V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КРАСОТА В РАБОТАХ М.ЭШЕРА, ИЛИ «НЕВОЗМОЖНОЕ ВОЗМОЖНО»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В 2014 году мне посчастливилось побывать в чинной и благородной королевской Гааге.
Очень сильное впечатление на меня произвело посещение музея Эшера, который был открыт в 2002 году.
С удивлением и восхищением я рассматривала его литографии и гравюры, где пространство вывернуто наизнанку, где люди поднимаются по лестницам, ведущим вниз, а вода, стекающая с мельничного колеса, течет вверх. Они как бы уносят нас в мир оптических иллюзий и метаморфоз. Играя с воображением зрителя, художник в каждой гравюре создает собственный мир невозможного, в котором возможно всё.
Один из этажей в музее отведен под игры с пространством. Обман зрения, разный облик одинаковых по размеру предметов. Посетители оказываются в мире, где иллюзия реальней действительности. А на последнем этаже музея расположилась интерактивная выставка “Смотри, как Эшер”. Это настоящий волшебный мир иллюзий. В магическом шаре появляются и исчезают миры, стены двигаются и изменяются, а дети выглядят выше родителей. Чуть дальше находится необычный пол, который оптически проваливается под каждым шагом, а в серебряном шаре можно увидеть себя глазами Эшера.
Цель работы: показать красоту и логику математических форм в творчестве М. К. Эшера.
Гипотеза: творчество Эшера тесно связано с геометрией как на плоскости, так и в пространстве, что придает его работам фантастичность и необычность.Задачи исследования:
1. Изучить творчество М. К. Эшера.
2. Определить роль геометрии в его творчестве.
3. Показать влияние работ Эшера на развитие математики в XX веке.
4. Показать связь между математикой, информатикой и изобразительным искусством.
Основная часть.
Биография М.К. Эшера
Морис Корнелиус Эшер - нидерландский художник-график, родился 17 июня 1898 года в Леевардене, административном центре голландской провинции Фрисландия.
С детства увлекался рисованием, а в юности познакомился с технологией формирования печатного рисунка. В 1921 году семья Эшеров посетила Ривьеру и Италию. Молодой Морис был очарован пейзажами и растительностью средиземноморья. Эта любовь к природе южной Европы осталась с ним на всю жизнь. Потом он не раз возвращался в Италию.
Вовремя 1920-х и 1930-х годов Мауриц Корнелис Эшер часто совершал длительные путешествия в Италию, где находил вдохновение для своих работ. Во время своих поездок он не только делал эскизы, но и много фотографировал, которые в дальнейшем нашли своё отражение в работах художника.
Во время одного из путешествий Эшер посетил Альгамбру (Испания), где познакомился с арабским декоративным искусством. После этой поездки художник начал активно экспериментировать с изображением мозаичных изображений.
Во время пребывания в Италии, Швейцарии и Бельгии Эшер создал несколько десятков пейзажей, тщательно прорисованных и выполненных в абсолютно реалистическом стиле (см. Приложение 1). В 1939 году он также выполнил серию видов Делфта (город и община в Нидерландах, в провинции Южная Голландия, на полпути между Роттердамом и Гаагой). Но в этих пейзажах, уже просматривается необычная перспектива: виды городов даются сверху или с большого расстояния. В поздних работах Маурица Эшера эта перспектива была развита для создания оптических иллюзий (см. Приложение 2).
В период с 1950 по 1960 годы он создал свои наиболее известные картины, в том числе и с невозможными конструкциями.
Творчество Эшера раньше других оценили представители естественных наук, математики и психологи. Математики сразу признали художника «своим», хотя сам Эшер не имел специального математического образования. «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я полный тупица! Более того, они уверены, что мои невозможные объекты существуют на самом деле», – изумлялся Эшер1.
Мозаика
В 1936 году, посещая Альгамбру (Испания), Эшер детально изучил мавританские мозаики, которые в впоследствии назвал "богатейшим источником вдохновения" (см. Приложение 3).
В геометрии под мозаикой (паркетом) понимают заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами мозаики), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда мозаикой называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками)2. Обычный тетрадный лист в клеточку представляет собой простейшую геометрическую мозаику. Элементом здесь является квадрат. Элементами мозаики могут быть также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов. Некоторые из них изображены на рис.1.
Рис.1
На рис. 2 приведен элемент простой мозаики, который разбит на рисунке справа на четыре одинаковые фигурки - элементы новой мозаики, а на рис. 3 показаны элементы новой мозаики, также состоящие из четырех таких фигурок.
Рис. 2 Рис. 3
На рис. 4 представлены фигуры, с помощью которых можно получить мозаику, перемещая их на некоторое расстояние и как бы вкладывая в предыдущую.
Рис. 4
Морис Эшер придумал наиболее запоминающиеся рисунки мозаик. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий, находящиеся в определенном порядке по отношению друг к другу. На рис. 5 и 6 представлены элементы мозаики в виде фигурок животных и птиц, которыми оперировал Морис Эшер в своих знаменитых рисунках.
Рис. 5
Морис Эшер придумал наиболее запоминающиеся рисунки мозаик. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий, находящиеся в определенном порядке по отношению друг к другу. На рис. 5 представлены элементы мозаики в виде фигурок животных и птиц, которыми оперировал Морис Эшер в своих знаменитых рисунках3.
Мозаики, подобные приведенным, универсальны по применению. Одним из факторов популярности мозаик Эшера является их способность заставлять зрителя погружаться в изучение подробностей рисунка - от мелких деталей к крупным, от восприятия в целом к сосредоточению на одном элементе.
По мнению психологов, разглядывание мозаик - отличный способ расслабления и отдыха.
Метаморфозы
Одним из самых выдающихся аспектов творчества Эшера является изображение «метаморфоз», фигурирующих в разных формах во множестве работ.
Метаморфоза (греч. metamorphosis) – это превращение, переход из одной формы в другую с приобретением нового внешнего вида.4
Художник подробно исследует постепенность перехода от одной геометрической фигуры к другой, посредством незначительных изменений в очертаниях. Эшер неоднократно рисовал метаморфозы, происходящие с живыми существами и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живых существ.
"Небо и вода" - так называется одно из произведений художника. На рисунке два основных объекта: это существа, обитающие в небе и воде — птица и рыба. При движении по рисунку снизу-вверх, накапливаются несущественные, едва различимые отличия у сходных объектов. Это приводит к новому объекту, совершенно не похожему на исходный.
Произведение «День и ночь» является одной из самых известных работ художника. Эта работа отражает перетекание одного в другое: одна стая птиц перетекает в другую, геометрические формы не позволяют определить четкие границы изображения. Сочетание черного и белого отражает две противоположности. Черный цвет удивительным образом преобразуется в белый и наоборот. Изображение выполнено таким образом, что кажется объемным.5
Главной же жемчужиной музея является 7-метровая работа Эшера – «Метаморфозы». Эта гравюра позволяет испытать связь между вечностью и бесконечностью, где время и пространство объединяются в единое целое.
Искусство имп-арт
«Рисовать – значит обманывать» - говорил Эшер.Ведь любая картина в сущности представляет собой набор линий и цветовых пятен, расположенных на плоскости! От художника требуется определённое мастерство, чтобы убедить зрителя в наличии объёма, перспективы, создать иллюзию пространства в своём произведении.6
Самостоятельным направлением невозможного искусства является направление имп-арт.
Имп-арт (англ. impossible art) — невозможное искусство. Его целью является изображение невозможных фигур и объектов.7 Как правило, их называют так, потому что они не могут существовать в реальном мире. Более точно, невозможными фигурами называют геометрические объекты, нарисованные на бумаге, которые производят впечатление обычной проекции трехмерного объекта, однако, при внимательном рассмотрении становятся видны противоречия в соединениях элементов фигуры8. Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Именно М.К.Эшеру невозможные фигуры обязаны своей популярностью и известностью в творческой среде.
Наиболее известными невозможными фигурами являются: невозможный треугольник куб («куб Эшера»), бесконечная лестница и невозможный трезубец.9
Невозможный треугольник - одна из самых простых фигур, каждая часть которой в действительности существует по отдельности, но их комбинация в трехмерном пространстве невозможна. Восприятие всей фигуры как композиции неправильных соединений между ее реальными частями ведет к обманчивому эффекту невозможной структуры. По существу, взгляд пытается восстановить реальную трехмерную структуру, но наталкивается на несоответствие.