V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Квадратное уравнение

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Якупова  М.И. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 11

Смирнова  Ю.В. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 11

Работа в формате PDF

322.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

История квадратных уравнений

Вавилон

Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений, изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Древняя Греция

Решением квадратных уравнений занимались и в Древней Греции такие ученые как Диофант, Евклид и Герон. Диофант Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры. Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в 13 книгах. Евклид. Евклид древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике Герон. Герон – греческий математик и инженер впервые в Греции в I век н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения

Индия

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая

А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась

Стали прыгать, повисая

Их в квадрате часть восьмая

Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась

Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение Бхаскара пишет под видом x2 - 64x = - 768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: x2 - б4х + 322 = -768 + 1024, (х - 32)2 = 256, х - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Квадратные уравнения в Европе XVII века

Формулы решения квадратных уравнений по образцу Ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Определение квадратного уравнения

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c - числа, , называется квадратным.

Коэффициенты квадратного уравнения

Числа а, b, с – коэффициенты квадратногоуравнения.а – первый коэффициент (перед х²), а ≠ 0;b - второй коэффициент (перед х);с – свободный член (без х).

Какие из данных уравнений не являются квадратными?

1. 4х² + 4х + 1 = 0;2. 5х – 7 = 0;3. - х² - 5х – 1 = 0;4. 2/х² + 3х + 4 = 0;5. ¼ х² - 6х + 1 = 0;6. 2х² = 0;

7. 4х² + 1 = 0;8. х² - 1/х = 0;9. 2х² – х = 0;10. х² -16 = 0;11. 7х² + 5х = 0;12. -8х²= 0;13. 5х³ +6х -8= 0.

Виды квадратных уравнений

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент a:

x² + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Способы решения квадратных уравнений

I способ. Общая формула для вычисления корней

Для нахождения корней квадратного уравнения ax² + b + c = 0 в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:

Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: таковым для него называется выражениеD = b² – 4ac

Выведение формулы:

Примечание: очевидно, что формула для корня кратности 2 является частным случаем общей формулы, получается при подстановке в неё равенства D=0, а вывод о отсутствии вещественных корней при D0, а {displaystyle {sqrt {-1}}=i} = i.

Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный. К решению одного уравнения можно подойти различными способами, предпочтения обычно зависят от самого решающего. Кроме того, часто для этого некоторый из способов оказывается значительно более элегантным, простым, менее трудоёмким, чем стандартный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b III способ. Решение неполных квадратных уравнений

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту:a + b = c, то его корнями являются -1 и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту (-c/a).

Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю, то корнями такого уравнения являются 1 и отношение свободного члена к старшему коэффициенту (c/a).

Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Если трёхчлен вида {displaystyle ax^{2}+bx+c(anot =0)}ax² + bx + c(a ≠ 0)удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей {displaystyle (kx+m)(lx+n)=0}(kx + m)(lx + n), то можно найти корни уравнения ax² + bx + c = 0 - ими будут -m/k и n/l, действительно, ведь {displaystyle (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0cup lx+n=0}(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Отметим, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассмотрим некоторые частные случаи

Использование формулы квадрата суммы (разности)

Если квадратный трёхчлен имеет вид {displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}}ax² + 2abx + b², то применив к нему названную формулу, мы сможем разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

(ax)² + 2abx + b² = (ax + b)²

(ax + b)² = 0

x = -b/a

Выделение полного квадрата суммы (разности)

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

Примечание: если вы заметили, данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a=1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см. ниже в одноимённом разделе) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к достаточно громоздким вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) {displaystyle x_{1},x_{2}}х₁, х₂ будучи решением нижеприведённой системы уравнений, являются корнями уравнения

В общем случае, то есть для не приведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0

х₁ + х₂ = -b/a, х₁* х₂ = c/а

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:

Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений {displaystyle y_{1}=ax_{1}} y₁ = ax₁ и y₂ = ax₂.{displaystyle y_{2}=ax_{2}}

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент {displaystyle a}a положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент {displaystyle b}bположительный (при положительном {displaystyle a}a, при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Применение квадратных уравнений в жизни

Квадратное уравнение широко распространено. Оно применяется во многих расчетах, сооружениях, спорте, а также и вокруг нас.

Рассмотрим и приведем некоторые примеры применения квадратного уравнения.

Спорт. Прыжки в высоту: при разбеге прыгуна для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета используют расчеты, связанные с параболой.

Также подобные расчеты нужны в метании. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения.

Астрономия. Траекторию движения планет можно найти с помощью квадратного уравнения.

Полет самолета. Взлет самолета главная составляющая полета. Здесь берется расчет для маленького сопротивления и ускорения взлета.

Также квадратные уравнения применяются в различных экономических дисциплинах, в программах для обработки звука, видео, векторной и растровой графики.

Заключение

В результате проделанной работы выяснилось, что квадратные уравнения привлекали ученых еще в глубокой древности, они уже сталкивались с ними при решении некоторых задач и пробовали их решать. Рассматривая различные способы решения квадратных уравнений, я пришла к выводу, что не все они просты. На мой взгляд самым лучшим способом решения квадратных уравнений является решение по формулам. Формулы легко запоминаются, этот метод универсальный. Гипотеза, что уравнения широко применяются в жизни и математике подтвердилась. Изучив тему, я узнала много интересных фактов о квадратных уравнениях, их использовании, применении, видах, решениях. И я с удовольствием продолжу их изучение. Надеюсь, что это поможет мне хорошо сдать экзамены.

Список использованной литературы

Материалы сайтов:

Википедия

infourok.ru

Открытый урок.рф

Multiurok.ru

Edufuture.biz

Справочник по элементарной математике Выгодский М. Я.