VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Графическое решение задач геометрической оптики на примере задачи оценки работоспособности уголкового отражателя
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Уголковый отражатель как физический объект служит для отражения падающего на него светового луча или отражения радиолокационного излучения в направлении источника сигнала. Уголковый отражатель используется, в частности, в таком устройстве как катафот, отражающем падающие на него световые лучи, что способствует обнаружению объекта в условиях плохой видимости, и как следствие - безопасности движения.
Задача оценки работоспособности уголкового отражателя относится к задачам геометрической оптики, т.е. имеет ясно выраженный геометрический характер. Следовательно, для оценки работоспособности этого устройства возможно использовать плоские проекционные модели, созданные на основе ортогонального проецирования.
Целью работы является демонстрация возможностей использования проекционных графоаналитических методов для решения задачи оценки работоспособности уголкового отражателя.
Гипотезой настоящей работы является предположение о том, что использование графоаналитических методов, базирующихся на использовании чертежа, как модели трехмерного пространства и методов его преобразования может служить основой для решения некоторых физических задач, имеющих геометрическую направленность.
Решение задачи оценки работоспособности уголкового отражателя основано на использовании метода преобразования проекционной модели, известном как метод дополнительного ортогонального проецирования.
Графические построения выполнены с использованием системы геометрического моделирования "Симплекс".
Уголковые отражатели
Уголковый отражатель – устройство, применяемое для отражения радиолокационных или оптических лучей в противоположном первоначальному направлении. В настоящее время уголковые отражатели используются очень широко: они применяются не только как дорожные предупредительные устройства, но и в радиолокации, метеорологии, космических исследованиях.
Устройство уголкового отражателя очень просто. На рисунке 1приведены различные типы уголковых отражателей: треугольная призма, две боковые грани которой взаимно перпендикулярны (рис. 1, а), четырехгранная пирамида с тремя взаимно перпендикулярными гранями, покрытыми тонким слоем серебра (рис. 1, б) и радиолокационный уголковый отражатель, представляющий собой три взаимно перпендикулярные пластины, изготовленные из материала, хорошо отражающего свет (рис. 1, в). Интересен внешний вид радиолокационного уголкового отражателя (рис. 2), который мы можем увидеть в качестве некоторого памятного знака в Санкт-Петербурге на проспекте Науки, недалеко от станции метро «Академическая».
Для того чтобы лучше понять принцип действия уголкового отражателя, рассмотрим, как изменяет ход световых лучей система трех взаимно перпендикулярных зеркал.
На рисунке 3 показаны два зеркала OA и OB, перпендикулярные друг к другу и к плоскости чертежа. Падающий луч CD лежит в плоскости чертежа. Прямая GD – перпендикуляр к зеркалу OA, GE – к OB. Поэтому ODGE – прямоугольник, угол DGE – прямой, треугольник DEG – прямоугольный, сумма его острых углов β + γ = 90°. Луч падает на зеркало OA под углом α и отражается под углом β = α, затем падает на зеркало OB под углом γ и отражается под углом δ = γ. Поскольку угол ε = 90° – δ, то из приведенных выше равенств следует
ε = 90° – δ = 90° – γ = β = α,
т.е. ε = α, и так как DG параллельно OB, то CD параллельно EF, т.е. дважды отраженный луч ЕF уходит в направлении, строго противоположном направлению падающего луча. Там же пунктиром показан луч C'D, падающий с другого направления (от другого источника света). После двух отражений он возвращается по прямой E'F' туда, откуда он пришел.
Доказательство для системы с тремя зеркалами несколько сложнее: стереометрия сложнее планиметрии. На рис. 4, а и б, показан уголковый отражатель из трех квадратных зеркал в двух проекциях: а) вид спереди, зеркала A и C перпендикулярны к плоскости чертежа, зеркало B лежит в плоскости чертежа; б) вид слева, зеркало C теперь лежит в плоскости чертежа, зеркала B и A видны с ребра.
Чтобы помочь нашему пространственному воображению, будем рассматривать поведение одного из фотонов падающего луча. Испытаем новый метод доказательства сначала на уже рассмотренном случае, когда третье зеркало бездействует. Фотон падает на зеркало B (рис. 140, б) по прямой DE со скоростью ν и, как мячик, отражается по прямой ЕF, отчего его скорость меняется по направлению.
Разложив скорость ν на составляющие v1 и v2, перпендикулярную и параллельную зеркалу, мы видим, что зеркало меняет направление перпендикулярной составляющей v1 на противоположное (v1'), оставляя неизменной параллельную составляющую v2. Скорость отраженного фотона v есть результат сложения неизменной v2 и изменившейся v1'. Второе зеркало в точке F аналогично изменяет направление второй составляющей v2 (которая была параллельна первому зеркалу, но оказалась перпендикулярной ко второму).
В результате двух отражений обе составляющие v1 и v2 вектора v изменили направления на противоположные, отчего и результирующий вектор изменил свое направление на противоположное, и фотон улетает по прямой FG, параллельной первоначальному пути DE. Третья составляющая скорости в этом случае была равна нулю: как видно из второй проекции (рис. 4, а), фотон летел параллельно зеркалу C по пути DE, отразился в точке E, полетел к зеркалу A (опять параллельно C), отразился в точке F и полетел обратно по пути FG (опять-таки параллельно C).
Если бы, однако, у фотона была и третья составляющая скорости v3, перпендикулярная к третьему зеркалу (рис. 4, в, дающий проекцию такую же, как и рис. 4, а), то фотон, отразившись в точках E и F от двух зеркал, полетел бы и к третьему (точка H), которое изменило бы направление третьей составляющей v3 на обратное v3'. Таким образом, каждое из трех отражений (E, F и Н) привело бы к перевороту соответствующей составляющей вектора скорости фотона, и он улетел бы в направлении, строго противоположном первоначальному. На рисунке 4, г показан этот общий случай отражения от трех зеркал уголкового отражателя.
Метод ДОПа
Метод дополнительного ортогонального проецирования (ДОП) является одним из способов преобразования исходной проекционной картины, полученной на фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций (π1 и π2 соответственно) (рис. 5).
Метод ДОПа заключается в том, что положение объекта в пространстве не меняется, а система плоскостей проекций π1 – π2 дополняется плоскостями, образующими с π1 или π2 и между собой систему двух взаимоперпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций. Использование метода ДОПа предполагает знание некоторых элементарных задач, среди которых в нашем графическом решении будут использоваться следующие задачи.
Задача 1. Преобразование прямой общего положения в линию уровня (фронталь или горизонталь)
На рисунке 6 задан отрезок АВ прямой общего положения. Необходимо преобразовать его в горизонталь. Вводится дополнительная плоскость проекций π3, перпендикулярная π1 и параллельная отрезку АВ. На чертеже введение дополнительной плоскости проекций отражается введением новой оси проекций X23, параллельной А2В2. Далее плоскость π3 совмещается с плоскостью чертежа. Для этого через точки А2 и В2 проводятся линии проекционной связи, перпендикулярные новой оси проекций. На проведенных прямых от новой оси проекций отложены отрезки, равные расстояниям от фронтальных проекций А1 и В1 точек до оси проекций X12. Таким образом, относительно плоскостей проекций π2 и π3 отрезок АВ занял положение горизонтали. Более того, найденный таким образом отрезок А3В3 равен натуральной величине заданного отрезка АВ.
Задача 2. Преобразование линии уровня (фронтали или горизонтали) в проецирующую прямую
На рисунке 7 задан отрезок АВ горизонтальной прямой. Для того, чтобы преобразовать его в проецирующее положение, используется дополнительная вертикальная плоскость π3, перпендикулярная π2 и отрезку АВ. На чертеже введение дополнительной плоскости проекций отражается введением новой оси проекций X23 перпендикулярной А2В2. Далее плоскость π3 совмещается с плоскостью чертежа. На вертикальных плоскостях расстояние точек отрезка до горизонтальной плоскости π2 проецируется без искажения и поэтому расстояние от фронтальных проекций точек А1 и В1 до оси проекций X12 остается неизменным на плоскости π3. Поскольку на заданной проекции расстояние от всех точек отрезка до плоскости π2 одинаково, то на плоскости π3 их проекции совмещаются, и прямая проецируется точкой.
Задача 3. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость
На рисунке 8 представлена плоскость общего положения α, заданная точками А, В и С. Для преобразования плоскости α вводится в рассмотрение линии уровня в плоскости (фронталь или горизонталь). Дополнительная плоскость проекций π3 вводится перпендикулярно одной из плоскостей проекций π1 или π2 и перпендикулярно плоскости α. В нашем примере плоскость проекций π3 вводится перпендикулярно π2. На чертеже введение дополнительной плоскости проекций π3 отражается введением новой оси проекций X23 перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали h2. Построенные проекции точек А3 , В3 и С3 оказываются на одной прямой, что говорит о том, что плоскость α заняла проецирующее положение.
Задача 4. Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня
Исходя из определения плоскости уровня дополнительная плоскость проекций π3 должна быть параллельна плоскости α. Так как плоскость α по условию задачи будет являться фронтально-проецирующей, очевидно, что плоскость π3 будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, а на плоскости Х13 параллельна α1. Для преобразования проецирующей плоскости в плоскость уровня необходимо провести ось Х13 параллельно проекции α1 на произвольном расстоянии от нее и определить проекции точек в дополнительном поле проекций π3 (рис. 9).
Графическое решение задачи оценки работоспособности уголкового отражателя
Графическое решение задачи имеет два этапа: 1. - задание исходного положения уголкового отражателя и падающего на него светового луча, а также возможности изменения их пространственной ориентации. 2. - построение траектории падающего и отраженного луча от каждой плоской зеркальной грани уголкового отражателя. Оценка работоспособности уголкового отражателя происходит исходя из условия параллельности падающего и отраженного от устройства световых лучей (рис. 10).
Первый этап. (Задачи №1 и №2 из п. 4) Исходная геометрическая модель, заданная в плоскостях проекций π1 - π2, предполагает возможность управления пространственным положением уголкового отражателя и положением падающего луча, что достигается изменением пространственного положения ребра ОS, и падающего луча MN (путем изменения положения проекций точек O, S, M, N на соответствующих линиях проекционной связи). Ребро OS отвечает за координацию уголкового отражателя в пространстве, т.к. является прямой пересечения двух плоских граней ВОС и АОС, и соответственно OS ┴ AOB.
Управление геометрическими размерами уголкового отражателя осуществляется в полях π3 - π4. Поле π3 выбираем так, чтобы ребро OS заняло бы положение линии уровня, т.е. проецируется в поле π3 в натуральную величину. Изменяя радиус окружности в поле π4, мы меняем размер уголкового отражателя. Плоская грань AOB перпендикулярна ребру OS и в поле π4 проецируется в натуральную величину. Таким образом, в поле π4 возникает возможность вращения уголкового отражателя относительно ребра OS для выбора лучшего положения объекта с точки зрения создаваемого графического образа. Траектория вращения вершин А и В проецируется в полях проекций π1 - π2 эллипсами.
Ниже приведен фрагмент графического алгоритма программы, реализующего первый этап решения задачи.
Задаем точку начала координат р0 с координатами (0;0)
Строим ось проекций Х12 через точку р0
Свободно строим отрезок O1S1 над осью проекций Х12
Из точек О1 и S1 опускаем перпендикуляры к Х12
Строим отрезок O2S2 под осью Х12 (во второй плоскости проекций), располагая точки О2 и S2 на перпендикулярах, построенных в предыдущем пункте
Строим новую ось проекций р1 над отрезком О1S1 параллельно O1S1
Переносим отрезок OS в третью плоскость проекций
Опускаем перпендикуляры из точек О1 и S1 к прямой р1 и отмечаем их точки пересечения
Измеряем превышение точек О2 и S2 над прямой Х12
Строим точки О3 и S3 на перпендикулярах в третьей плоскости проекций на расстоянии, равном превышению, измеренному в предыдущем пункте
Соединяем токи О3 и S3 прямой
Задаем новую ось проекций р6 перпендикулярно отрезку O3S3
Переносим отрезок ОS в четвертую плоскость проекций (в данном случае он сливается в одну точку, назовем ее О4)
Строим основание уголкового отражателя
Строим единичную окружность с Центром в точке О4 и произвольным радиусом
Выбираем на окружности произвольную точку В4
Проводим диаметр окружности О4 через точку В4
Проводим диаметр окружности О4 перпендикулярно О4В4
На одном из пересечений диаметра, построенного в предыдущем пункте, и окружности выбираем точку А4
Соединяем точки А4, В4, и О4 отрезками
Строим уголковый отражатель в третьей плоскости проекций
Переносим точки А, В, О в третью плоскость проекций
Находим вершину уголкового отражателя (точку С)
Измеряем расстояние А4О4
Отмечаем точку С4 на прямой О3S3 на расстоянии А4О4 от точки О3
Соединяем точки О3, С3, А3, В3 друг с другом
Строим уголковый отражатель в первой плоскости проекций
Переносим точки А, В, С в первую плоскость проекций
Соединяем точки А2, В2, С2, О2 между собой
Строим уголковый отражатель во второй плоскости проекций
Второй этап. (Задачи №3 и №4 п.4) Дальнейшее решение задачи строится на известных нам представлениях из курса геометрической оптики, а именно о том, что падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости и значения угла падения равно значению угла отражения.
Так как перед нами стоит задача построения траектории луча внутри уголкового отражателя нам необходимо трижды рассмотреть задачу об определении угла падения луча на соответствующую грань.
Необходимо так преобразовать проекционную картину, чтобы грань, на которую падает луч заняла бы проецирующее положение, а падающий луч принял бы положение линии уровня. В этом случае мы имеем возможность определить значение угла падения луча, а, следовательно, и траекторию отраженного луча.
Таким образом, световой луч трижды падает на плоские грани уголкового отражателя и трижды отражается от них:
Луч MN падает на грань АОС и отражается от нее в точке R. Отраженный луч падает на плоскость ВОС и отражается в точке G, после чего падает на грань АОВ и отражается от нее в точке Т. Измерив на чертеже углы падения и углы отражения луча, мы заметим, что выполняется закон физики, гласящий о том, что угол падения равен углу отражения. Так же отметим, что луч, возвращенный уголковым отражателем во всех плоскостях проекций параллелен лучу, падающему на данное устройство.
Созданная геометрическая модель реализована в девяти плоскостях проекций (рис. 10).
Заключение
Созданная геометрическая модель уголкового отражателя адекватно реагирует на изменения взаимного положения отражателя и светового луча. Отраженный световой луч параллелен падающему лучу, то есть направлен в сторону исходящего сигнала, следовательно, созданная нами геометрическая модель адекватно оценивает работоспособность устройства, известного как уголковый отражатель.
Список литературы
1. Кравцов В., Сербин И. Уголковые отражатели // Квант. – 1978. – №12 – С. 7-9, 46
2. Иванова Н. С., Кокорин М. С., Красильникова Г. А. Начертательная геометрия и инженерная графика. Краткий курс лекций по начертательной геометрии: учебное пособие // СПб : Изд-во Политехн. ун-та, 2016. – 88 с.
3. Электронная библиотека «Наука и техника». Петр Маковецкий. Задача 91 «Как куда и когда надо». http://n-t.ru/ri/mk/sk091.htm
Приложение
Рисунок 1. Различные типы уголковых отражателей
Рисунок 2. Радиолокационный уголковый отражатель
Рисунок 3. Ход светового луча в уголковом отражателе из двух плоских зеркал
Рисунок 4. Ход светового луча в уголковом отражателе из трех плоских зеркал
Рисунок 5. Три взаимно перпендикулярных плоскости проекций
Рисунок 6. Преобразование прямой общего положения в линию уровня
Рисунок 7. Преобразование линии уровня в проецирующую прямую
Рисунок 8. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую
Рисунок 9. Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня
Рисунок 10. Уголковый отражатель, построенный в программе «SIMPLEX»