V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Аликвотные дроби.
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины.
Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части.
Цель: изучить практическую значимость применения египетских дробей в современной математике.
Задачи:
- Познакомиться с алгоритмами разложения дробей на сумму аликвотных дробей;
- рассмотреть основные операции с аликвотными дробями
- решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей
- составить сборник задач
Предмет исследования: разложение дробей на сумму аликвотных
Объект исследования: аликвотные дроби
Гипотеза: умение раскладывать дроби на две аликвотные, позволяет легко решать олимпиадные задачи по математике
Практическая значимость: задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач
Основная часть
Алгоритмы разложения дробей
Дроби вида , где n– натуральное число, называют египетскими. Другие названия таких дробей: основные, аликвотные (от латинского aliquot – несколько). Древнеегипетские вычислители почему-то питали особое пристрастие к дробям, в числители которых стоит единица. В Британском музее хранится папирус, составленный писцом Ахмесом примерно за 1600-1700 лет до нашей эры. Одна из задач этого папируса – разделить 7 хлебов между 8 людьми – решается в характерном для всей египетской математике стиле: каждому проголодавшемуся нужно дать сумму долей одного хлеба, выраженных аликвотными дробями. В другой задаче предлагается найти такое натуральное n, что . Когда эту задачу предложили шестиклассникам на Московской олимпиаде в 1997 году, то справились с ней далеко не все – видимо, упорство не каждого современного школьника может сравниться с установкой на преодоление трудностей древнего египтянина.
В большинстве случаев для представления некоторой правильной дроби в виде суммы различных египетских дробей достаточно уметь раскладывать в такую сумму всякую дробь вида . Например, зная разложения
, , , дробь можно легко представить суммой различных египетских дробей:
.
Папирус Ахмеса предваряет таблица, в которой все дроби вида для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами египетских дробей. Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.
Разложение произвольной дроби в сумму аликвотных дробей не единственно. Например, .
Египтяне стремились использовать разложения с небольшим количеством слагаемых и по возможности с наименьшими знаменателями. Какими именно способами они при этом пользовались, мы не знаем. В настоящее время доказано, что всякое положительное рациональное число можно выразить суммой различных египетских дробей, а также предложено для этих целей несколько практических алгоритмов (иногда эти алгоритмы дают различные разложения).
Алгоритм Фибоначчи (1180 – 1240) разложения рационального числа , 0 <r< 1, в сумму различных египетских дробей основан на последовательном приближении. Выберем а1 так, чтобы дробь оказалась наибольшей из дробей, приближающих r снизу: . Тогда остаток удовлетворяет неравенствам , .
Следующее число выбираем так, чтобы дробь наилучшим образом приближала снизу остаток r1 : , так что .
Далее полагаем , тогда . Затем по r2 определяем а3 и т.д. Так как последовательность числителей убывает, то при некотором i = k<mполучим . В итоге окончательное разложение примет вид , при этом числа аiудовлетворяют неравенствам ,
Алгоритм, предложенный М.В.Остроградским (1801-1862), родственен алгоритму Фибоначи и аналогично позволяет получить разложение , где – натуральные числа, , .
Имеются и другие алгоритмы. Среди любопытных находок укажем способ разложения единицы в сумму различных египетским дробей, предложенный Н.Ю.Нецветаевым в 1985 году:
, где –числа Фибоначчи: .
В 1915 году американский математик О.Келлог опубликовал задачу: какие n египетских дробей (дроби могут повторяться), взятые в сумме, дают наилучшее приближение к 1 снизу? Например, при n=3 наилучшее приближение дает сумма . В 1922 году эта задача была решена американским математиком Кертисом. Оказалось, что в общем случае наилучшее приближение дает сумма n первых членов ряда Знаменатель каждого члена этого ряда, начиная со второго, на 1 больше произведения знаменателей всех предыдущих членов. Последовательность чисел в знаменателях носит название последовательности Сильвестра (1841-1897) и может быть также задана рекуррентной зависимостью
Задачи с аликвотными дробями
Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач, в том числе пришедших из глубины веков. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Разложение дробей вида 2/n и 2/(2n +1) на две аликвотные дроби систематизировано в виде формул
2/n=1/n + 1/n;
например, при n = 9 2\9 = 1\9 + 1\9
2/(2n+1)=1/(n+1) + 1/(2n+1)(n+1),
например, при n = 2 2/5=1/3 + 1/15
2/(2n+1)=1/(2n+1) + 1/(2n+1)
например, при n = 5 2/11=1/6 + 1/66 .
Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.
Чтобы представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.
Формула выглядит следующим образом:
1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)
Примеры разложения дробей:
1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;
1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;
1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.
Эту формулу можно преобразовать и получить следующее полезное равенство: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)
Например, 1/6=1/(2·3)=1/2 -1/3
То есть аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению.
Задача 1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей
а) трех слагаемых 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6
б) четырех слагаемых
1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42
в) пяти слагаемых
1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42
Задача 2.Представьте в виде суммы различных аликвотных дробей следующую дробь:
а) ; б) ; в) ; г) .
Решение. а) ; б) ;
в) ; г) .
Задача 3.В детский сад утром привели 90 детей. В 17.00 забрали из сада половину детей. В 18.00 забрали третью часть детей. В 19.00 забрали шестую часть детей. Сколько детей забирали из сада в разное время?
Решение. , 1/2=45 детей, 1/3=30 детей, 1/6=15 детей.
Ответ. В 17.00 из сада забрали 45 детей, в 18.00 – 30 детей, в 19.00 – 15 детей.
Задача 4. Представьте дробь в виде аликвотных дробей.
Решение. Существует 2 способа представления дроби в виде суммы и один - в виде разности аликвотных дробей. Это, опять-таки, из-за простоты числа 2011.
Задача 5. Верно ли равенство?
Решение.
Ответ. Равенство верно.
Задача 6. Верно ли равенство
Решение.
Ответ. Равенство верно.
Задача 7. Верно ли равенство
Решение.
Ответ. Равенство верно.
Задача 8.
Решить пример.
Задача 9. Найди сумму
1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?
Решение. Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100
И вычесть из нее сумму
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10
99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09
Задача 10. Найти сумму
½+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90=
1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(6*7)+1/(7*8)+1/(8*9)+1/(9*10) =9/10
Но иногда можно и не использовать формулы. Например, вот так.
Задача 11. Представим дробь в виде суммы двух различных аликвотных дробей.
Решение. Знаменатель данной дроби 11 имеет два делителя 1 и 11. Если числитель и знаменатель этой дроби умножить на сумму его делителей 12, то дробь можно представить в виде суммы дробей следующим образом:
. В результате мы получили сумму двух аликвотных дробей.
Заключение
Первыми дробями, которыми пользовались люди, были аликвотные дроби.
Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.
Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.
Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.
Таким образом, аликвотные дроби долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».
Литература
- Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.
- Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007.
- Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.
- Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.
- Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.
- Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009.