V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Сравнительная характеристика флексагона и флексора
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Как может быть занимателен мир математики! Все мы любим играть! Элемент игры, который делает математику интересной, может быть представлен в виде головоломки, ребуса, шарады, фокуса, парадокса и т. д. Решая нестандартные математические задачи, человек испытывает радость приобщения к творческому мышлению, интуитивно ощущает красоту и величие математики.
Я приглашаю вас на короткую экскурсию в мир удивительных бумажных игрушек, обладающих поразительной способностью внезапно менять свою форму - мирфлексагонов и флексоров (приложение 1, рис.1).
Актуальность: Когда я подбирал тему для своей работы, меня заинтересовали сгибаемые многогранники, особенно флексагоны и флексоры. Современная литература и Интернет-ресурсы содержат достаточное количество информации о флексагонах и флексорах. Я думал, какой же из видов сгибаемых многогранников мне взять для исследования? Какой вид сгибаемых многогранников менее изучен современными школьниками? Но, как оказалось, уже есть много работ по описанию флексагонов и флексоров как вместе, так и по отдельности. И тут мне в голову пришла мысль: а не сравнить ли мне флексагон с флексором? Я решил остановиться на этом.
Итак, флексагон и флексор, кусочки бумаги, способные увлечь не только ребенка, но и взрослого. Для некоторых не это не просто игрушка-головоломка, а настоящий первый шаг в мир математики.
Цельюмоей работы является ознакомление со сгибаемыми многогранниками–флексагонами и флексорами,проведение сравнительного анализа между этими двумя головоломками, а также я хочу показать, что в основе этих головоломок лежит математика.
Задачами моей работы являются:
- собрать полную и достоверную информацию о флексагонах и флексорах;
- построитьмакеты выбранных объектов исследования;
- выяснить, какие схожие и отличительные черты имеют мои объекты исследования;
- использовать полученные знания и материалы для построения рассказа осравнительной характеристики флексагона и флексора, а такжеподготовить презентацию по данной работе.
Гипотеза: возможно ли сравнить флексагон и флексор, обладают ли они схожими признаками и имеют ли отличительные черты?
Применяемые методы: информационный, метод моделирования, исследовательский, аналитический, анкетирование.
Продукт: полученная в результате работы сравнительная характеристика двух сгибаемых объектов исследования – флексагона и флексора.
Для подготовки данной работы мною были использованы Интернет-ресурсы, дополнительная литература и научно-популярные издания.
Глава 1. Что такое «флексагон» и что такое «флексор»?
Для того чтобы сравнить флексагон и флексор нам необходимо изначально иметь небольшое представление о них. Поэтому в начале своей работы я хочу дать краткое описание двум своим объектам исследования: флексагону и флексору.
1.1. Загадочный флексагон.
Флексагоны(отанг. toflex. лат. flectere – складываться, сгибаться, гнуться) – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы. Они обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу.
Поверхности флексагона могут состоять из равносторонних или равнобедренных треугольников, квадратов, пятиугольников и т.д. (приложение 1, рис. 2). Флексагон может допускать появление определённого числа поверхностей; некоторые из них могут быть аномальными (т.е. включающими в себя секторы с разными цифрами). Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток. Более того, даже одна и та же развёртка может допускать разные варианты сворачивания.
Названия многих флексагонов образованы по принципу «приставка (число поверхностей) + приставка (форма) + „флексагон“». Таким образом, первая приставка обозначает, сколько у флексагона поверхностей, которые могут рано или поздно раскрыться, а вторая — на сколько частей разделена каждая такая поверхность.
Например, тетратетрафлексагон — это флексагон с четырьмя поверхностями, каждая из которых состоит из четырёх квадратов. Гексагексафлексагон — флексагон с шестью поверхностями, каждая из которых состоит из шести треугольников.
Додекагексафлексагон — флексагон с двенадцатью («додека») поверхностями, каждая из которых состоит из шести («гекса») секторов, и т. д.
В ходе подготовки информации мне стало известно, что общепринятой системы наименований для флексагонов нет. Мартин Гарднер использовал термины «тетрафлексагон» и «гексафлексагон» для обозначения флексагонов, состоящих из квадратов и треугольников соответственно, причём поверхности тетрафлексагона могли состоять из четырёх или шести квадратов.
В более позднее время окта- и додекафлексагонами стали называть флексагоны с 8 и 12 треугольными секторами соответственно. Если секторы поверхностей флексагона представляют собой правильные или равнобедренные треугольники, то помимо гексафлексагонов существуют треугольные тетра - пента-гепта -октафлексагоны.
Артур Стоун и его друзья придумали:4 вида гептагексафлексагонов (7 поверхностей),12 видов октагексафлексагонов (8 поверхностей),27 видов эннагексафлексагонов (9 поверхностей)и 82 вида декагексафлексагонов (10 поверхностей).
Поверхностей может быть сколько угодно, даже 1 000 000, только такой флексагон будет почти невозможно крутить. И заготовку подобрать подтакойфлексагон очень сложно, потому что с каждым разом заготовки всё непонятнее.
Построение флексагона.
Приступая к своей работе, я понимал, что для проведения сравнительного анализа флексагона и флексора, мне необходимо из всего многообразия флексагонов выбрать какой-то один флексагон, который и ляжет в основу моей работы. Я решил, что для сравнительного анализа лучше всего подойдет гексагексафлексагон. Для разработки схемы сборки гексагексафлексагонамне необходимолист бумаги, линейка, клей и ножницы. Из стандартного листа бумаги формата А4 я вырезал две полоски шириной 4,5 см. Затем я их склеил в одну длинную полоску. Край получившейся полоски я обрезал таким образом, чтобы получилась сторона равностороннего треугольника и начал складывать полоску «змейкой» из треугольников. Получилась полоска бумаги с намеченными девятнадцатью треугольниками.
Имея небольшой опыт по сборке тригексафлексагона я понимал, что нужно найти такой способ расстановки чисел на имеющихся чертежах, чтобы он привел меня к полоске из девятнадцати треугольников (приложение 1, рис.3), схема сборки которой имеется в научной литературе. Если каждый треугольник пометить числом или символом, то чередование символов на развернутой полоске будет обладать определенной периодичностью. Например, на лицевой и обратной сторонах развертки гексагексафлексагона, цифры будут располагаться в такой последовательности: 123123 123123 123123 (лицевая) 445566 445566 445566 (обратная). При этом крайние треугольники на ленте не нумеруются.
Пронумеровав треугольники, мне необходимо было сложить получившуюся полоску бумаги таким образом, чтобы получился флексагон. Для этого мы складываем полоску бумаги как бы закручивая. Затем приступаем непосредственно к сборке флексагона. Его сборку нужно начинать с наибольшего числа и складывать так, чтобы треугольники, имеющие одинаковые числа, оказались наложенными друг на друга. В результате перегибания, я получил гексагексафлексагон с наружной разверткой с цифрой «2». Таким образом, первый объект для исследования мною построен.
1.3. Удивительный флексор.
Как мы уже поняли из главы 1.1 моей работыфлексагоны – это изгибаемые многоугольники. Что же представляет собой флексор?
Флексор – это изгибаемый многогранник, чью пространственную форму можно изменить непрерывной во времени деформацией, при которой каждая грань не изменяет своих размеров (то есть движется как твёрдое тело), а деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения двугранных углов. Такая деформация называется непрерывным изгибанием многогранника.
Флексоры представляют собой семейство изгибаемых многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями; где n = 6, 8 или любому большему целому числу. Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой по парам противоположных ребер, так что получается фигура вроде кольца(приложение 2, рис. 1).
Кольцо из тетраэдров как изгибаемый многогранник вызывает ряд возражений.
Во - первых, в нем есть дырка. Во-вторых, имеются ребра, к которым подходят по четыре грани. Так что непонятно, стоит ли называть это кольцо многогранником.
Чтобы избежать всяких сомнений, при поиске флексоров можно было бы ограничиться только выпуклыми многогранниками, т.е. многогранниками, лежащими по одну сторону от каждой из своих граней.
Итак, вращающиеся кольца тетраэдров – эта цепочка из тетраэдров обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время, меняя свою форму. Для своей исследовательской работы я выбрал флексор, состоящий из 8 тетраэдров.
Изготовление флексора.
Внешне флексоры выглядят привлекательнее, чем флексагоны, но математический интерес вызывает только кольцо из 8 тетраэдров, которое по-другому называют магическим. Математик Ройал В. Хит на заготовке для кольца из 8 тетраэдров расставил числа от 1 до 32 Как показано в приложении (приложение 2, рис.2)
По этой заготовке я и сделал флексор, который лег в основу моей работы. Он состоит из восьми тетраэдров. Сложности при его изготовлении не возникло. По вырезанной заготовке я склеил грани тетраэдра и получил готовый флексор.Единственный этап, на котором могут возникнуть трудности, приклеивание клапанов последнего тетраэдра (половина которого находится на одном конце развертки, а половина - на другом). Остальные тетраэдры складываются автоматически, если аккуратно согнуть развертку по всем линиям перед началом складывания. При вращении флексора, получаем четыре различные комбинации чисел с одним и тем же результатом:
1) 1+16+25+24+2+15+26+23=132;
2) 28+22+3+13+27+21+4+14=132;
3) 7+9+32+18+8+10+31+17=132;
4) 19+6+11+29+20+5+12+30=132;
Кроме этого, числа расположены так, что четыре грани каждого тетраэдра в сумме дают 66:
1) 1 + 30 + 7 + 28 = 66;
2) 12 + 17 + 14 + 23 = 66;
3) 31 + 4 + 26 + 5 = 66;
4) 21 + 15 + 20 + 10 = 66;
5) 2 + 29 + 8 + 27 = 66;
6) 11 + 18 + 13 + 24 = 66;
7) 32 + 3 + 25 + 6 = 66;
8) 22 + 16 + 19 + 9 = 66.
А также сумма граней при повороте по спирали равна132:
1) 1 + 22 + 32 + 11 + 2 + 21 + 31 + 12 = 132;
2) 25 + 13 + 8 + 20 + 26 + 14 + 7 + 19 = 132;
3) 24 + 6 + 9 + 28 + 23 + 5 + 10 + 27 = 132;
4) 16 + 30 + 17 + 4 + 15 + 29 + 18 +3 = 132;
5) 25 + 11 + 8 + 21 + 26 + 12 + 7 + 22 = 132;
6) 16 + 28 + 17 + 5 + 15 + 27 + 18 + 6 = 132;
7) 1 + 19 + 32 + 13 + 2 + 20 + 31 + 14 = 132;
8) 24 + 3 + 9 + 30 + 23 + 4 + 10 + 29 = 132.
Выкройка для построения таких колец оказалась несложной и чтобы построить для большего числа n, достаточно увеличить количество треугольников.
Глава 2.Схожие черты флексагона и флексора.
После краткого изучения, что такое флексагон и флексор, я могу перейти непосредственно к изучению их сходных и отличительных особенностей.
На самом деле схожих черт у флексагона и флексора не много, больше различий. Тем не менее, после изучения флексагона и флексора, я решил выделить следующие схожие черты.
Во-первых,и флексагон и флексор являются занимательными головоломками одного из разделов математики, который изучает свойства геометрических фигур. При этом в моей работе флексагон и флексор, как геометрические фигуры, изготовлены из листа бумаги. Лист бумаги, который способен увлечь нас в мир математики, помогает нам решать нестандартные задачи, развивать наблюдательность, умение логически мыслить, пробуждают веру в свои силы и при этом не забывать и использовать основные правила и принципы геометрии.
Во-вторых,при перегибании флексагонов и флексоров их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу.
Поверхности флексагона, независимо от того, из каких фигур они состоят,в одной развертке допускают появление определённого числа поверхностей; некоторые из них могут быть аномальными (т.е. включающими в себя сектора с разными цифрами). При этом другие плоскости оказываются внутрифлексагона. Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток.
Поверхности флексора также при развертке допускают появление определенного числа поверхностей. При этом часть поверхностей флексора оказываются внутри.
В-третьих, изготовить флексагон и флексор можно из любого числа поверхностей, но следует помнить, что если поверхностей будет больше 10, то число разновидностей флексагонов возрастет во много раз, а флексор будет очень сложно изгибать.
Глава 3.Отличительные черты флексагонаи флексора.
Как я уже писал, отличительных черт у флексагона с флексором намного больше, чем схожих. Я хотел бы в своей работе выделить следующие отличительные черты флексагона от флексора.
Во-первых,необходимо обратить внимание, что флексагон – это многоугольник, а флексор – многогранник.
В чем же различие этих двух понятий? Многоугольник – это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев). При этом многоугольники характеризуются углами, которые составляет каждая пара отрезков (звеньев) замкнутой ломаной, имеющих одну общую точку, и количеством отрезков (звеньев) ломаной линии.
Многогранник — это обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью. То есть можно сказать, что геометрические тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название «многогранники».
Говоря простым языком, понятным для большинства школьников моего возраста флексагон – плоская геометрическая фигура, а флексор – объемное геометрическое тело.
Во-вторых, при изгибании флексора можно увидеть другие его грани. Это является основной отличительной чертой флексора от флексагона. Если мы с вами выполним один какой-либо вариант развертки флексагона, то не сможем увидеть другие составные элементы флексагона. Если же мы выполним один какой-либо вариант развертки флексора, то нам будут видны другие грани тетраэдров, из которых он состоит.
В-третьих,при изготовлении флексагона могут использоваться различные многоугольники. Треугольники (равносторонние и равнобедренные), квадраты, пятиугольники, ромбы, трапеции и т.п. При изучении мною имеющейся информации о флексорах, я пришел к выводу, что при изготовлении флексора используются только тетраэдры и кубы.
Тетра́эдр — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, треугольная пирамида. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.
Эти фигуры являются правильными многогранниками, при различной развертке флексора, построенного из таких многогранников, он не теряет своей формы. Построение же флексора из иных геометрических тел (неправильных многогранников) не представляется возможным, поскольку теряется основное свойство флексора – сгибаемость.
Глава 4. Анкетирование.
В ходе выполнения своей работы мне стало интересно, а знают ли мои одноклассники, что такое флексагон и флексор? Для того, чтобы получить информацию по данному вопросу я решил провести небольшое анкетирование. В свою анкету я включил 6 вопросов, которые непосредственно связаны с моей исследовательской работой:
- Любите ли вы уроки математики?
- Интересно ли вам изучать геометрические фигуры?
- Знаете ли вы, что такое изгибаемый многогранник?
- Знаете ли вы, что такое флексагон?
- Знаете ли вы, что такое флексор?
- Можете ли вы назвать отличие флексагона от флексора?
Варианты ответов в моей анкете было два: «да» и «нет».
Анкетирование я провел среди учащихся своего и параллельного классов. Так в анкетировании приняли участие учащиеся 6 «а» и 6 «б» классов ГБОУ СОШ №13 г.о.Чапаевск. Всего приняли участие 41 человек.
На вопрос «Любите ли вы уроки математики?» ответ «да» дали 39 человек, что составило 95,12% от общего числа учащихся, принявших участие в анкетировании. Изучать геометрические фигуры интересно 35 учащимся, что составляет 85,36%. На дальнейшие мои вопросы большинство учащиеся отвечали «нет». Так на вопрос «Знаете ли Вы, что такое изгибаемый многогранник?» ответ «нет» проставили 35 человек, что составляет 85,36%. Что такое «флексагон» не знают 38 учащихся (92,68%). Геометрическое тело под названием «флексор» не знаю 40 учащихся (97,56%). В связи с тем, что большинство моих одноклассников не знают, что такое «флексагон» и «флексор», на вопрос «Можете ли Вы назвать отличие флексагона от флексора?» ответ «нет» дали 39 человек (95,12%).
Таким образом, можно сделать вывод, что большинству моих одноклассников нравятся уроки математики и нравится изучать различные геометрические фигуры. Но не все хотят выйти за рамки школьного курса и изучить, так сказать, «сложные» фигуры, а именное флексагон и флексор. Я также хочу отметить, что все мои одноклассники заинтересовались темой моей исследовательской работы, и задавли мне вопросы, что же такое «флексагон» и «флексор». А когда узнали, что это геометрические игрушки, их интерес стал еще больше. Особенно им захотелось их сделать.
Таким образом, я могу сделать вывод, что моя исследовательская работа интересна учащимся.
Заключение
Моя исследовательская работа посвящена сравнению двух математических головоломок, а именнофлексагона и флексора, из взаимосвязи с таким предметом, как математика.
Прочитав специальную литературу, изучив природу флексагонов и флексоров, построив их модели, можно сделать вывод: в их основе лежит чистая геометрия. Нельзя флексагоны и флексоры воспринимать как обычное оригами. Это выходит далеко за рамки привычного для нас «бумаголомания» и является геометрией. Этим вопросом занимались несколько известных математиков, поэтому флексагоны и флексоры – это, с одной стороны, занимательная математика, а с другой, доказательство того, что существуют многогранники, обладающие способностью изгибаться и ломаться.
При изучении и изготовлениифлексагона и флексора, я смог проанализировать их основные свойства и выделить схожие и отличительные черты этих объектов исследования.
Работа над флексагонами и флексорами расширило мои знания в математике. Я познакомился с ранее незнакомым мне видом флексагонов, увидел математику с совершенно другой неизвестной, но занимательной стороны. Я также понял, что эта другая сторона математики взаимосвязана с той чистой, обыденной математикой. Например, при изготовлении гексафлексагона, или кольца тетраэдров нужно чертить правильные треугольники и т.д. Сам наглядно увидел, как работают фексагоны и флексоры. Гексафлексагоны действительно могут, выворачиваясь изменять цвета.
В моей работе изучен интерес к данной теме учеников шестых классов путем анкетирования. Моя работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику. Также работа может быть использована на уроках математики при изучении свойств треугольников, шестиугольников, тетраэдров.
В результате подготовки работы мною был подготовлен иллюстративный и демонстрационный материал, разработана и подготовлена презентация.
Таким образом, я думаю, что поставленные в ведении задачи и цель данной работы нашли свое подтверждение в ходе написания моей работы.
Закончить свою работу мне хотелось бы словами Блез Паскаля «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев, делать его немного занимательным».
Приложение 1
Рис. 1.Флексагон и флексор
Рис. 2. Виды флексоров
Рис.3 Схема построения флексагона
Приложение 2 Рис. 1. Виды флексоров Рис. 2. Схема построения флексора
Список использованной литературы и Интернет ресурсов:
ВИКИПЕДИЯ. - URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Флексагон.
Дженкинс Д., Биар М. Математические головоломки. - М.: Центрполиграф, 2000.
Долбинин Н.П. Жесткость выпуклых многогранников. / Квант, №5, 1988.
Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971.
Залгаллер В. Непрерывно изгибаемый многогранник. // Квант. 1978. № 9.
Панов А. А. Флексагоны, флексоры, флексманы. //Квант. 1989. №1.
Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для 5-6 классов. - М.: Мирос, 1995.
http://www.pandia.ru.
http://www.еvrika-clab.net