друг с другом в единую матрицу. В этой работе изучаются свойства кубической ячейки как основного структурного элемента силовой матрицы [2-5]. Это армирующая конструкция композиционного материала. Содержательная формулировка задачи сводится к созданию самой лёгкой армирующей, силовой конструкции из стержней и плёнок с элементарной ячейкой в виде куба. Формальная постановка задачи – это минимизация длины стержней в стержневой кубической ячейке и минимизация площади поверхности плёнок в плёночной кубической ячейке. Под кубической ячейкой понимаем геометрическую фигуру, ограничивающую пространство в виде куба силовыми стержнями или плёнками, дополнительно к которым могут быть присоединены не силовые элементы, которые не учитывают при расчёте на прочность и которые не выходят за пределы указанного куба.
Идея этой работы появилась на основе физической аналогии лёгких конструкций с мыльными пузырями. Решение задачи о лёгкой и прочной конструкции можно найти в природном явлении мыльных пузырей. Поверхность мыльного пузыря имеет минимальную площадь, поэтому оболочка очень лёгкая. Однако поверхность мыльного пузыря не имеет контура, натянута сама на себя. Если мыльную плёнку натянуть на контурную рамку, то получится пример минимальной поверхности. Цель работы заключается в создании лёгкой силовой конструкции кубической формы на едином контуре.
Сначала решена более простая задача о минимальной, самой лёгкой ячейке композиционного материала с армированием стержневыми элементами. Эта задача решается методом перебора конечного числа возможных вариантов составления куба из стержней. Нужно так составить стержни, чтобы на них можно было создать уже не силовую лёгкую конструкцию в форме куба. Как составить самую лёгкую кубическую структуру из стержней? Исходной структурой служит каркас куба из стержневых рёбер. Пусть a – длина ребра куба. Тогда исходная стержневая кубическая ячейка будет иметь массу, которая соответствует общей длине 12а всех рёбер куба. Это не рациональная структура с позиции массы. В этой ячейке-кубе есть лишние рёбра. Например, если убрать любое одно ребро куба, то каркас не развалится, но масса арматуры станет меньше, будет равна 11а. Форма кубической ячейки сохранится, потому что по условию задачи силовой каркас можно дополнять какими угодно не силовыми элементами, например, можно заменить исключённое ребро куба тонкой нитью. Можно поочерёдно убирать рёбра куба, пока структура будет кубической и не развалится. Минимальное число рёбер равно 7. Больше рёбра из куба исключать нельзя, потому что либо кубический каркас развалится, перестанет быть единой конструкцией, либо получится элементарная ячейка другой формы, не кубической. В этой работе изучаются свойства только кубической ячейки, другие формы элементарных ячеек армирования композиционных материалов не рассматриваются – это другие работы и другие исследования. Продолжая исследование и синтез лёгкой силовой кубической ячейки, закономерно задать вопрос о существовании более лёгких структур по сравнению с семью рёбрами. Другие более лёгкие структуры существуют. Для доказательства достаточно привести пример такой структуры, построить практически более лёгкую кубическую ячейку. Такая ячейка существует. Например, структура типа противотанкового ежа из четырёх диагоналей куба имеет длину стержней 6,93а, то есть стала легче и соответствует количеству рёбер куба 6,93. Следует вспомнить, что такая диагональная конструкция, похожа на противотанковый ёж, изобретённый генерал-майором М.Л.Гориккером в начале Великой отечественной войны. Эта сравнительно лёгкая и прочная конструкция выдерживала массу тяжёлого танка до шестидесяти тонн. Очередная задача – доказательство единственности полученного оптимального решения. Продолжая исследование, удалось построить пример и доказать существование ещё более лёгкой структуры кубической формы. Самая лёгкая структура, которую удалось найти, – это две диагонали верхней грани, две диагонали нижней грани и вертикальный стержень. Такая структура имеет длину стержней 6,66а, соответствует количеству рёбер куба 6,66, то есть стала ещё легче. Возможно, есть другие более лёгкие кубические структуры из стержней, но их пока найти не удалось. Однако применение аналогии мыльных плёнок вместо сложного математического описания минимальных поверхностей позволило наметить ход дальнейших исследований для поиска минимальных стержневых структур кубической ячейки. Вполне возможно, что существуют более лёгкие стержневые кубические ячейки по сравнению с соответствующей 6,66а.
На рис.1 показан поиск самой лёгкой стержневой структуры куба отмеченными ранее способами. Сначала поочерёдно исключались горизонтальные и вертикальные рёбра куба, пока конструкция не разваливалась, представляла единое целое в арматуре композиционного материала. Потом, после изучения всех возможных вариантов исключения рёбер куба, начался поиск новых, диагональных кубических структур.
Рис.1. Поиск лёгкой стержневой структуры кубической ячейки
2. Первая приближённая бумажная модель повторения мыльных плёнок
Вторая задача более сложная. Теперь требуется составить самую лёгкую кубическую структуру не из стержней, а из плёнок. Теоретически решить такую задачу очень сложно. В математике решению подобных задач посвящён раздел минимальных поверхностей. Такая сложная задача исследуется очень просто с помощью физической аналогии минимальных поверхностей в виде мыльных плёнок. Мыльная плёнка натягивается на контур в виде минимальной поверхности. Силовой армирующей конструкцией будет кубическая оболочка. Пусть длина ребра куба равна а. Тогда шесть граней куба будут иметь площадь 6а2. Для поиска минимальной поверхности надо изготовить кубический контур из тонкой проволоки и опустить его в мыльный раствор. Казалось бы, что решение задачи очевидно, потому что мыльные плёнки натянутся по граням куба. Однако это не всегда так. Действительно, возможно натяжение мыльных плёнок по граням, но существует также другое решение с маленьким пустым квадратом в центре куба. Маленьким пустым квадратом в середине куба пока пренебрегаем. Это материал для дальнейшей работы. Предполагается, что учёт маленького пустого квадрата в середине куба приведёт к синтезу самой лёгкой кубической ячейки композиционного материала из плёнок. Также предполагается, что стержневая конструкция, соответствующая отрезкам схождения мыльных плёнок, приведёт к самой лёгкой стержневой кубической ячейке. Это направление для дальнейших исследований. Если маленьким пустым квадратом в середине куба пренебречь, предположить, что все мыльные плёнки имеют плоский треугольный вид и сходятся в центре куба, то получится плёнка из восьми сходящихся в центре куба треугольников с общей площадью приблизительно 3,4а2, то есть почти в два раза легче. На практике эксперимент с мыльными плёнками позволил получить плёнки либо на шести гранях куба, либо сходящиеся к маленькому пустому квадрату в середине. При этом первый вариант очень легко переходил во второй. Это означает существование метастабильного состояния системы с локальным минимумом потенциальной энергии. Однако во время экспериментов никогда не удалось получить какого-либо третьего вида расположения мыльных плёнок. Это означает, что второй вариант является глобальным минимальным значением потенциальной энергии системы, возможно экстремальным. При повреждении хотя бы одной из плёнок во втором варианте система сразу же лопалась, разрушалась. Вообще говоря, были ещё варианты мыльных плёнок на кубе с множеством пузырей. Такие варианты не изучались, вряд ли они являются оптимальными. На рис.2 показан вид самой лёгкой плёнки на кубе с маленьким пустым квадратом в середине куба.
Рис.2. Минимальная плёночная структура кубической ячейки
На основе этой плёночной структуры построена бумажная модель лёгкой кубической композитной структуры перспективного материала. Основой такой модели является выкройка правильного пятиугольника, которая показана на рис.3. На этом рисунке из одной выкройки можно сделать две пирамидки. Осталась нерешённой задача: можно ли из одной выкройки сделать сколько угодно пимрамидок?
Рис.3. Выкройка для повторения мыльных плёнок на кубике
Это означает, что предложенная плёночная структура композиционного материала вполне может быть изготовлена технологически. Элементом бумажной модели служит правильная четырёхугольная пирамида. В основании пирамиды лежит квадрат со сторона а. Высота пирамиды равна а/2, то есть равна половине ребра куба, половине его высоты. Таким образом, в куб можно вписать две пирамиды, перевёрнутые друг относительно друга, имеющие общую вершину в центре куба. Кубическая ячейка композиционного материала представляется силовыми плёнками – боковыми гранями пирамиды. Плёнки на основаниях этих двух пирамид не нужны по условию задачи, потому что силовой кубический каркас уже сформирован боковыми гранями двух правильных четырёхугольных пирамид. Базовый элемент композиционного материала позволяет изготовить не только плоские панели, но также искривлённые конструкции. Это очень важно для авиации, где с позиции аэродинамики требуется применение лёгких и прочных конструкций сложной формы. Это важно для нового перспективного строительства оригинальных зданий и сооружений, для воплощения новых архитектурных решений в практику. Наконец, это важно экономически, потому что уменьшает расход материала, делает конструкцию более дешёвой.
На рис.4 представлены бумажные панели, соединение которых формирует предложенную плёночную кубическую структуру.
Рис.4. Бумажная модель композиционного материала с плёночной кубической ячейкой
Эта модель нового композиционного материала была испытана на прочность.
3. Вторая бумажная модель повторения мыльных плёнок
Для более точного повторения мыльных плёнок надо было сделать маленький пустой квадрат в середине. Опытным способом было измерено, что квадрат в середине куба имеет размер в 3 раза меньше большой грани кубика. На рис.5 показана фотография мыльных плёнок, по которой я спаяла проволочную модель.
Рис.5. Повторение из бумаги мыльной плёнки с квадратиком в середине
Изготовить бумажные конструкции такой формы можно из прежних бумажных выкроек, если отрезать от пирамидки одну третью часть от острия. Получается более точная модель ячеек композиционного материала, которая показана на рис.6.
Рис.6. Модель ячейки материала с квадратиком в середине
4. Третья самая точная модель повторения мыльных плёнок
Недостатком первых двух моделей было не точное повторение мыльных плёнок на кубике с помощью бумажных выкроек. В первых моделях нет крылышек, которые хорошо видны на мыльных плёнках на кубике. Единую выкройку для ячейки с крылышками получить не удалось, поэтому ячейка композиционного материала была склеена всего в одном экземпляре из полиэтилена. Эта ячейка точно повторяем мыльные лёнки на кубике, поэтому является самой лёгкой и самой прочной. Она показана на рис.7.
Рис.7. Самое точное повторение мыльных плёнок на кубике
5. Испытания построенных бумажных моделей на прочность
Для доказательства прочности бумажных моделей на них наступали школьники и студенты. Самый тяжёлый студент весил 75 кг. Конструкция не сломалась, но только немного похрустывала, потому что пирамидки плотнее притирались друг к другу. На рис. 8 показан пример испытания на прочность во время моего доклада в Московском государственном строительном университете. Сначала на бумажные пирамидки, сделанные по форме мыльных плёнок, наступала я (22 кг), а потом приглашала студента (75 кг). Выдержали. Новые пирамидки ещё прочнее, потому что более точно повторяют форму мыльных плёнок на кубике.
Рис.8. испытание на прочность (22 кг и 75 кг)
Заключение
1. Мыльные плёнки всегда натягиваются по самым лёгким и самыи прочным поверхностям.
2. Для создания нового лёгкого и прочного композиционного материала мыльные поверхности надо точно повторить из пластика или металла.
3. Бумажные модели нового лёгкого и прочного композиционного материала доказали правильность выводов.
4. Удалось сделать геометрические выкройки для первых двух моделей ячеек нового композиционного материала.
5. Изготовление точной ячейки по мыльным плёнкам на кубике более сложное, потому что не получается сделать единую выкройку, но зато ячейка будет прочнее.
6. Испытания на прочность проводились наступанием на модели школьников и студентов до 75 кг – все модели выдержали.
Список использованных источников литературы
1. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М.Прохоров. – М.: Советская энциклопедия, 1983. – 928 с. – Ил. – С.551.
2. Драцкая А.И., Скворцова А.А. Структуры на основе минимальных поверхностей / II Международная школа конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Биомедицина, материалы и технологии XXI века», 20-23 сентября 2016. – Казанский (Приволжский) федеральный университет. – Казань: Изд. К(П)ФУ, 2016. (В печати) – Программа: Секция 11 «Перспективные материалы», 22.09.2016, доклад №5. – Электронный ресурс: http://media.wix.com/ugd/14a693_b2c3ef2616904b0e83da5ff924c337a3.pdf
3. Драцкая А.И., Скворцова А.А. Минимальные кубические структуры из стержней и плёнок / X Всероссийский форум студентов, аспирантов и молодых учёных «Наука и инновации в технических университетах». – Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого, 24-29 октября 2026. – Программа Форума. – Секция «Новые материалы и технологии». – Электронный ресурс: http://ysc.spbstu.ru/forum2016/Program2016.pdf
4. Драцкая А.И., Скворцова А.А. Минимальные кубические ячейки из стержней и плёнок для композиционного материала / 59-я Всероссийская научная конференция с международным участием. – МФТИ-ФАЛТ, г. Жуковский, Московская область. – 21-26 ноября 2016 – Секция «Прочность летательных аппаратов». – Доклад 1505. – Электронный ресурс: http://conf59.mipt.ru/ru/info/main/
5. Драцкая А.И., Скворцова А.А. Лёгкие композиционные структуры / 28-я Инновационно-ориентированная конференция молодых учёных и студентов МИКМУС-2016. Материалы конференции (программа, аннотации докладов). – М.: Институт Машиноведения им. А.А.Благонравова РАН (ИМаш РАН), 7-9 декабря 2016. – С.96. – Электронный ресурс: http://www.mikmus.ru/opendocs/MIKMUS-2016/Pr_16_sait.pdf
6. Драцкая А.И. Минимальные поверхности 1. – Видеоролик, апрель 2016 г. - Электронный ресурс: https://youtu.be/4i38ltYQ0cw
7. Драцкая А.И. Новый композиционный материал из мыльных плёнок. – Электронный ресурс (видеоролик): https://youtu.be/vZOu-Ge6hD0
8. Драцкая А.И. Математика и физика нового композиционного материала. – Электронный ресурс (видеоролик): https://youtu.be/hRUs8yz1JeI
9. Драцкая А.И. Задача Штейнера для вершин куба. – Электронный ресурс (видеоролик): https://youtu.be/31ZpsofFEW0
15