V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение методик “раскраски” и “разъемных фигур” при решении геометрических задач на треугольники
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Паспорт проектной работы
Название проекта: Применение методик “раскраски” и “разъемных фигур”
при решении геометрических задач на треугольники
Руководитель проекта: Погорелова Любовь Сергеевна (учитель математики)
Учебный предмет, в рамках которого проводится по проекту: геометрия, информатика
Учебные дисциплины, близкие к теме проекта: геометрия, информационные технологии
Возраст учащихся, на которых рассчитан проект: 13-14 лет
Тип проекта:
По характеру результатов: практико-направленный
По форме: электронный, на электронном носителе
По профилю знаний: межпредметный
По числу участников: личный
По уровню контактов: внутришкольный
По продолжительности: долгосрочный
На основе материалов: исследовательский, информационный, практико-направленный.
Цели проекта:
изучение общих методик решения задач по геометрии и их применение к решению задач;
создать пособие, которое будет использоваться как учениками, так и учителями
Задачи проекта:
Задачи, направленные на формирование личностных результатов учащихся:
формирование уважительного отношения к иному мнению;
развитие мотивов учебной деятельности и формирование личностного смысла учения;
развитие навыков сотрудничества со взрослыми в разных социальных ситуациях;
Задачи, направленные на формирование метапредметных результатов:
формирование умения работать с информацией (сбор, систематизация, хранение, использование);
формирование умения принимать и сохранять цель и учебные задачи проектной деятельности;
развитие операций мышления: сравнения, сопоставления, анализа, синтеза, обобщения, классификации;
развитие умения использовать различные способы поиска информации (в справочниках, энциклопедиях, сети Интернет и др.);
Задачи, направленные на формирование предметных результатов:
овладение методикой решения геометрических задач, в основе которых лежат «раскраска» и «разъём фигур»;
найтипрактическое применение теоретическим знаниям при решении задач.
Необходимое оборудование: компьютер, видеопроектор.
Предполагаемый продукт проекта: диск с решением геометрических задач методом «раскраски» и «разъёмных» фигур.
Этапы работы над проектом:
Первый этап (октябрь-ноябрь): самостоятельное формулирование темы исследования; просмотр литературы по методике преподавания геометрии.
Второй этап (декабрь-январь): отбор материала для проекта и его оформление, создание презентации.
Третий этап (февраль): представление проекта на уроках геометрии в 7-ых классах; изучение общественного мнения и оформление результатов.
Четвёртый этап (март): представление проекта на научно-практической конференции.
План работы над проектом
1.Аналитический блок.
1.1 Определение целей.
1.2 Формирование задач проекта.
1.3 Актуальность проекта
2.Этапы работы над проектом.
2.1 Самостоятельное формулирование темы исследования; просмотр литературы по методике преподавания геометрии.
2.2 Отбор материала для проекта и его оформление, создание презентации.
2.3 Представление проекта на уроках геометрии в 7-ых классах;
2.4 Изучение общественного мнения и оформление результатов;
2.5 Расчет стоимости проекта.
3. Итог работы над проектом.
3.1 Защита проекта на научно-практической конференции;
3.2 Сфера применения проекта.
Введение
Систематическое изучение геометрии как одного из разделов математики начинается с седьмого класса. Опрос учащихся и опубликованные статистические данные показывают, что наибольшими трудностями при решении геометрических задач являются: построение рисунка по условию задачи и применение теоретических знаний к конкретной задаче. С решением задач по планиметрии при тестировании справляются ⅔ учеников.
Цель моего проекта: изучение общих методик решения задач по геометрии и их применение к решению задач и создание пособия, которое будет использоваться как учениками, так и учителями.
Задачи проекта:
Задачи, направленные на формирование личностных результатов учащихся:
формирование уважительного отношения к иному мнению;
развитие мотивов учебной деятельности и формирование личностного смысла учения;
развитие навыков сотрудничества со взрослыми в разных социальных ситуациях.
Задачи, направленные на формирование метапредметных результатов:
формирование умения работать с информацией (сбор, систематизация, хранение, использование);
формирование умения принимать и сохранять цель и учебные задачи проектной деятельности;
развитие операций мышления: сравнения, сопоставления, анализа, синтеза, обобщения, классификации;
развитие умения использовать различные способы поиска информации (в справочниках, энциклопедиях, сети Интернет и др.).
Задачи, направленные на формирование предметных результатов:
овладение методикой решения геометрических задач, в основе которых лежат «раскраска» и «разъём фигур»;
найтипрактическое применение теоретическим знаниям при решении задач.
Первоначальный этап изучения вопроса я начала с просмотра литературы по методике преподавания геометрии. В просмотренной мной литературе я нашла следующие методики: геометрическую, алгебраическую и комбинированную.
Геометрическими методиками могут быть представлены:
— методика решения задач на доказательство;
— методика получения фигур с заданными свойствами;
— методика геометрический преобразований (симметрия центральная и осевая, параллельный перенос, поворот и т.д.);
— методика площадей;
— векторно-координатная методика и т.д.
К алгебраическим методикам относятся:
— методика прямого счета;
— поэтапно-вычислительная методика.
Чаще всего при решении геометрических задач используется комбинированная методика.
При изучении литературы по методике решения задач я натолкнулась на применение методики “раскраски”. Методика “раскраски” достаточно хорошо известна и освещена в математической литературе. В качестве примера можно привести книгу «Геометрия на плоскости» авторов В.В. Амелькина, В.Л. Рабуцевича, В.Л. Тимоховича, где достаточно часто встречается раскраска отдельных частей чертежа. Методика “раскраски” наиболее часто встречается при решении нестандартных задач олимпиадного характера. Изучение электронных материалов натолкнуло меня на мысль о возможности наглядно показать, каким образом имеющиеся у учеников базовые знания, могут быть применены к решению задач:
- как, изучив чертеж из 5-7 треугольников, выделить пары равных;
- как расчленить геометрическую задачу на части;
- как составить «пошаговый план» решения задачи.
Остается отметить, что у меня появилась идея о совмещения движения с разбиением единого чертежа на части, вычленения отдельных равных треугольников.
Для ознакомления с новой методикой “разъемных фигур” мною была создана учебная презентация по теме «Применение методик “раскраски” и “разъемных фигур” при решении геометрических задач на треугольники».
В настоящее время широкая компьютеризация школ дает возможность расширить арсенал средств, позволяющих ученику глубже овладеть методиками решения задач, не только хорошо известными, но и новыми. Так на стыке двух наук, математики и информатики, у меня возникла идея о создании новой методики, которую я назвала “методикой разъемных фигур”. По-моему, название последней методики наиболее полно отражает ее суть.
Глава 1 Теоретическое обоснование темы исследования
Ни у кого не возникает сомнений, что теоретические знания далеко не всегда могут найти практическое применение при решении задач.
На примере решения задач на треугольники используем следующие функции компьютера:
Предъявление подвижных образов в качестве основы для осознанного овладения математическими фактами;
Усиление значимости и повышение удельного веса в учебном процессе исследовательской деятельности учащихся.
После того, как мною был определен предмет исследования, я перешла к поиску средств, наиболее доходчиво объясняющих методики решения задач по теме «треугольники».
С этой целью была изучена определенная психологическая литература, в которой говорится об особенностях внимания, мышления и восприятия.
Учитывая психологические особенности внимания учащихся, в данной работе между отдельными слайдами, где рассматриваются решения задач, даются слайды на образование фигур из отдельных треугольников, окружностей и изогнутых линий. На мой взгляд такие слайды позволяют удерживать внимание, которому способствует фактор неожиданности, с одной стороны, а с другой стороны усиливает процесс мышления.
Глава 2 Ход исследования и результат работы
1. Изучение литературы по методике преподавания геометрии и учебников;
2. Просмотр видеоматериалов, электронных материалов;
3. Ознакомление с материалами, размещенными в интернете в помощь учителям математики и ученикам;
4. Выделение основных положений, направленных на овладение учащимися методикой решения геометрических задач;
5. Разработка методики “разъемных фигур”;
6. Создание учебного пособия для учителей и учащихся.
Итак, рассмотрим ряд конкретных задач, которые могут быть использованы при обучении. Задания подобраны таким образом, чтобы выработать у учащихся навыки применения методик “раскраски” и “разъемных фигур”.
Для наиболее полного осмысления возможностей применения методик “раскраски” и “разъемных фигур” сопоставим рисунки, которые даются в приложении со слайдами в нашей презентации.
Первый слайд (рис.1) дает возможность актуализировать знания по теме: «Признаки равенства треугольников».
Рис.1
На слайде даются три пары равных треугольников. Каждая из пар соответствует трем признакам равенства треугольников.
В первой паре две стороны окрашены в разные цвета и между ними отмечены равные углы, что соответствует первому признаку равенства треугольников.
Во второй паре раскраской выделена сторона и два угла, прилежащие к этой стороне, что соответствует второму признаку равенства треугольников.
В третьей паре выделены три стороны, что соответствует третьему признаку равенства треугольников.
Теперь можно применять наши знания к решению задачи №1. (Рис.2).
Рис.2
Первоначальный анализ условия задачи с применением раскраски дает возможность уяснить, что для решения может быть применен I или III признак. Выявив равенство вертикальных углов, применяем I признак равенства.
Задача №2. (Рис.3 и рис. 4)
На чертеже дано пять треугольников, из которых необходимо выбрать пару равных (рис.3).
Рис.3
Применим к решению задачи методику “разъемных фигур”, обращая при этом особое внимание на тот факт, что искомые треугольники должны иметь по два равных угла, уже заданных в условии задачи.
При этом обращает на себя тот факт, что к решению задачи может быть применен лишь второй признак равенства треугольников. На рисунке после применения методик “раскраски” и “разъемных фигур” мы легко обнаруживаем искомые треугольники.
Задача №3. (Рис. 4 и рис. 5)
Применив методику “раскраски” и “разъемных фигур”, мы видим, как из рис.4 получаем рис.5.
Рис.4
Рис.5
Теперь ясно, что к задаче можно применить только второй признак равенства треугольников. Обосновав равенство сторон, к которым прилежат по два равных угла, получаем искомое равенство.
Задача №4. (Рис. 6 и рис. 7)
На чертеже 4 треугольника. (Рис.6)
Рис.6
Раскраска позволяет сделать вывод о применении II признака, а методика “разъемных фигур” (рис.7) позволяет увидеть равные треугольники.
Рис.7
Задача №5. (Рис. 8)
Рис.8
Для задачи применим “пошаговый план”:
Из восьми треугольников мы выбираем пару равных, применив раскраску;
Из равенства треугольников делаем вывод о равенстве сторон;
Приходим к суждению о том, что искомый треугольник равнобедренный.
Перед решением шестой задачи проведем актуализацию знаний по теме: «Признаки равенства прямоугольных треугольников» (рис. 9), применив методику “раскраски”.
Рис.9
I признак: по равенству двух катетов;
II признак: по равенству гипотенузы и катета;
III признак: по равенству катета и прилежащего к нему острому углу;
IV признак: по равенству катета и противолежащего ему острому углу;
V признак: по равенству гипотенузы и прилежащего к ней острому углу.
Раскраска позволяет понять, что при применении признаков равенства прямоугольных треугольников необходимо найти лишь два условия, при которых треугольники будут равны.
Рассмотрим задачу №6. (Рис. 10 и рис. 11)
Применяем “пошаговый план”, “раскраску” и методику “разъемных фигур”.
1) Из семи треугольников выбираем 2 пары равных и применяем к ним методику “разъемных фигур” (рис.10);
2) Из равенства второй пары следует равенство сторон (рис.11);
3) Равенство сторон обуславливает положение о равнобедренности треугольника (рис.10).
Рис.10
Рис.11
Задача№7. (Рис. 12).
Применив методику “раскраски”, из восьми треугольников выделяем равенство двух пар. Из равенства последней пары выделяем равенство сторон и доказываем, что искомый треугольник равнобедренный.
Рис.12
Перед задачей №8 проведем актуализацию знаний по теме: «Подобие треугольников» (рис. 13), применив методику “раскраски”.
Рис.13
I признак: подобие по равенству двух углов;
II признак: подобие по пропорциональности двух сторон и равенству углов заключенных между ними;
III признак: подобие по пропорциональности всех сторон.
Внесение раскраски дает возможность ученику понять, в чем состоят отличительные черты каждого из признаков.
Перейдем к решению задачи №8. (Рис. 14 и рис. 15)
Сложность решения задачи заключается в том, что учащимся приходится сталкиваться с подобием прямоугольных треугольников.
Перечислив все треугольники, изображенные на рис.14, которых восемь, попробуем найти возможные пары подобных. Ясно, что второй и третий признаки не могут быть применены к решению задач. Из выделенных треугольников только к одной из пар может быть применен первый признак подобия (рис.15).
Рис.14
Рис.15
Задача№9. (Рис. 16 и рис. 17)
Рис.16
В этой задаче, нанеся раскраску (рис.16), легко можно найти подобные фигуры (рис.17).
Рис.17
На первоначальном этапе работы я применяла лишь методику “раскраски” и по итогам работы было создано пособие для седьмых классов, но уже здесь были использованы возможности компьютера, приводящие фигуры в движение и разбивающие их на части. В процессе работы над этим вопросом стало ясно, что возможность ввести движение позволяет создать новую методику – методику “разъемных фигур”. В результате этой работы было создано пособие «Решение геометрических задач на треугольники с использованием методик “раскраски” и “разъемных фигур”».
Методика “разъемных фигур” является условным названием. После того, как было создано пособие, я решила проверить, не встречалась ли ранее такая методика. С этой целью мною были изучены сайты в интернете и имеющиеся в продаже учебные пособия на дисках, а также журналы «Математика в школе» и «Математика». Анализ всех этих источников показал, что подобных методик до сих пор не было рассмотрено.
Заключение
Ознакомившись с решением задач, Вы могли убедиться в доступности и наглядности применения методик “раскраски” и “разъемных фигур”. Использование данного материала дает возможность учителю доходчиво объяснить пути решения задач, а ученикам их усвоить.
Список литературы
Р. Аткинсон «Человеческая память и процесс обучения». Москва «Прогресс» 1980г.
Дж. Бругер. «О готовности к восприятию» 1977г.
Дж. Бругер «Психология познания» 1977г.
Поль Фресс, Жан Плаже «Экспериментальная психология». «Прогресс» 1978г.
А. И. Фетисов «Методика преподавания геометрии». Москва «Просвещение» 1976г.
В. А. Гусев «Методика преподавания геометрии в 6-8 классах». Москва «Просвещение» 1979г.
Ю. К. Бабанский «Оптимизация учебно-воспитательного процесса». Москва «Просвещение» 1982г.
Л. М. Фридман «Психолого-педагогические основы обучения математике в школе». Москва «Просвещение» 1983г.
В. В. Амелькин, В. П. Рабцевич, В. Л. Тимохович «Геометрия на плоскости». Москва «Оникс 21 век» 2003г.
В. А. Гусев, В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович «Практикум по элементарной математике. Геометрия». Москва «Просвещение» 1992г.
М. В. Лурье «Геометрия. Техника решения задач». Москва УНЦ ДО 2002г.
В. Полонский, Е. Рябинович, М. Якир «Задачник к школьному курсу 7-11 класс». «АСТ - ПРЕСС» 1988г.
Р. К. Гордин «Планиметрия. Задачник 7-9 класс». Москва МЦНМО 2004г.
А. А. Окунев «Углубленное изучение геометрии в 8 классе». Москва «Просвещение» 1996г.
Журнал «Математика в школе»;
Журнал «Математика» приложение к газете «1 сентября».
Электронные материалы.
Успешная подготовка к ЕГЭ по математике 1, 2, 3 части.
Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Уроки алгебры 7-9 класс. Уроки геометрии 7-10 класс
Приложение к журналу «Математика» №20/2010
Приложение к журналу «Математика в школе» №1-4/2011