V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Различные способы решения уравнений и систем линейных уравнений
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Уже третий год я занимаюсь очень интересным делом – исследовательской работой. В этот раз я выбрала не менее познавательную тему, чем предыдущие. «Различные способы решения уравнений и систем линейных уравнений». В прошлом году у меня была похожая тема о нестандартных задачах, с которыми мы так часто встречаемся на олимпиадах и ,к сожалению, теряемся. Она дала мне большой опыт и много новых знаний. Такой же результат у меня и с новой работой этого года.
Я решила остановиться именно на уравнениях, потому что они занимают ведущее место в школьном курсе алгебры. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоритическое значение, но и служит целям, с которыми мы встречаемся на практике. Большинство задач о количественных отношениях сводится к решению различных видов уравнений. Изучая способы их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.) Но конечно главное в изучении уравнений, как и в любых других темах, – это самостоятельная и очень усердная работа.
Главная цель – поиск наиболее оптимальных способов решения систем уравнений, которые помогают нам углубляться в тему, закреплять, расширять наши теоритические знания, но приступая к ней, понадобится немало общематематических представлений, понятий, умений.
История уравнений
В далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, еще не было ни монет, ни кошельков. Но были кучи, а также горшки, корзины, которые успешно заменяли тайники-хранилища, вмещающих неизвестное количество предметов. Они использовались даже в древних задачах: "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы очень даже успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном источнике не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь- мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
Сама алгебра как искусство решать уравнения зародилась очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска решениий однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений.
Под влиянием исследований молодого французского математика Э.Галуа (1811-1832) в дальнейшем развитии, особенно в двадцатом веке, алгебра все более определялась как наука об общих алгебраических операциях (действиях). Значение современной алгебры выходит далеко за приделы учения об уравнениях. Алгебра широко применяется в любом разделе математики, в естествознании и техники, при этом неразрывно связана с уравнениями.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Оказывается, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя совершенную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и например, полные квадратные уравнения. Они появились у вавилонян в связи с землемерной практикой.
Правило решения уравнений, изложено в вавилонских текстах и совпадает по существу с современным, однако не известно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без способов их решения.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Зачатки алгебраического мышления находят и в египетских папирусах.
Например в папирусе Ахмеса (первый математик) есть специальный раздел «Вычисление кучи». Так же как и в Вавилоне под словом «куча» подразумевается неизвестная величина.
Квадратные уравнения у Аль-Хорезми.
В алгебраическом трактате Аль-Хорезми (учёного математика азиатского происхождения) дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. a= bx.
2) «Квадраты равны числу», т. е. a = c.
3) «Корни равны числу», т. е. ax = c.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. a + c = bx.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. a + bx = c.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx + c = a.
Пример.
«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения + 21 =10x).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Трактат Аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.
Если а+ b+c= 0, то =1, =.
Пример. Рассмотрим уравнение +4х – 5= 0.
а+b+c= 1+4+(-5)= 0, следовательно, =1, = =-5. Значит корнями этого уравнения являются 1 и –5.
Выполним проверку через дискриминант:
D= – 4ас= 16 – 4∙1∙(–5)= 36.
= = = – 5.
= = = 1.
Ответ: (-5;1)
Если b= а+c, то = –1, = .
Пример. Рассмотрим уравнение 2+8х +6 = 0.
а+c=2+6=8, значит = –1, == -3. Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:
D= – 4ас=64 – 4∙2∙6= 16.
= = = = –3.
= = = -1.
Ответ: (-3;-1)
СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:
2 – 11х+5=0
– 11х+10= 0
Далее легко найти корни по теореме Виета:
+ = -p; = 10; =q
=10; =5
Но корни уравнения необходимо поделить на 2, тогда корни равны 5 и 0,5.
Ответ: 5; 0,5.
ЗАКОНОМЕРНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ.
Иногда встречаются квадратные уравнения с большими коэффициентами. В этом случае полезно использовать их закономерность:
1) Если в уравнении a+ bx + c = 0 коэффициент b равен (+1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, т.е. a + (+1)∙ х+ а= 0, то его корни равны: = –а; = - – .
Пример. Рассмотрим уравнение 6 +37х +6 = 0.
37=+1, следовательно = -6; = - –.
Ответ: (-6; -)
2)Если в уравнении a – bx + c = 0 коэффициент b равен (+ 1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, т.е. a – (+1)∙ х+ а= 0, то его корни равны = а; = –.
Пример. Рассмотрим уравнение 15 –226х +15 = 0.
+1=226 и 15=15,значит = 15; = - –.
Ответ: (15; - )
Если в уравнении a+ bx + c = 0 коэффициент b равен ( – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, т.е. a – (-1)∙ х- а= 0, то его корни равны = –а; =–.
Пример. Рассмотрим уравнение 17 +288х – 17 = 0.
+1=228, а=с=17, значит = -17; = .
Ответ: (-17; )
Если в квадратном уравнении a+ bx + c = 0 коэффициент b равен ( – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, имея вид a + (-1)∙ х- а= 0, то его корни равны = а; = .
Пример. Рассмотрим уравнение 10 –99 х – 10 = 0.
-1=99 и коэффициент а=с, следовательно, =10; = -0,2
Ответ: (10; -0,2)
Кубическое уравнение.
Кубическое уравнение – это уравнение третьей степени вида:
a + b + cx + d = 0 .
Известные формулы Кардано для решения уравнений этого типа очень сложны и почти не применяются на практике. Поэтому я рекомендую другой путь решения уравнений третьей степени.
1) Сначала путём подбора надо найти один из корней уравнения. Кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому мы будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успешного нахождения корня при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень x1 .
2) Второй этап решения – это деление многочлена a + b + cx + d на двучлен (x –x1). Согласно теореме Безу (Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами, при этом если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни - целые) это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём оставшиеся два корня, если они есть.
Пример . Решить уравнение: – 3 – 13x + 15 = 0 .
Найдём первый корень подбором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3 и подставим в уравнение. В результате находим, =1.
Тогда делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 1, и получаем:
Теперь, решим квадратное уравнение: – 2x – 15 = 0
D= – 4ас=4+60=64
= = =-3
= = = 5
Ответ: (-3;1;5;)
Задачи на уравнения:
Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если увеличить числитель дроби на 5, а знаменатель на 3, то дробь увеличится на . Найти дробь.
Решение: Пусть х- числитель дроби, а (х+1) – знаменатель, тогда дробь имеет вид:
; после увеличения: =.
Составим и решим уравнение:
+ =
+ - = 0 2(х+1)(х+4)
2х(х+4) + (х+1)(х+4) – 2(х+5)(х+1) = 0
2+ 8х + + 4х + х + 4 – (2х +10)(х+1) = 0
2+ 8х + + 4х + х + 4 – 2 – 2х – 10х – 10 = 0
+ х – 6 = 0
D= – 4ас=1+4(-6)=25
= = = -3
= = = 2
Следовательно: знаменатель равен х+1= 2+1=3, а числитель равен 2.
Ответ: .
Задача из ОГЭ на составление уравнений:
Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.
Решение: Пусть х км/ч – скорость третьего велосипедиста.
Составим и решим уравнение:
- =9, где х-21 и х-15 – скорости сближения.
Избавимся от знаменателя:
х-15(2*21) – 15(х-21) = 9(х-15)(х-21)
42х -630-15х+315=9-324х+2835
42х -630-15х+315-9+324х-2835=0
-9+351х-3150=0
-39х+350=0
D= – 4ас=1521-1400=121
= = = 14-этот корень не подходит условию
= = = 25
Ответ: 25 км/ч.
Решение систем линейных уравнений.
Для того, чтобы решить систему уравнений, состоящую из двух или более уравнений, я рассмотрела несколько методов.
Метод Крамера.
Приведём пример:
x+2y+z=-1
3x-y-z=-1
-2x+2y+3z=5
1)Составим первоначальную матрицу из коэффициентов при неизвестных и обозначим её :
1 2 1 2) Заменим первый столбец матрицы числами после знака равно:
3 -1 -1 1 2 1
-2 2 3 x= 3 -1 -1
-2 2 3
3) Сделаем тоже самое со вторым и третьим столбцом:
1 -1 1 1 2 -1
3 -1 -1 z= 3 -1 -1
-2 5 3 -2 2 5
4) Найдём определитель (дискриминант) для каждой матрицы:
1. -3+4+6-(2-2+18)=7-18+-11
2. 3-10-2-(-5+2-6)=-9+9=0
3. -3+15-2-(2-9-5)=10+12=22
4. -5-6+4-(-2-2+30)=-7+16=11
x= 0, y=22, z=-33, = -11
5)Далее найдём корни по формулам:
==0 == -2 == 3
Ответ: 0; -2; 3
Метод Гаусса(метод треугольника)
x+2y+z=-1
3x-y-z=-1
-2x+2y+3z=5
Оставляем первое уравнение без изменений и умножим его на то число, чтобы при сложении х уничтожился во втором. Т.е. второе уравнение после сложения уже записываем без х.
Далее, умножаем и первое, и второе уравнение на -2, чтобы и в третьем уравнении избавиться от х.
И наконец умножаем третье уравнение на -7, тем самым избавляясь при сложении от у.
x+2y+z=-1 (-3) (-2)
-7y-4z=2 (-2)
-2y+z=7
Получаем треугольник:
х+2у+ z=-1 И методом подстановки находим все корни : z=3
-7у-4z=2 -7у=2+12, у= -2
-15z=-45 х=-1+4-3=0
Ответ: 0; -2; 3
Метод Гаусса(метод прямоугольников)
х+2у+3z=5
4х+5у+6z=8
7х+8у=2
Составим матрицу и приведём её к единичной:
1 2 3 5 1 0 0 х
4 5 6 8 0 1 0 у
7 8 0 2 0 0 1 z
Первую троку оставляем без изменений; во второй строке первый коэффициент равен 0, а остальные два найдём с помощью метода прямоугольников:
Вместе с разрешающим элементом(1 в первой строке) и коэффициентом, который нам надо найти, составляем прямоугольник и вычитаем его диагонали: 1*5-2*4=-3.
Затем, составляем прямоугольник со вторым коэффициентом во второй строке(а первый равен 0) и так со всеми оставшимся числами.
1 2 3 5 1 2 3 5
0 -3 -6 -12 4 5 6 8
0 -6 -21 -33 7 8 0 2
Для того, чтобы упростить вычисления, сократим последние 2 строки на -3 и продолжим вычисление:
Теперь разрешающим элементов является 1 во второй строке.
1 2 3 5 1 0 -1 -3 Сократим и здесь третью строку на
0 1 2 4 0 1 2 4 (-3)
0 2 7 11 0 0 3 3
Получим новую матрицу с разрешающим элементом 1 в третьей строке:
1 0 -1 -3 1 0 0 -2
0 1 2 4 0 1 0 2
0 0 1 1 0 0 1 1
Крайние числа в последней матрице и есть корни уравнения:
х=-2; у=2; z=1
Ответ: -2; 2; 1
Заключение
Я исследовала различные методы для решения уравнений и систем линейных уравнений, чтобы развивать потребность у старшеклассников в нахождении рациональных способов их решения.
Обобщая нестандартные методы решения систем линейных уравнений, работа может быть рекомендована как учащимся школы, так и студентам первого курса.
Я постараюсь продолжить работу над этой темой дальше, чтобы находить и совершенствовать навыки интересных, нестандартных и оптимальных способов решения.
Список использованной литературы:
1)https://ru.wikipedia.org/wiki/Галуа,_Эварист
2)http://sar18021977.ucoz.ru/load/issledovatelskaja_rabota_uchenicy_8_kl_quot_istorija_vozniknovenija_i_razvitija_uravnenij_quot/1-1-0-1
3)http://textarchive.ru/c-2865846.html
4)http://wiki.iteach.ru/index.php/История_возникновения_уравнений_(работа_учащихся_в_проекте_Равновесие)
5) А. Н. Бекаревич «Уравнения в школьном курсе математики» Минск. 1968 г., 99 стр.
6) В. С. Гиренович «Математика в школе» № 3 Виды самостоятельных работ. 1998 г.