V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Площади «косых» квадратов и двуквадратные числа
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность:
В выпускном экзамене по математике и за 9, и за 11 класс есть такое задание: «Найти площадь плоской фигуры на клетчатой бумаге»
Интересно исследовать эту задачу наоборот.
В качестве плоской фигуры был выбран квадрат.
Постановка задачи: построить на клетчатой бумаге квадраты с вершинами в узлах сетки площадью 1, 2, 3, 4, 5 и т.д. клеток.
Цель: исследовать, квадраты какой площади можно построить, а какой – нельзя.
Задачи:
Научиться находить площади прямых и «косых» квадратов.
Построить таблицу двуквадратных чисел и понаблюдать.
Научиться работать в программе ЭИ «Математика»
Предмет исследования: квадраты
Объект исследования: площадь квадратов
Гипотеза: на клетчатой бумаге можно построить квадраты, площадь которых выражена натуральным числом, представимым в виде суммы квадратов двух целых чисел.
Площади прямых квадратов
Определение: Квадрат называется прямой если его вершины находятся в узлах сетки клетчатой бумаги, а стороны совпадают с линиями сетки.
Площадь прямого квадрата найти легко. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1. Тогда можно построить квадраты площадью 1, 4, 9, 16, 25, 36.
Замечаем, что площадь квадрата со стороной одна клетка, есть 12
площадь квадрата со стороной две клетки - 22
площадь квадрата со стороной три клетки - 32 и т.д.
Площади «косых» квадратов
Как же построить квадраты площадью 3, 5, 6, 7, 8 , 10, 11 … клеток?
Для этого мы стали рассматривать «косые» квадраты.
Определение: квадрат называется «косой», если его вершины лежат в узлах сетки клетчатой бумаги, а стороны пересекают линии сетки.
На рисунке изображен «косой квадрат типа (3, 2)
Как найти площадь «косого» квадрата?
Впишем голубой «косой» квадрат в прямой синий квадрат. Площадь прямого синего квадрата есть: 5*5=25. Вычтем из 25 площади четырех маленьких белых треугольников. Площадь их будет 4*(6*3:2) = 12. Тогда площадь голубого «косого» квадрата будет: 25 – 12 = 13.Таким образом, мы построили квадрат площадью 13.
Аналогичным образом удалось построить «косые» квадраты площадью: 2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25.
Не удалось построить квадраты площадью: 3, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 22, 23.
Двуквадратные числа
Мы стали обобщать разные возможные случаи и заметили, что у всех квадратов, которые удалось построить, площадь выражена натуральным числом. И это число разлагается на сумму двух квадратов целых чисел.
Также заметили, что это разложение удобно делать вот так:
Аналогичным образом мы разложили все числа. И такие числа назвали двуквадратными.
Мы нашли все двуквадратные числа от 1 до 150 и свели их в одну таблицу.
Двуквадратные числа и наблюдения:
От 1 до 150 получилось 60 двуквадратных чисел
Среди двуквадратных чисел есть простые – их 14
Все простые двуквадратные числа (кроме 2) при делении на 4 дают в остатке 1 (при делении на другие числа дают разные остатки)
Произведение двуквадратных чисел двуквадратны (не выполняется для суммы, разности, частного)
Есть числа, которые разлагаются на сумму двух квадратов двумя способами.
Заключение
На клетчатой бумаге можно построить квадраты, площадькоторых
выражена натуральным числом, представимым в видесуммы квадратов двух целых чисел. Такие числа мы назвалидвуквадратными.
Все площади косых квадратов – двуквадратные числа.И наоборот, все
двуквадратные числа – площади косыхквадратов.
Площадь косого квадрата типа (a,b) равна a2+b2.
Наблюдение:
Если число можно разложить на сумму двух квадратов двумяспособами, то и
на бумаге мы получаем два квадрата. Например:квадрат с площадью 25 можно
уложить на клетчатуюбумагу двумя разными способами.
Перспективы работы:
Интересно исследовать аналогичные вопросы для треугольника.Например, рассматривать правильные треугольники с вершинами в узлах треугольной сетки.Каким целым числам могут быть равны их площади?Есть ли двутреугольные числа?Можно проследить аналогию с двуквадратными числами.
Литература
Наглядная геометрия. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н., М.: Мирос, 2014 г.
Математика 6 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г., М.: Мнемозина, 2014 г.
10