V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Уникальность формулы Симпсона
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Уже в 10 классе я задумываюсь о том, мне нужно будет сдавать профильный ЕГЭ по математике. Решая задания ЕГЭ, я столкнулся с заданиями на нахождение объема многогранников и тел вращения, хотя это задания из программы 11 класса. Заинтересовавшись этим вопросом, я узнал, что в связи с многообразием геометрических фигур тел существует огромное количество формул для нахождения площадей и объёма (на каждуюфигуруи каждое тело приходится своя формула). Рассматривая формулы по геометрии, я убедился, что огромное количество формул связано с площадями и объемами фигур. Таких формул более двенадцати по площадям плоских фигур и более десяти по объемам пространственных тел.
И я задался вопросом: а существует ли такая универсальная формула для нахождения площади и объёма геометрических фигур и тел?
Я считаю тему данного проекта актуальной не только среди учащихся, но и среди взрослых, т.к. школьная программа со временем забывается, и мало кому известно о том, что существует такая формула, которая объединила в себе все другие многочисленные и тяжело запоминающие формулы для нахождения объёма.
Проблема
Необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.
Гипотеза
В XYIII веке английский математик Томас Симпсон вывел формулу для нахождения некоторых площадей плоских фигур и объемов пространственных тел через вычисление площадей нижнего, верхнего и среднего основания.
Я предполагаю, что данная универсальная формула позволит заменить все названные формулы и позволит легко их запомнить.
Цель работы: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии и ей можно пользоваться не только на практике, но и на экзаменах, в том числе и на ЕГЭ.
Задачи работы:
Изучить основные характеристики геометрических тел стереометрии: призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, шара;
Изучить имеющуюся литературу по данной теме.
Используя универсальную формулу, вывести формулы площадей и объемов для всех фигур и тел.
Сравнить полученные формулы с формулами, предлагаемыми в учебнике.
Ознакомить учащихся старших классов с этой формулой и выяснить с помощью анкетирования, удобно ли применять её при подготовкек экзаменам.
Практическая значимость моей работы: Результаты данной работы могут иметь применение в школьной практике, а именно использоваться на занятиях по геометрии и алгебре, при подготовке и сдаче ЕГЭ.
Глава 1 Краткие характеристики свойств геометрических тел
Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. С 7 по 9 класс я изучал свойства фигур на плоскости, в том числе и формулы для нахождения их площадей (Приложение 1-2).
В курсе 10 класса я начал изучать раздел геометрии–стереометрия, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. При написании работы, я рассмотрел геометрические тела и их поверхности. Объёмные геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.
Многогранник – поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.
Тела вращения – геометрические тела, полученные путём вращения вокруг своей оси. Тела вращения: цилиндр, конус, шар.
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Выпуклые многогранники - расположены по одну сторону от плоскости каждой грани. Невыпуклые многогранники – расположены по обе стороны от плоскости хотя бы одной грани.
Цилиндр
|
Цилиндр – геометрическое тело, ограниченноецилиндрической поверхностьюи двумя параллельнымиплоскостями, пересекающими её под прямым углом. S = 2πr(h + r) |
(Рис.1.Цилиндр) |
Конус
|
Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Sp = πRL + πR2 |
(Рис. 2.Конус) |
Пирамида
|
Пирамида –многогранник, одна из граней которого (называемаяоснованием)— произвольныймногоугольник, а остальные грани (называемыебоковыми гранями)—треугольники, имеющие общую вершину. |
(Рис. 3.Пирамида) |
Шар
|
Шар –геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра нарасстоянии, не больше заданного. |
(Рис. 4.Шар) |
Призма
|
Призма – многогранник, две грани которого являютсяконгруэнтными(равными)многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками |
(Рис. 5.Призма) |
Параллелепипед
|
Параллелепипед – призма, основанием которой служитпараллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. |
(Рис. 6.Параллелепипед) |
Глава 2. Формула Симпсона
Томас Симпсон(20 августа1710 – 14 мая1761) – английскийматематик. В 1746 году Симпсон избран в членыЛондонского королевского общества, а ранее – в члены основанного в 1717 году в Лондоне Математического общества. В 1758 избран иностранным членомШведской королевской академии наук. Назначенный профессором вКоролевскую военную академиювВулидже, Симпсон составил учебники поэлементарной математике. В особых отделахгеометриирассматриваются задачи о наибольших и наименьших величинах, решаемые с помощью элементарной геометрии,правильные многогранники, измерение поверхностей, объёмы тел и, наконец, смешанные задачи.
Замечательная формула существует; более того: она пригодна не только для вычисления объема цилиндра, полного конуса и усеченного конуса, но также и для всякого рода призм, пирамид полных и усеченных и даже для шара, а так же для вычисления площадей плоских фигур. Вот эта формула, известная в математике под названием формулы Симпсона:
где b1 – площадь (длина) нижнего основания
b2 – площадь (длина) среднего основания
b3 – площадь (длина) верхнего основания
2.1 Применение формулы Симпсона для вывода формул площадей плоских фигур.
|
Задача 1.Площадь параллелограмма. Дано: АВСД – параллелограмм; ВH = h – высота; АД = b1 – длина нижнего основания; РQ = b2 – длина среднего основания; ВС = b3 – длина верхнего основания. Найти: S параллелограмма. |
(Рис. 13.Параллелограмм) |
Решение:
– наша универсальная формула.b1 = b2 =b3, тогда получаем:
Ответ: S= hb1
Вывод. Действительно, площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
|
Задача 2. Площадь трапеции. Дано: АВСД – трапеция; ВH = h – высота; АД = b1 – длина нижнего основания; РQ = b2 – длина среднего основания; ВС = b3 – длина верхнего основания. Найти: Sтрапеции. |
(Рис. 7.Трапеция) |
Решение:
– универсальная формула.
Так какАВСД–трапеция, то b2–ее средняя линия, значит
Тогда получаем:
Ответ:
Вывод. Действительно, площадь трапеции равна половине произведения двух оснований на высоту.
Проведя аналогичные доказательства (Приложение 3-4) для формул площадей треугольника, прямоугольника, квадрата и ромба, я пришел к выводу, что универсальная формула Симпсона подошла для вычисления площадей таких плоских фигур как: параллелограмм, трапеция, треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник.
2.2. Применение формулы Симпсона для вывода формул объемов пространственных тел.
|
Задача 1. Объем призмы. Применение формулы Симпсона Дано: Призма. h–высота b1–площадь нижнего основания: b2–площадь среднего сечения: b3–площадь верхнего основания. Найти:Vпризмы. |
(Рис. 8.Призма) |
Решение:
Так какb1=b2=b3, тогда получаем:
Ответ: V=b1h
Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 6.
Вывод. Действительно, объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Аналогично проводится доказательство выведения формулы объема цилиндра (Приложение 5)
|
Задача 4. Объем конуса Дано: конус h- высота b1 - площадь нижнего основания: b2–площадь среднего сечения: b3 –площадь верхнего основания. Найти:Vконуса. |
(Рис. 9.Конус) |
Решение:Так как b1=0, а,то тогда получаем:
Ответ:
Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 9.
Вывод. Действительно, объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.Аналогично проводится доказательство выведения формулы объема пирамиды (Приложение 5)
|
Задача 5.Объем усеченного конуса Дано: усеченный конус. h- высота b1 - площадь нижнего основания: b2–площадь среднего сечения: b3 –площадь верхнего основания. Найти:Vусеченного конуса. |
(Рис. 10.Усеченный конус) |
Решение:
Тогда получаем:
Ответ:
Вывод. Выведенная формула полностью совпадает с формулой, предложенной в учебнике
Задача 6. Объем шара.
Дано: шар
h- высота
b1- площадь нижнего основания:
b2–площадь среднего сечения:
b3– площадь верхнего основании
Найти: Vшара.
(Рис. 11.Шар)
Решение:
Так какb1=b3=0, h=2R
Тогда получаем:
Ответ:
Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 10
Вывод: Формулы объемов всех пространственных тел, изучаемые в 11-м классе, также легко выводятся с помощью универсальной формулы Симпсона.
2.3 Практическое применение формулы
Следующим этапом моего исследования является практическое применение (см.Приложение 11-12)
Вывод. Объемы для каждой модели геометрических тел, найденные двумя способами, оказались равны. Формула Симпсона универсальна для таких тел, как пирамида, цилиндр, шар, куб и конус.
Я располагаю формулой, по которой можно приближенно вычислить объем ствола дерева, не задаваясь вопросом о том, на какое геометрическое тело оно похоже: на цилиндр, на полный конус или на усеченный конус. Зная плотности различных пород древесины, можно вычислить вес дерева на корню. Я решил эту задачу с помощью вычисления объема ствола, как объем цилиндра, диаметр основания которого равен диаметру ствола посредине длины: при этом результат получается, однако, преуменьшенный, иногда на 12 %. Без большой ошибки можно принимать объем дерева на корню половину объема цилиндра той же высоты с диаметром, равным поперечнику дерева на высоте груди.
Проделав расчеты, по известным нам ранее формулам, я вычислил объем ствола дерева на корню (см. Приложение 13)
Вывод. Из всего исследования можно сделать вывод о том, что я располагаю формулой, по которой можно приближённо вычислить объём ствола дерева и, зная плотность различных пород древесины, можно определить вес дерева на корню.
Глава 3. Анкетирование учащихся
3.1 Исследование и опрос
Среди учащихся 11-х классов я провел исследование (см.Приложение 13).
Цель исследования: определение количества формул, которые учащиеся могут воспроизвести без повторения за 10 минут, т.е. объема «остаточных» формул.
Результаты оказались следующими (см.Приложение 14):
Наибольшее количество воспроизведенных формул – 41, наименьшее – 5. Учитывая то, что количество формул могло достигать 500 за неограниченное время, я пришел к выводу, что огромное количество формул, изучаемых в школе, учащиеся не помнят. Воспроизведенные формулы составляют лишь 8,2 % от общего количества изученных формул. Чаще всего учащиеся воспроизводили формулы по алгебре (формулы тригонометрии, логарифмические формулы, формулы сокращенного умножения, формула корней квадратного уравнения, производные); по геометрии (формулы площадей плоских фигур, некоторые объемы пространственных тел); несколько формул по физике (формула кинетической энергии, силы тяжести, силы трения и МКТ); по информатике () Это было естественно, т.к. в математике формул больше, чем в любой другой науке.
Увидев полученные результаты, я решил определить причины столь низкого результата. Мною был проведен опрос (см. приложение 14-15) учащихся 11-х классов, в котором предлагалось ответить на следующие вопросы:
Вопросы анкеты.
Как Вы считаете, сколько примерно формул должен знать выпускник школы?
Какой способ для запоминания формул Вы используете?
А) зазубривание
Б) понимание
В) метод ассоциаций
Г) другое
Считаете ли Вы, что количество формул для заучивания соответствует уровню памяти среднего ученика?
Считаете ли Вы, что для лучшего запоминания многих формул нужно использовать какую-нибудь одну универсальную формулу?
Результаты оказались следующими (см.Приложение 15).
Вопрос 1. От 60 до 250 формул
Вопрос 2. Из полученных ответов можно сделать вывод, что учащиеся 11-х классов при заучивании формул стараются их понять или применяют зазубривание.
Вопрос 3.Мнение учащихся по данному вопросу разошлись, хотя по диаграмме видно, что в основном отвечали «да», т.е. учащиеся считают, что количество формул для запоминания соответствуют уровню памяти среднего ученика.
Вопрос 4.Почти все учащиеся 11-х классов хотели бы использовать вместо множества формул только одну – универсальную.
3.2 Тестирование
Теперь я знаю, что формула Симпсона действительно универсальна, и её вполне можно применять в жизни. Но действительно ли она так необходима? Чтобы ответить на этот вопрос, я представил формулу на уроке 11 классу, после чего провел тестирование (см. приложение 16-17), и получил следующие результаты:
Тест № 1
23% признались, что им трудно запомнить все формулы.
17% сказали, что выучить все формулы им не составляет труда, в том числе и формулу Симпсона.
60% учащихся применяли формулу Симпсона у некоторых геометрических тел, и она им помогла в решении задач.
Тест № 2
100% утверждают, что формула Симпсона запоминается им легко.
0% признались, что испытывают некоторые трудности в её запоминании.
Тест № 3
76% будут применять эту формулу в дальнейшем.
24% признались, что она им вряд ли понадобится.
Тест № 4
82% считают, что формулу Симпсона стоит включить в школьную программу.
0% считают, что формулу не стоит включать в школьную программу.
18% утверждают, что формулу стоит включить в школьную программу, но только в профильных классах.
Тест № 5
35% считают, что помнить одну формулу для определения объёма сразу нескольких геометрических тел гораздо проще.
59% считают, что следует помнить все формулы, включая формулу Симпсона, ведь никогда не знаешь, какие условия будут даны.
6% считают, что достаточно помнить только формулы, включённые в школьную программу.
Эту формулу так же можно применить в решении задач, в том числе и на ЕГЭ. Приведу примеры задач, которые были даны в 11 классе, и которые были решены учениками без труда:
Задача1 Правильная шестиугольная призма с высотой 18см вписана в цилиндр, с радиусом основания 4см. Найдите объём призмы.
Задача2 Правильная четырехугольная пирамида, с высотой 24см и стороной основания 5см, вписана в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
Вывод: Из результатов анкетирования я убедился, что формула Симпсона достаточно проста для запоминания, и её стоит включить в школьную программу.
Эту формулу так же можно применять на экзаменах, включая ЕГЭ.
Заключение
За время обучения в школе, учащиеся должны знать огромное количество формул по разным предметам. Проведенный мной опрос показал, что не все учащиеся могут запомнить все эти формулы. Я столкнулсяс проблемой: необходимо ввести в преподавание геометрии универсальную формулу, позволяющую заменить большое количество формул площадей плоских фигур и объемов пространственных тел, т.е формулу, пригодную для многих целей, выполняющую разнообразные функции.
Я предположил, что формула английского математика Томаса Симпсона
позволит заменить формулы площадей фигур и объемов тел одной формулой.
Я поставил перед собой цель: доказать, что универсальная формула Симпсона может заменить все изучаемые формулы площадей и объемов в школьном курсе геометрии. Эту цель я раскрыл в нескольких задачах.
В результате своей работы я убедился, что формула Симпсона позволяет легко и быстро доказать теоремы об объемах тел, не применяя определенный интеграл.
Для того, чтобы облегчить работу по запоминанию и выводу формул, я предлагаю перед изучением темы «Площади фигур» учителю познакомить учащихся с формулой Симпсона, и предложить самостоятельно вывести изучаемые формулы. Доказательство, предложенное в учебнике, можно использовать учителю как дополнительный материал для урока или в качестве домашней работы.
Теперь прогуливаясь по лесу, вам наверно будет, вероятно, интересно определить объём любого дерева. Вычислить сколько в нём кубических метров древесины, а заодно и взвесить его – узнать, можно ли было бы, например, увезти такой ствол на одной телеге.
Я располагаю формулой, по которой можно приближенно вычислить объем ствола дерева, не задаваясь вопросом о том, на какое геометрическое тело оно похоже: на цилиндр, на полный конус или на усеченный конус.
Считаю, свою работу полезной, т.к. мною были выведены все формулы площадей и объемов изучаемых в школе.
Из результатов анкетирования я убедился, что формула Симпсона достаточно проста для запоминания, и её стоит включить в школьную программу.
Эту формулу так же можно применять на экзаменах, включая ЕГЭ.
Список использованной литературы:
Я.И.Перельман. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия. - М., «АСТ»,1999.
CD-ROM. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия, 2002.
Л.С. Атанасян и др. Геометрия 10-11 . Учебник для общеобразовательных учреждений,- М., «Просвещение», 2002.
https://ru.wikipedia.org/wiki
https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/
https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html
https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona
Приложение 1
Краткие характеристики свойств геометрических тел
|
Параллелограмм– эточетырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. |
(Рис. 12.Параллелограмм) |
|
Трапеция – выпуклыйчетырёхугольник, у которого две стороныпараллельны. |
(Рис. 13.Трапеция) |
Треугольник
|
Треугольник – геометрическаяфигура, образованная тремяотрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на однойпрямой. |
(Рис. 14.Треугольник) |
Квадрат
|
Квадрат – правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. |
(Рис. 15.Квадрат) |
Приложение 2
Прямоугольник
|
Прямоугольник – четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). |
(Рис. 16.Прямоугольник) |
Ромб
|
Ромб – этопараллелограмм, у которого все стороны равны. |
(Рис.17.Ромб) |
Приложение 3
|
Задача 3.Площадь треугольника. Дано: АВС – треугольник; АС= b1- длина нижнего основания; ВН=h- высота; PQ=b2- длина среднего основания: b3- длина верхнего основания. Найти: S∆АВС. |
(Рис. 18.Треугольник) |
Решение: – универсальная формула.
b3=0, так как верхнее основание является точкой.
Так как b2- является в треугольнике средней линией, то , тогда получаем:
Ответ:
Вывод. Действительно, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
|
Задача 4.Площадь квадрата. Дано: АВСД – квадрат: СД = h – высота; АД = b1 – длина нижнего основания; РQ = b2 – длина среднего основания; ВС = b3 – длина верхнего основания. Найти: Sквадрата АВСД. |
(Рис. 19. Квадрат) |
Решение: – универсальная формула.
Так как АВСД- квадрат, то b1=b2=b3=h, тогда получаем
Приложение 4
Ответ:
Вывод. Действительно, площадь квадрата равна квадрату его стороны.
|
Задача 5. Площадь прямоугольника. Дано: АВСД – прямоугольник; СД = h – высота; АД = b1– длина нижнего основания; РQ = b2 – длина среднего основания; ВС = b3 – длина верхнего основания. Найти: Sпрямоугольника АВСД. |
(Рис. 20. Прямоугольник) |
Решение: – универсальная формула.
Так как АВСД – прямоугольник, то b1=b2=b3, тогда получаем:
Ответ: S=hb1.
Вывод. Действительно, площадь прямоугольника равна двух смежных сторон.
|
Задача 6. Площадь ромба. Дано: АВСД – ромб; СД= b1 - длина нижнего основания; PQ= b2- длина среднего основания; АВ= b3- длина верхнего основания; АН= h- высота. Найти: Sромба АВСД. |
(Рис. 21. Ромб) |
Решение: – универсальная формула.
b1=b2=b3, тогда получаем:
Ответ:
Приложение 5
Задача 2. Объем цилиндра.
Дано: Цилиндр
h- высота
b1- площадь нижнего основания:
b2–площадь среднего сечения:
b3– площадь верхнего основания.
Найти: Vцилиндра
Решение:
(Рис. 22. Цилиндр)
Т.к. b1=b2=b3, тогда получаем:
Ответ: V=b1h
Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 7.
Вывод. Действительно, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
|
Задача 3. Объем пирамиды. Дано: пирамида: h- высота b1- площадь нижнего основания: b2–площадь среднего сечения: b3– площадь верхнего основания. Найти:Vпирамиды. |
(Рис. 23. Пирамида) |
Решение:Так как b3=0, а , то тогда получаем:
Ответ: Доказательство, предложенное в учебнике геометрии авт. Л.С.Атанасяна в Приложении 8.
Приложение 6
Приложение 7.
Приложение 8
Приложение 9.
Приложение 10
Приложение 11
Задача № 1. Вычисляем объём модели куба по обычной формуле. Для этого измеряем ребро модели куба: а = 10,5 см. V=a3 = 1157,625 cм3
|
(Рис. 24) |
Вычисляем объем модели куба по формуле Симпсона V = h/6(Sнижнего основания+ Sверхнего основания + 4Sсреднего сечения): площади верхнего, нижнего основания и среднего сечения равны между собой а*а = 10,5*10,5 = 110,67 см2, h= а. V=10,5/6*(10,5+10,5+4*10,5)=1157,625 |
Задача № 2. Вычисляем объём модели правильной шестиугольной пирамиды по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 17,2 см и сторону основания а = 6,5 см.
|
(Рис. 25) |
Вычисляем S основания= ½(Роснования* r) = 1/2(6*6,5*5,6) = 109,2 см2, r = Rcos(180/n) = 6,5 *cos(180/6) = 5,6 см, R = а = 6,5 см, V =1/3(S*h) = 1/3(109,2*17,2) = 626 cм3 |
|
Вычисляем объем модели по формуле Симпсона V = h/6(Sнижнего основания + Sверхнего основания + 4Sсреднего сечения): площадь нижнего основания = 109,2 см2, площадь верхнего основания = 0 и площадь среднего сечения =27,72 см2 S сечения= ½(Рсечения* r) = 1/2(6*3,3*2,8) = 27,72 см2, r = Rcos(180/n) = 3,3 *cos(180/6) = 2,8 см, R = а = 6,5/2 = 3,3 см, h= 17,2 см. V =17,2/6*(4*27,72+109,2)630 = 626 см3 |
|
Задача № 3. Вычисляем объём модели цилиндра по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 20,4 см и радиус основания R = 14 см.
Приложение 12
|
(Рис. 26) |
Вычисляем S = π *R2 = 3,14* 142см2, V =S*h = 3,14*196*20,4 = 12554,976 cм3 Вычисляем объем модели по формуле Симпсона V = h/6(Sнижнего основания + Sверхнего основания + 4Sсреднего сечения): |
|||||
|
Площади верхнего, нижнего основания и среднего сечения равны между собой S = π *R2 = 3,14* 142 = 615,44см2, h= 20,4 см. V =20,4/6*(20,4+20,4)=12554,976 см3 |
||||||
|
Задача № 4. Вычисляем объём модели конуса по обычной формуле. Для этого измеряем высоту модели h = 21 см и радиус основания R = 6 см.
|
||||||
|
Задача № 5. Вычисляем объём модели шара по обычной формуле. Для этого измеряем радиус шара R = 7 см.
|
||||||
Приложение 13
Расчёт для берёзы:
(Рис. 29)
Расчёт для осины.
(Рис. 30)
Расчёт для сосны.
(Рис. 31)
Приложение 14
Результаты исследования «Определение объема «остаточных» формул»
Диаграмма 1. Определение количества «остаточных» формул.
Диаграмма 2. Предметы, по которым указаны формулы.
Приложение 15
Какой способ для запоминания формул Вы используете?
А) зазубривание
Б) понимание
В) метод ассоциаций
Г) другое
Диаграмма 3. Методы запоминания формул
Считаете ли Вы, что количество формул для заучивания соответствует уровню памяти среднего ученика?
Диаграмма 4. Соответствие количества формул уровню памяти среднего ученика
Считаете ли Вы, что для лучшего запоминания многих формул нужно использовать какую-нибудь одну универсальную формулу?
Диаграмма 5. Необходимость применения универсальной формулы
Приложение 16
Тест №1
Тест №2
Тест №3
Приложение 17
Тест №4
Тест №5
Приложение 18
Буклет