V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Неквадрируемые фигуры
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.
(В. Произволов)
Кто бы мог подумать, что изучение геометрии на старшей ступени школы принесет открытие, послужившее толчком для написания исследовательской работы по теме, выбивающейся из привычного набора действий при решении элементарной задачи на вычисление площади? Оказывается, не всегда такого рода задача решаема, и доказательству этого факта посвящена данная работа.
Площадь – одна из основных величин, характеризующих геометрические фигуры. Вычислять площадь прямоугольника и квадрата школьники учатся уже в начальной школе, а в среднем звене узнают, каким образом можно вычислить площадь любой многоугольной фигуры. По итогам обучения в основной общей школе каждый школьник знает, что у любой фигуры можно найти площадь, а значит, она существует для любой фигуры. Однако, как оказалось, это совсем не так.
Более подробное изучение вопроса существования площадей у фигур заинтересовало автора работы, и в результате проведения исследования по данной теме были найдены описания таких фигур, которые не имеют площади. Поскольку в научной литературе существование площади у какой-либо фигуры или множества называется «квадрируемостью», то темой данной исследовательской работы была взята тема «Неквадрируемые фигуры».
Цель работы состоит в поиске и изучении неквадрируемых плоских множеств и доказательстве их неквадрируемости.
В соответствии с поставленной целью автором выделены следующие задачи:
изучить учебную литературу, содержащую материалы по теории квадрируемости фигур;
разобраться в сути понятий, связанных с данной темой;
найти в учебной литературе примеры неквадрируемых фигур и попытаться доказать их неквадрируемость;
проанализировать данные примеры на предмет нахождения общих принципов построения такого рода фигур.
Оказывается, можно различными способами конструировать множества, не имеющие площади, и в данной работе выделен целый класс неквадрируемых множеств.
КВАДРИРУЕМОСТЬ ФИГУР
Теория квадрируемости фигур
Определение. Множество точек на плоскости называется ограниченным, если можно найти такой круг конечного радиуса, который содержит все точки этого множества.
Определение. Плоской фигурой будем называть любое ограниченное множество точек на плоскости.
Определение. Объединение конечного числа многоугольников будем называть многоугольной фигурой.
Возьмем некоторую плоскую фигуру F и рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры P, содержащиеся в этой фигуре F, и такие многоугольные фигуры будем называть вписанными.
Q
F
рис. 1
Кроме того, рассмотрим многоугольные фигуры Q, целиком содержащие фигуру F, и будем называть их описанными многоугольными фигурами.
Для каждой многоугольной фигуры P и многоугольной фигуры Q можем найти их площади. Обозначим SP - площадь многоугольной фигуры Р, SQ - площадь многоугольной фигуры Q. Рассмотрев множества площадей SP и SQ таких фигур можно сделать вывод об ограниченности множества площадей SP сверху площадью фигуры Q, и ограниченности множества площадей SQ снизу площадью фигуры P. Значит, множествоSP имеет верхнюю грань, а множество SQ имеет нижнюю грань. Эти значения называются соответственно верхней площадью и нижней площадью фигуры F.
Определение. Плоская фигура F называется квадрируемой (т.е. имеющей площадь), если верхняя и нижняя площади фигуры F совпадают, при этом данное значение площадей и называется площадью этой фигуры F.
Определение. Точка x называется граничной к множеству М, если в любой окрестности этой точки есть как точки из множества М, так и точки, не принадлежащие множеству М.
Граничная точка может принадлежать множеству М, а может и не принадлежать множеству М.
Определение. Совокупность всех граничных точек множества М называется границей М, обозначается грМ.
Теорема (критерий квадрируемости плоской фигуры)
Плоская фигура F квадрируема тогда и только тогда, когда ее граница грF имеет площадь нуль.
2.2 Множество рациональных точек единичного квадрата
Рассмотрим множество A, представляющее собой точки единичного квадрата, обе координаты которых рациональны (рис. 2).
рис. 2
Рассмотрим границу данного множества: грА. Границей множества, по определению, является совокупность всех граничных точек этого множества. Определим, что является границей множества А и какова площадь границы.
Возьмем некоторую точку и выберем произвольную окрестность этой точки (рис. 3).
Сама точка , значит для того, чтобы эта точка была граничной для A, нужно найти в окрестности хотя бы одну точку, не принадлежащую множеству А. Такой точкой будет являться точка, у которой либо одна иррациональная координата, либо обе координаты иррациональны.
Существование хотя бы одной такой точки, принадлежащей выбранной окрестности, следует из свойства плотности множества иррациональных чисел на числовой прямой.
Следовательно, в любой окрестности любой точки из множества А будет хотя бы одна точка, не принадлежащая множеству А. Значит, любая точка из А является граничной для этого множества.
2) Возьмем произвольную точку из единичного квадрата, не принадлежащую множеству А, т. е. , и рассмотрим произвольную окрестность этой точки (рис. 4). Взятая точка не принадлежит множеству А, значит для того, чтобы она была граничной для А, нужно найти в хотя бы одну точку из множества А.
1
0
1
рис. 4
Существование хотя бы одной такой точки, принадлежащей выбранной окрестности, следует из свойства плотности множества рациональных чисел на плоскости.
Таким образом, в любой окрестности произвольной точки единичного квадрата, не принадлежащей множеству А, есть хотя бы одна точка из множества А. Значит, любая точка, принадлежащая единичному квадрату, но не принадлежащая множеству А будет являться граничной для этого множества.
Итак, можем сделать вывод, что граница множества А, т. е. гр А, совпадает с самим единичным квадратом. Площадь единичного квадрата равна единице, тогда и площадь границы множества А равна единице. Таким образом, площадь границы множества А не равна 0, значит множество А является неквадрируемой фигурой.
Пример приведен из книги Гелбаума Б., Олмстеда Дж. «Контрпримеры в анализе».
2.3 Множество иррациональных точек единичного квадрата
Рассмотрим множество B, представляющее собой точки единичного квадрата, обе координаты которых иррациональны (рис. 5).
Рассмотрим границу этого множества, т. е. определим, какое множество является границей множества В.
рис. 5
Возьмем некоторую точку и выберем произвольную окрестность этой точки (рис.6).
Сама точка , значит для того, чтобы эта точка была граничной для В, нужно в окрестности точки , т. е. в , найти хотя бы одну точку, не принадлежащую множеству В. Такой точкой будет являться точка, у которой либо одна рациональная координата, либо обе координаты рациональны. Существование хотя бы одной такой точки в можно доказать, воспользовавшись свойством плотности множества рациональных точек Q на числовой прямой.
А это означает, что хотя бы одна точка, не принадлежащая множеству В, обязательно найдется в . Следовательно, любая точка из В является граничной для этого множества В.
Возьмем произвольную точку из единичного квадрата, не принадлежащую В:, и рассмотрим произвольную окрестность этой точки (рис. 7).
1
0
1
рис. 7
Сама точка , значит для того, чтобы точка была граничной для В, нужно в найти хотя бы одну точку, принадлежащую В. Существование такой точки следует из свойства плотности множества иррациональных точек I на плоскости. Тогда в найдется хотя бы одна точка из множества В. А это значит, что произвольная точка, принадлежащая единичному квадрату и не принадлежащая самому множеству В, является граничной для множества В.
Итак, граница множества В совпадает с самим единичным квадратом. Значит, площадь границы множества B равна единице, а значит площадь границы множества В не является множеством площади 0, значит множество В является неквадрируемой фигурой.
Пример придуман автором работы.
Рассмотрев способы построения множеств в п. 2.2 и 2.3, можно обобщить их и сказать, что подобных неквадрируемых фигур можно построить бесконечное множество, поскольку только квадратов с различными длинами сторон можно построить бесконечно много. Но для построения подобного множества достаточно взять не только единичный квадрат, но и любую другую известную фигуру, например, треугольник, трапецию, прямоугольник, круг, эллипс, произвольный n – угольник, и т. д. и в этой фигуре рассмотреть точки с обеими рациональными или иррациональными координатами, либо с одной рациональной, другой иррациональной координатами.
2.4 Канал на острове
Рассмотрим построение данного множества. Пусть дан квадратный «остров» со стороной 1 м. От берега вглубь острова роют «канал» и притом так, чтобы «канал» сам себя не пересекал.
1 день: площадь прорытого «канала» составляет , а каждая точка «острова» отстоит от прорытого «канала» не более чем на (рис. 8);
2 день: площадь прорытого «канала» составляет , а каждая точка «острова» отстоит от прорытого «канала» не более чем на , и т. д.;
рис. 9
n-й день: площадь прорытого «канала» составляет , а каждая точка «острова» отстоит от прорытого «канала» не более чем на , и т. д.
Продолжая этот процесс дальше неограниченно, получим «канал». Заполним «канал» водой, и обозначим поверхность воды через М. Множество М не будет содержать линию берега, и каждая точка на поверхности воды входит в это множество М с некоторой своей окрестностью, а значит, множество М будет открытым множеством. Именно множество М является неквадрируемой фигурой.
Доказательство неквадрируемости данной фигуры автор работы считает очень интересной задачей и рассматривает ее решение в качестве цели для продолжения данного исследования.
III ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной исследовательской работе рассмотрены теоретические сведения о квадрируемых фигурах и примеры неквадрируемых плоских множеств.
Цель работы – поиск и изучение неквадрируемых плоских множеств на предмет доказательства их неквадрируемости – в процессе работы была достигнута путем реализации поставленных задач.
В основной части работы рассмотрены основные понятия и теоремы, используемые в работе из теории квадрируемости плоских фигур. Также в основной части работы рассмотрены примеры неквадрируемых множеств, найденные автором работы в научной литературе, а также самостоятельно придуманные, и доказательство их неквадрируемости на основе невыполнения критерия квадрируемости плоских множеств. После детального изучения данных множеств делается вывод о том, что подобных неквадрируемых фигур можно построить бесчисленное множество.
В качестве дополнительного необычного примера неквадрируемой фигуры приведено описание неквадрируемой фигуры «Канал на острове», конструкция которой использует оригинальные способы построения. Доказательству неквадрируемости описанной фигуры направлены усилия автора в настоящий момент.
Работа над исследованием позволила автору узнать новые факты о теме «Вычисление площадей», углубить свои знания по теории квадрируемости, а также позволила попробовать свои силы в построении доказательных рассуждений при решении задач данной работы.
IV СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Виленкин Н. Я., Ивашев – Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ: Учебное пособие для учащихся 11 класса школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1996. – 288 с.
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967. – 251 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа 1 ч. – М.: Наука, 1967. – 567 с.
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. – М.: Наука, 1979. – 720 с.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972. – 490 с.
Макаров И. П. Дополнительные главы математического анализа. – М.: Просвещение, 1968. – 312 с.
Математический энциклопедический словарь /Под ред. Ю. В. Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1988. – 847 с.