V Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Задачи на максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значение функции алгебраического, тригонометрического и геометрического содержания
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Аннотация
В нашей жизни мы сталкиваемся с задачами, требующих нахождения оптимального решения.Некоторые из них можно решить без применения производной, а некоторые требуют нахождения максимума и минимума, наибольшего и наименьшего значения функции через производную. Задачи на оптимизацию могут быть различного содержания: алгебраического, геометрического и тригонометрического. Задачи на максимум-минимум были одними из тех, которые привели к созданию дифференциального исчисления. В процессе изучения производной в школьном курсе математики рассматриваются некоторые её приложения в физике, а также ряд текстовых задач на нахождение наибольшего или наименьшего значений. Однако сфера производной применения этим не ограничивается. Существует масса реальных экономических задач, для решения которых необходимо использовать методы дифференциального исчисления.
Метод нахождения экстремальных значений функции имеет важнейшее, ключевое значение для решения большого класса задач из разных разделов курса физики, математики, экономики и других наук. Специфика этих задач включает получение на основе некоторых физических и математических закономерностей функциональной зависимости и нахождение экстремального значения. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.
В данной работе были рассмотрены различные задачи и приведено их подробное решение. Продуктом данного проекта является сборник, который состоит из трёх частей. В первой части приведена теория по данной теме. Во второй части разобраны решения задач по блокам: 1. Задачи алгебраического содержания, 2. Задачи тригонометрического содержания. 3. Задачи геометрического содержания. В третьей части сборника представлены подобные задачи для самостоятельного решения. В конце приведены ответы. В настоящее время подобных сборников мало и некоторые из них не имеют разнообразия в содержании или рассматриваемые задачи неактуальны в настоящее время. Так же имеются сборники, содержащие задачи либо только с применением производной, либо без её использования: Сергей П. Актершев «Задачи на максимум и минимум» 2005 год; В. С. Михеева, О. В. Стяжкина, О. М. Шведова, Г. П. Юрлова «Математика» 2009 год; А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович «Краткий курс математического анализа» 2010 год; И. Б. Абельсон «Максимум и минимум» 1935.
Все задачи, которые содержатся в данном сборнике, были найдены и отобраны из множества различных источников. Данный сборник поможет обучающимся старших классов более подробно изучить тему нахождения максимума и минимума, наибольшего и наименьшего значения функции и подготовиться к экзамену.
Цель: создание сборника задач на нахождения максимума и минимума, наибольшего и наименьшего значения функции различного содержания.
Для достижения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:
Изучить литературу по данной теме;
Отобрать необходимые задачи;
Выяснить области их применения;
Выпустить сборник.
Методы и приёмы исследования:
1. Теоретический: анализ и синтез информации при изучении литературы по теме исследования.
2. Метод обобщения полученных результатов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Было изучено большое количество литературы. Найдены и решены задачи различного содержания, используемые во многих областях науки. Данные примеры тщательно разобраны и представлены в более доступной форме. Создан сборник для самостоятельного решения, а также к каждой задаче прилагаются ответы для того, чтобы проверить себя. По представленному материалу можно целиком изучить тему, по которой написана работа.
Сборник в приложении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. Г. Мордкович «Алгебра и начала математического анализа учебник и задачник 10-11 классы» 2009 г. 399 с.
2. Гельфанд И. М., Шень А. X. «Алгебра» 2009 г. 144с.
3. И. Б. Абельсон, Максимум и минимум , ОНТИ, 1935 и С. И. Зетель, Задачи на максимум и минимум, Гостехиздат, 1948 г 32 с.
4. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», том 1, 1996 г 426с.
5. Рассказ Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» 1886 г.
6. Сергей П. Актершев «Задачи на максимум и минимум» 2005 год 192 с.
7. http://festival.1september.ru/articles/529841/
8. https://ege.sdamgia.ru/
9. https://scisne.net/a-1352?pg=3
10. https://scisne.net/a-1751
11. http://kontromat.ru/?page_id=888
12. http://dic.academic.ru/dic.nsf/brokgauz_efron/128862/Дифференциальное
13. https://demiart.ru/forum/journal.php?user=1141375&print=206134
14. https://matematikalegko.ru/issledovanie-funkcii-ege/issledovanie-funkcij-1.html
15. http://mathematichka.ru/ege/problems/problem_B14P1.html
16. http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/598987/
17. https://infourok.ru/primenenie_proizvodnoy_pri_reshenii_ekonomicheskih_zadach-533635.htm
18. https://www.e-reading.club/bookreader.php/131642/Aktershev-Zadachi_na_maksimum_i_minimum.pdf
19. http://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=581&start=110
20. http://mathprofi.ru/naibolshee_i_naimenshee_znacheniya_funkcii_na_otrezke.html
21. https://ege.sdamgia.ru/test?theme=78
22.https://author24.ru/spravochniki/matematika/obschiy_plan_issledovaniya_funkciy_i_postroeniya_grafikov/reshenie_zadach_na_maksimum_i_minimum_s_pomoschyu_proizvodnoy/
23. http://www.keldysh.ru/pages/comma/html/nonlinear/extremum.html
24. http://padaread.com/?book=49375&pg=6
25. http://www.afportal.ru/physics/task/minmax
26. https://matemonline.com/primeru/uprazhnenie-na-proizvodnuju/naimenshij-obem-parallelepipeda/
Приложение 1
А.А. Кривошеева
ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ
И МИНИМУМ,
НАИБОЛЬШЕЕ
И НАИМЕНЬШЕЕ
ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО И ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ
СБОРНИК
2018
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данный сборник «Задачи на максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значение функции алгебраического, геометрического и тригонометрического содержания» имеет множество задач и предназначен для учащихся 10 и 11 классов.
Все задачи разбиты на три группы по теме: алгебра, геометрия, тригонометрия. При этом сборник остаётся пособием для самостоятельного решения задач. Сборник поделён на три главы: первая глава «Теория» содержит: понятия о максимуме и минимуме, наибольшем и наименьшем значении функции, алгоритм для решения задач на максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значение функции, правила дифференцирования, таблица производных, а так же представлен алгоритм решения задач на оптимизацию. Во второй главе « представлены решения задач различного содержания в качестве примеров для того, чтобы полностью понять тему и уметь решать по ней поставленные задачи. Третья глава «Задачи для самостоятельного решения» Третья глава предназначена для практического применения знаний полученных в предыдущих двух главах. Даны задачи, а так же их ответы, по которым можно самостоятельно проверить себя.
При составлении сборника главной целью было обосновывать все решения довольно подробными объяснениями и выкладками.
Надеюсь, что данная книга окажет помощь в решении задач всем, кто будет ею пользоваться при подготовке к выпускным экзаменам в школе.
Глава 1. «Теория».
Представим себе, что путешественник,
переходя через гору,
прошёл путь, который мы условно М Е S
изобразили на чертеже линией AB. А B
Будем измерять высоту подъёма от уровня
моря. На чертеже уровень моря изображён
прямой PQ, и если путешественник
находится в точке M, то высота подъёма P N K R Q
Будет представлена отрезком NM. По мере продвижения путешественника его высота над уровнем моря изменяется ( т. е. является переменной величиной); пока он поднимается, эта высота увеличивается; когда он достигает вершины – точки E – высота сделается наибольшей, а затем при дальнейшем продвижении путешественника вниз по склону горы, высота путешественника над уровнем моря будет уменьшаться. Из чертежа видно, что вертикальный отрезок KE измеряющий эту высоту в точке E, будет больше, чем любой вертикальный отрезок лежащий левее KE. Когда же путешественник перейдёт вершину и будет находиться правее точки E, то соответствующие вертикальные отрезки (например RS) также будут меньше чем KE. Отсюда видно, что из всех вертикальных отрезков, измеряющих высоту путешественника в различные моменты его пути, отрезок KE является наибольшим. Такое наибольшее значение переменной величины (в данном случае высоты над уровнем моря) называется максимальным.
В течение летней ночи каждые 10 мин. T
измеряют температуру воздуха и результаты
отмечают на графике. Если по горизонтальной
оси откладывать время, а по вертикальной -
температуру, то получим ряд отрезков (ординат).
Отыскав на графике наименьшую из ординат
И соответствующую ей точку на
горизонтальной оси Ot, тем самым определяем
момент наиболее низкой температуры. Такое значение величины (температуры) называют минимальным; слева и справа от точки ординаты больше, чем ордината для этой точки.
Общее для обоих примеров заключается в том, что переменна величина (высота, температура) в своём измерении доходит до крайнего значения – в сторону возрастания или убывания - чтобы затем начать изменения в обратном направлении. Поэтому вопросы максимума и минимума изучают параллельно. Оба эти понятия объединяют в одно понятие – крайнего или экстремального значения. Мы увидим, что задачи на максимум и минимум решаются совершенно одинаковым образом.
Определение: стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.
y=3x³+2x²-7
у'=
= 0
0 и – стационарные точки
Определение: критические точки - это точки, где производная либо равна нулю, либо не существует.
Теорема 1: если , то функция возрастает . Если , то функция убывает.
Теорема 2: если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке производная функция либо равна 0, либо не существует.
Теорема 3: если непрерывна и она имеет стационарные и критические точки, то:
1)
2)
3)
Точки экстремума нет
Алгоритм нахождения max и min
Найти производную ;
Прировнять к нулю;
Найти стационарные и критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;
Нанести на числовую прямую и определить знак производной;
Найти max и min.
3;
0 2
Ответ: Возрастает на
Убывает на (0;2)
Алгоритм решения задач на оптимизацию
I этап. Составление математической модели.
Проанализировать условия задачи, выделить оптимизируемую величину, т.е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначить ее буквой у (или S, R, V - в зависимости от содержания задачи).
Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую нетрудно выразить оптимизируемую величину, принять за независимую переменную и обозначить ее буквой х (или какой-либо другой буквой). Установить реальные границы изменения независимой переменной в соответствии с условиями задачи.
Исходя из условия задачи, выразить у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию у=f(х) с областью определения Х, которую нашли на втором шаге.
II этап. Работа с составленной моделью.
Найти для функции у=f(х), у наименьшее или у наибольшее в зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом использовать теоретические установки, которые рассмотрели при определении наибольшего и наименьшего значений функции.
III этап. Ответ на вопрос задачи.
Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью. Записать ответ в терминах предложенной задачи.
Экономический смысл производной
Производительность труда.
Пусть известна функция , выражающая объём произведённой продукции и за время t. Тогда за время величина произведённой продукции составит
Средняя производительность труда – это отношение количества произведённой продукции к затраченному времени, т.е.
Производительностью труда в момент времениt0 называется предел, к которому стремится zср при :
Глава 2 «Задачи на максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значение функции».
2.1 «Задачи на максимум и минимум, наибольшее и наименьшее значение функции алгебраического содержания».
Максимум и минимум используется для решения задач, где необходимо найти наибольшее и наименьшее значение.
Задача 1. Найдите наибольшее значение функции y = x3 + 2x2 + x + 3 на отрезке [−4;−1].
Решение:
1. Находим производную
y' = 3x2 + 4x + 1.
2. Приравниваем к нулю
y' = 0
3. Решаем уравнение
3x2 + 4x + 1 = 0 D = 16 − 12 = 4.
Корни x1,2 = ;
x1 = ; x2 = −1.
Функция непрерывна на всей области определения.
Точек, где y' не существует, нет.
D(f) = (−∞;+∞).
4. Наносим на числовую прямую и определяем знак производной
-4 -1
Находим значения функции в этих точках и на краях отрезка. Можно увидеть, что -1 является максимальным значением, значит наибольшее значение функции в точке -1. Подставляем в функцию:
y(x) = x3 + 2x2 + x + 3;
y(−1) = (−1)3 + 2·(−1)2 − 1 + 3 = −1 + 2 − 1 + 3 = 3.
Проверим остальные точки:
y(−4) = (−4)3 + 2(−4)2 − 4 + 3 = −64 + 2·16 − 4 + 3 = −33;
y() = ()3 + 2()2 + 3 = + 2· + 3 = 2.
Выбираем самое большое из получившихся значений y. Это y(−1) = 3
Ответ: 3
Задача 2. Каково максимально возможное значение произведения если – неотрицательные числа, для которых
Решение:
Произведение чисел максимально, когда максимально произведение чисел – а оно максимально, когда эти числа равны, т. е. . Итак, максимальное значение произведения равно:
Ответ:
Задача 3. 1. Каково максимально возможного значение произведения двух неотрицательных чисел, сумма которых равна с? 2. Каково минимально возможное его значение?
Решение:
1. Среднее арифметическое их равно , так что их среднее геометрическое не превосходит , а его квадрат (т. е. произведение чисел) не превосходит – это максимально возможное значение достигается, когда числа равны. 2. Минимально возможное значение равно 0. Так будет, если одно из чисел равно 0, а другое равно c.
Ответ: 1.; 2. 0
Задача 4. Затраты на производство продукции объёма х задаются функцией
Производитель реализует продукцию по цене 25 ден.ед. Найдите максимальную прибыль П. и соответствующий объём продукции
Решение:
Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой надо найти
Прибыль равна разности между выручкой U и затратами С.
П= U – С
Находим соответствующую функцию, зависящую от х
Реализовав продукцию объёма х по цене 25 ден.ед., предприниматель имеет выручку, . При этом затраты составят C(x) . Значит,
Определяем (по смыслу задачи) область определения функции
По смыслу задачи объём продукции х может принимать любое положительное значение, т.е.
Формулируем математическую задачу
Найти наибольшее значение функции
Функцию аргумента х исследуем на экстремум на найденном промежутке следовательно, стационарная точка функции
Производная меняет свой знак при переходе через эту точку с «+» на «–», значит – точка максимума.
Интерпретируем результаты и записываем ответ
Максимальная прибыль, равная 96 ден.ед., достигается при объёме производства 10 у.е.
Ответ: 96 ден. ед., при объёме производства 10 у.е.
Задача 5. Найдите точку максимума функции
Решение:
Заметим, что , а значит,
Тогда
На луче производная положительна, а функция не имеет экстремумов. На луче производная обращается в нуль в точке −5, которая является точкой максимума.
Ответ: -5
Задача 6. Найдите минимальное значение функции
Решение:
Рассмотрим отрезок DE длины b. Восставим перпендикуляры к этому отрезку в его концах: DА = a, EВ = c (точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно DE, см. рис.). Пусть точка С лежит на отрезке DE и DС = x, тогда
ЕС = b – x. Из прямоугольных треугольников ACD и BCE получим: Так как АС + ВС ≥ AB, то минимальное значение данной функции равно (оно достигается, когда точка C лежит на отрезке AB).
Ответ:
Задача 7. Дан трёхчлен второй степени вида: Найти минимальное значение трёхчлена.
Решение:
Обозначим трёхчленчерез , т. е. = . Если переменной будем давать ряд значений, например то каждому такому значению соответствует значение ; в данном случае и т. д. Можно было бы построить большую таблицу соответствующих значений и из рассмотрения её выяснить приблизительно, при каком значении трёхчлен получает наименьшее значение. Но этот путь весьма длинный. Мы поступим следующим образом. Выражение дополним до квадрата двучлена:
Тогда заданный трехчлен можно преобразовать так:
В полученном выражении первое слагаемое переменное (зависит от значения , второе – постоянное. Чтобы значение было минимальным, надо сделать первое слагаемое возможно меньшим. Теперь не трудно видеть, что из всевозможных значений особую роль играет значение ; оно обращает первое слагаемое в нуль. Всякое другое значение , будет ли оно больше 3 или меньше 3, сделает слагаемое числом положительным, и тогда будет больше 12. Поэтому минимальное значение трехчлена будет:
и достигается оно при .
Ответ: 12
Задачи по физике.
Задача 1. Ядро выпущено из пушки, наклоненной к горизонту под углом с начальной скоростью Рассматриваем вакуум. Дальность полета ядра определяется формулой Определить угол наклона пушки, при котором дальность полета будет максимальной.
Решение:
Исходная функция:
Производная заданной функции:
Исследуем знак с помощью числовой прямой:
Вычислим значения заданной функции в точках
Функция достигает максимума в точке Следовательно, дальность полета ядра будет максимальной при угле наклона пушки Ответ:
Задача 2. Шайба, скользившая по гладкому полу со скоростью vo = 12 м/с, поднимается на трамплин, верхняя часть которого горизонтальна, и соскакивает с него. При какой высоте трамплина h дальность полета шайбы S будет максимальной?
Решение:
Скорость шайбы на вершине трамплина v можно найти с помощью закона сохранения энергии:
Высота трамплина и дальность полета шайбы связаны со временем полета t формулами:
Из записанных выше равенств получим зависимость дальности полета шайбы от высоты трамплина:
Очевидно, что дальность полета будет максимальной при условии:
Причем сама максимальная дальность равна:
Ответ:
Задача 3. Максимальная дальность полета камня, выпущенного из неподвижной катапульты, равна S = 22,5 м. Найдите максимально возможную дальность полета камня, выпущенного из этой же катапульты, установленной на платформе, которая движется горизонтально с постоянной скоростью v = 15,0 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать, ускорение свободного падения считать g = 10,0 м/с2
Решение:
Хорошо известно, что максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле вылета равном 45° и определяется формулой:
Из этой формулы можно найти скорость, которую катапульта сообщает камню:
м/с.
Рассмотрим теперь полет камня, выпущенного из движущейся катапульты. Введем систему координат, оси которой: X — направлена горизонтально, а Y — вертикально. Начало координат совместим с положением катапульты в момент вылета камня.
Для вычисления вектора скорости камня необходимо учесть горизонтальную скорость движения катапульты v = vo. Допустим, что катапульта выбрасывает камень под углом α к горизонту. Тогда компоненты начальной скорости камня в нашей системе координат могут быть записаны в виде:
|
vxo = vo + vo cos α, |
|
vyo = vosin α. (2) |
Закон движения камня имеет вид:
x = vxo = vo(1 + cos α)t,
Из второго уравнения системы (3) найдем время полета, положив y = 0,
Подставив это выражение в первое уравнение системы (3), получим дальность полета камня:
Отвлечемся немного от решения данной конкретной задачи и порассуждаем о полученном выражении.
Во-первых, если катапульта неподвижна (v = 0), то формула (5) переходит в известное выражение для дальности полета тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту:
Во-вторых, из (5) совсем не следует, что S1 будет максимально при α = 45° (это справедливо для (6), когда v = 0).
Предлагая эту задачу на республиканскую олимпиаду, авторы были убеждены, что девять десятых участников получат формулу (5) и затем подставят в нее значение α = 45°. Однако, к нашему сожалению, мы ошиблись: ни один из олимпийцев не усомнился в том, что максимальная дальность полета всегда (!) достигается при угле вылета, равном 45°. Этот широко известный факт имеет ограниченные рамки применимости: он справедлив только, если:
а) не учитывать сопротивление воздуха; б) точка вылета и точка падения находятся на одном уровне;в) метательный снаряд неподвижен.
Вернемся к решению задачи. Итак, нам необходимо найти значение угла α, при котором S1определяемое формулой (5), максимально. Можно, конечно, найти экстремум функции, используя аппарат дифференциального исчисления: найти производную, положить ее равной нулю и, решив полученное уравнение, найти искомое значение α. Однако, учитывая, что задача была предложена ученикам 9-х классов, мы дадим ее геометрическое решение. Воспользуемся тем обстоятельством, что v = vo = 15 м/с.
Расположим векторы v и vo как показано на рис. Так как их длины равны, то вокруг них можно описать окружность с центром в точке О. Тогда длина отрезка AC равна vo + vocos α (это есть vxo ), а длина отрезка BC равна vo sin α (это vyo). Их произведение равно удвоенной площади треугольника АВС, или площади треугольника АВВ1.
Обратите внимание, что именно произведение входит в выражение для дальности полета (5). Иными словами, дальность полета равна произведению площади ΔАВВ1 на постоянный множитель 2/g.А теперь зададимся вопросом: какой из вписанных в данную окружность треугольников имеет максимальную площадь? Естественно, правильный! Поэтому искомое значение угла α = 60°.
Вектор AB есть вектор полной начальной скорости камня, он направлен под углом 30° к горизонту (опять же отнюдь не 45°).
Таким образом, окончательное решение задачи следует из формулы (5), в которую следует подставить α = 60°.
Ответ: 58,5 м.
Задача 4. Предохранитель в цепи электрического тока составлен из двух параллельно соединенных плавких предохранителей. Один из них имеет сопротивление R1 и рассчитан на максимальное значение тока I1, а второй — сопротивление R2 и рассчитан на ток I2. Какое максимальное значение силы тока может выдержать составной предохранитель?
Решение:
Обозначим силу тока через первый предохранитель i1, а через второй — i2. Так как предохранители соединены параллельно, то:
|
i1 + i2 = I, |
|
i1R1 = i2R2, |
где I — сила тока в общей цепи. Из данной системы легко найти:
Далее необходимо проанализировать возможные варианты: какой из предохранителей перегорит при возрастании тока во внешней цепи раньше и перегорит ли после этого второй. Такой анализ приводит к результату:
а) при: предельное значение силы тока равно I1;
б) при: предельное значение:
в) при: предельное значение:
г) при: предельное значение — I2. (25)
Задача 5. Подвешенному на нити шарику сообщили начальную скорость в горизонтальном направлении. Когда нить отклонилась на угол α = 30° от вертикали, ускорение шарика оказалось направленным горизонтально. Найдите угол максимального отклонения нити.
Решение:
Когда нить отклонена на угол α, составляющие ускорения, направленные вдоль нити и по касательной к траектории шарика, определяются формулами:
τ = g sin α,
где V — скорость шарика, l — длина нити.
Поскольку ускорение шарика в этот момент направлено горизонтально, проекции векторов n иτ на вертикальную ось одинаковы по модулю:
|
n cos α = aτ sin α, |
или
откуда: .
Далее запишем закон сохранения энергии для шарика:
Решая это уравнение относительно cosαm, получим:
Ответ: 0,73
2.2 «Задачи на максимум и минимум тригонометрического содержания».
Задача 1. Найдите точку максимума функции y = (2x –3) cos x – 2sin x + 5
принадлежащую промежутку (0; ).
Решение:
Найдём производную функции:
Решаем уравнение:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, и другие при этом не теряют смысла. Следовательно:
Решаем уравнение – sin x = 0:
В условии дан промежуток (0; ). Ему не принадлежит ни один из полученных корней. Указанные границы исключены (скобки круглые).
Решаем уравнение: 2х – 3 = 0, получим х = 1,5.
Запишем данный промежуток в радианах, получим: (0; 1,57), так как
Следовательно полученное значение принадлежит промежутку (0; ):
Полученное значение х разбивает данный промежуток на два других. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных промежутков (0;1,5) и (1,5;1,57) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
В подобных случаях необязательно вычислять значения выражений. Важно установить их знаки (положительный либо отрицательный).
() – 3 имеет отрицательный знак
3,14 – 3 имеет положительный знак
В целом этого достаточно для определения знака выражения.
Таким образом, в точке х = 1,5 функция меняет знак с положительного на отрицательный, данная точка является точкой максимума функции на заданном промежутке.
Ответ: 1,5
Задача 2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
0
В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 12
Задача 3. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел и . Найдем их:
Заметим, что , поэтому наибольшее значение функции на отрезке равно −33.
Ответ: -33
Задача 4. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Уравнение не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей.
Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является
Ответ: 9
Задача 5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найденная производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей.
Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является
Ответ: 9
Задача 6. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел и . Найдем их:
-7tg
Заметим, что поэтому наибольшее значение функции на отрезке равно 4.
Ответ: 4
Задача 7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является
Ответ: 25
2.3 «Задачи на максимум и минимум геометрического содержания».
Задачи на оптимизацию.
Задача 1. Молодой предприниматель Михайлов Юрий в свете экономического кризиса решил выкупить нерентабельное провинциальное перерабатывающее предприятие и пригласил экономиста Гульдерова Германа помочь с расчетами по оптимизации расходов. Одна из задач, поставленных перед Германом, была следующая: найти, при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим.
Решение.
1 этап. Составление математической модели.
Составление модели облегчается тем, что известна форма банки и оговорено, что она должна быть заданной емкости. Это существенно для составления модели. Существенным является также требование, чтобы расход жести на изготовление банки был минимальным. Это требование означает, что площадь полной поверхности банки, имеющей форму цилиндра, должна быть наименьшей; существенны и размеры банки. Несущественны для составления математической модели конкретное (численное) значение емкости банки и вид консервов (мясных, овощных), для которых банка предназначена.
Обозначив емкость банки через V см³, сформулируем задачу: Определить размеры цилиндра с объемом V см³ так, что бы площадь его полной поверхности была наименьшей.
Для решения задачи обозначим радиус основания цилиндра через х, а высоту его через h (все измерения в сантиметрах). Тогда объем цилиндра
Полная поверхность цилиндра:
.
Итак, .
Так как переменная х может принимать только положительные значения, решение задачи сводится к нахождению наименьшего значения S(х) на .
2 этап. Работа с составленной моделью.
Найдем производную S´(х):
Для нахождения критических точек решим уравнение S´(х) = 0.
Корень уравнения: .
При .
Следовательно, в точке S(х) имеет минимум.
Следовательно, функция в этой точке достигает наименьшего значения.
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра, имеющего объем V, будет наименьшей при , т.е. когда цилиндр равносторонний.
3 этап. Ответ на вопрос задачи.
Наименьший расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет достигнут при условии, что диаметр основания и высота банки равны между собой.
Полезно обратить внимание на то, что в нашей стране выпускаются ежегодно сотни миллионов банок консервов в жестяной упаковке. Экономия 1% жести на изготовление каждой банки позволит за счет сэкономленного материала дополнительно изготовить несколько миллионов новых банок. Вместе с тем промышленность нередко выпускает консервы в жестяной таре, не обеспечивая наименьший расход материала на изготовление банки. Это обусловлено рядом причин: стремлением минимизации отходов при изготовлении банок, соображениями торговой эстетики. Возможностями транспортировки и т.д.
Задача 2. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500 . Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?
Решение:
1. Составление математической модели.
Надо, чтобы при заданной площади периметр был минимален:
Пусть, х - одна из сторон прямоугольника, тогда другая сторона равна
Р = 2(х + ) = 2x + ;
2. Работа с составленной моделью.
Найдем производную функции Р(х):
P'(x) = 2 - = 0
= 5000
= 2500
x = 50.
0 < x < 2500; x (0 ; 2500)
Ищем точку экстремума на числовой прямой, подставляя значения в производную.
0 50 2500
x = 50 - точка минимума функции Р(х).
Тогда другая сторона прямоугольника равна = 50.
3. Ответ на вопрос задачи.
Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на её забор ушло меньшее количество сетки «рабицы». То есть самый оптимальный вариант прямоугольника с точки зрения условия - квадрат со стороной 50 м.
Ответ: 50 м х 50 м
Задача 3. Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах AB и BC взяты соответственно точки P и E так, что BP=BE=3 см. На сторонах AD и CD берутся точки, соответственно, K и M так, что четырехугольник KPEM - трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?
Решение:
1. Составление математической модели.
Сторона квадрата АВ = 8 см, ВР = ВЕ = 3 см. Поскольку КРЕМ - трапеция, то КМ параллельно РЕ, поэтому DK = DM = x. Длина одного основания РЕ = 3, длина другого КМ = х. Диагональ квадрата АС = BD = 8. Рассмотрим треугольники KMD и PBE. Отметим точки пересечения диагонали BD с основаниями трапеции PE и KM.
B E C
M
A K D
Длина BN = PN = EN = 3. Длина DF = KF = MF = x. Длина OB = = 4
B E C
O
M
F
A K D
Высота трапеции FN = BD - BN - DF = 8 - 3 – x
Площадь трапеции S = (PE + KM) = S = =
2. Работа с составленной моделью.Дальше находим производную, приравнивая к 0
S ' = = = 5 - x
5 - x = 0 x = 5
0 5
x = 5 - точка максимума функции S (x)
S = = 32
3. Ответ на вопрос задачи.
Таким образом, наибольшая площадь трапеции равна 32
Ответ: 32
Задача 4. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала.
Решение:
1. Составление математической модели.
Пусть, a – сторона основания, b – высота.
V = = 32
Бак является прямоугольным параллелепипедом.
Для того, чтобы узнать какое наименьшее количество материала уйдёт на изготовление бака, нужно знать его площадь.
S =
S =
2. Работа с составленной моделью.
– min
3. Ответ на вопрос задачи.
Значит, размеры сторон бака равны 4, 4 – стороны основания, 2 – высота бака.
Ответ: 4, 4, 2
Задача 5. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошел человек. Верхняя точка памятника выше уровня глаз человека на метров, а верхняя точка постамента - на метров. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?
Решение:
OF – постамент, FP – статуя
F
O – основание постамента,
M – точка, в которой находится человек
A
K
AM – рост человека
O
PK = , FK = PF =
M
угол KAF =
1) обозначим угол PAF за
2) Пусть OM = x при этом
3) ; .
Итак,
откуда находим:
В задаче речь идёт об . Но наибольшему значению угла будет соответствовать и наибольшее значение тангенса угла, то есть
– это единственная точка экстремума функции, причём точка максимума. Следовательно, достигается именно в этой точке.
Мы выяснили на каком расстоянии от памятника должен стоять человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом OM =
Ответ: OM =
Задача 6. Фрагмент рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшем землю у башкир.
- А цена какая будет? – говорит Пахом.
- Цена у нас одна: 1000 рублей за день.
Не понял Пахом.
- Какая же это мера – день? Сколько в ней десятин будет?
- Мы этого, – говорит, - не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь за день , то твое, а цена 1000 рублей.
Удивился Пахом.
- Да ведь это, - говорит, - в день обойти земли много будет.
Засмеялся старшина.
- Вся твоя, - говорит. – Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.
Решение:
Фигура, которая получилась у Пахома, изображена на рисунке.
13
2
10
15
Обежал он за день, например, прямоугольную трапецию периметром 40 км. С площадью
S = 78 км².
Проверим, наибольшую ли площадь при этом получил бы Пахом (с учетом того, что участки обычно имеют форму прямоугольника)?
Р = 40 км. a – первая сторона, 20 – а – вторая сторона.
a
S = а (20 - а) = - а² + 20 а.
S´ = - 2а + 20 = 0, а = 10.
S´´ = - 2 < 0
Следовательно, наибольший четырехугольник – квадрат, т.е. наибольшая площадь –
100 м².
Можно сделать вывод, что пахом вполне мог получить земли больше с меньшими усилиями.
Задача 7. Гарданов Марсель решил сделать своей маме подарок к 8 Марта и заказал другу юности Сабирову Денису шкатулку из драгоценного металла. В мастерскую он принес кусок листа из этого металла размером 80 Х 50 см. Требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и загибая оставшиеся кромки.
Решение:
Обозначим через х длину стороны вырезаемого квадрата. Легко видеть, что
0 25.
Площадь равна:
S = b = (25 –) = 25 – находим производную
; b = 25 – = 25 – 12,5 = 12,5.
Стороны прямоугольника равны = 12,5, b = 12,5 стороны равны, следовательно, это квадрат.
Наибольшая площадь равна: S= 12,5² = 156,25 см².
Ответ: квадрат со стороной 12,5 см
Задание 7.
Решение:
AB = BC = AC
M
BH – высота, медиана, биссектриса
Пусть AC = 1
A
C
H
K
T
BH =
Пусть MK = x, тогда AK =
Следовательно, KT = AC – 2AK = 1 –
Исследуем функцию S(x) на экстремум
0
1
MK = ; KT = 1 –
Ответ:
Задача 8.
Решение:
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, следовательно, необходимо подобрать такую пару чисел, которые при умножении друг на друга давали максимальный результат, при этом в сумме они должны удовлетворять условию задачи, то есть их сумма должна быть равна 10 дм. Основание должно быть равно 5 дм.
Ответ: 5дм
Задача 9.
Решение:
Обозначим сторону основания параллелепипедаx,
высоту – y.
c = y
Найдём площадь покрытия оловом:
b = x
где – площадь основания, это квадрат, поэтому:
a = x
площадь боковой поверхности параллелепипеда,
которая представляет собой площадь четырёх
прямоугольников (одинаковых); поэтому:
Таким образом, получили две переменные величины, исследовать функцию на экстремум мы можем только с одной переменной: выразим через , для чего воспользуемся данным объёмом сосуда
Известно из теоремы, что объём прямоугольного параллелепипеда
Получим:
Имеем теперь которую и исследуем на экстремум. Находим 1-ю производную от функции и приравниваем её к нулю:
=0
Проверим получившийся результат по второй производной:
соответствует минимуму площади покрытия, а значит, при размерах сосуда м, и от сюда следует, что высота на покрытие пойдёт минимальное количество олова.
Ответ: x = 2 м; h = 1 м
Задача 10.
Решение:
Изобразим схематично окно, о котором идёт речь в задаче:
R
Пусть – ширина окна, – его высота. Освещённость предметов
в помещении с изображённым окном, очевидно, тем будет
x
y
больше, чем больше площадь светового проёма, т. е. окна,
следовательно, исследовать на экстремум нужно площадь данного окна.
Найдём эту площадь.
Из рисунка следует, что где
площадь прямоугольника,
площадь полукруга.
Из планиметрии известно: с учётом рисунка имеем:
Подставляем значения , получим:
Выразим далее через , для чего воспользуемся данным периметром окна. Из рисунка следует, что или умножая на 2, получим:
Итак, которую и надо исследовать на экстремумы:
Убедимся, что м соответствует максимуму площади, для чего воспользуемся 2-й производной функции
Действительно, соответствует максимальной площади окна.
Определим высоту окна:
Ответ: чтобы окно пропускало наибольшее количество света, его размеры должны быть таковы: ширина 1,7 м, высота 0,85 м.
Задача 11.
Решение:
Видим с картинки, что высота коробки будет h, а сторона квадратной основы a-2h. По
формуле объёма параллелепипеда запишем и объём нашей коробки.
Теперь будим искать наибольшее значение этой функции. Надо учитывать, что наша высота h не может быть отрицательной и не может быть больше a/2, так как по рисунку видно, что вся сторона листа равна a, и там должно поместиться две h и немножко остаться.
Возьмём производную от нашей функции по переменной h.
Прировняем нашу производную к нулю:
Вспомнив, что h не может быть отрицательной и не может быть больше a/2, остаётся только один корень.
Для того, что бы узнать максимум это или минимум, мы найдём вторую производную:
Видим, что значение второй производной будет отрицательное, поэтому точка будет максимумом.
Ответ:
Задача 12.
Решение:
r
Сделаем рисунок к задаче:
h
Обозначения: r – радиус основания цилиндра - формула площади полной поверхности - формула объема цилиндраВыразим из формулы объема высоту:
По условию задачи, V = 25 следовательно, Подставим выражение для высоты в формулу площади полной поверхности:
Получаем исходную функцию:
Производная заданной функции:
Исследуем знак с помощью числовой прямой
0
Функция достигает минимума в точке Вычислим высоту цилиндра: Следовательно, площадь полной поверхности будет минимальной при радиусе и высоте Ответ:
Задача 13.
Решение:
Пусть O- место расположения столовой. Тогда суммарное расстояние, проходимое всеми сотрудниками, равно Согласно неравенству треугольника OA + OC не меньше AC (причём равенство достигается в том и только в том случае, когда O лежит на отрезке BC). Отсюда следует, что Ы не меньше, чем 10AC + 20BC, причём равенство достигается в том и только в том случае, когда O совпадает с точкой C. Итак, оптимальное расположение для столовой – офис C.
Ответ: в офисе C
Задача 14.
Решение:
Пусть S0 и S — рассматриваемые суммы площадей треугольников для прямой l0, проходящей через точку пересечения диагоналей трапеции, и для некоторой другой прямой l. Легко проверить, что S = S0 + s, где s — площадь треугольника, образованного диагоналями AC и BD и прямой l. Поэтому l0 — искомая прямая.
Ответ: прямая l0, должна проходить через точку пересечения диагоналей трапеции.
Задача 15.
Решение:
Пусть A, B, C и Р — такие точки плоскости, что AB = BC = CA, AP = 2, BP = 3. Проведём из точки B такой луч BM, что CBM = ABP, и отложим на этом луче отрезок BP' = PB. Из равенства углов: CBM = ABP вытекает, что PBP' = ABC = 60o, и поэтому треугольник PBP' — равносторонний (ибо PB = BP'). Следовательно, PP' = PB = 3. Далее, PAВ = Р'CB (так как AВ = BC, PB = Р'В, ABP = CBP'). Следовательно, Р'С = РA = 2. Таким образом, ломаная PP'С имеет длину PP' + Р'С = 3 + 2 = 5, а потому длина отрезка PC не может быть больше 5. Точку A выберем произвольно на расстоянии AP = 2 от данной точки P. Проведём окружности радиусов R1 = 3, R2 = 5 с центром в точке Р и повернём вторую окружность на угол 60o относительно точки A. Пусть Р' — центр новой окружности, AР = AP' = 2, PAР' = 60o. В качестве точки В выберем точку пересечения вновь построенной окружности с окружностью радиуса R1 = 3, построенной ранее. Таким образом, максимальное возможное расстояние от точки Р до точки С равно 5.
Ответ: 5