VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Весь мир познать невозможно, но мы можем стремиться к пониманию его. Для того, чтобы понять как происходит стыковка космических аппаратов, как выполняется навигация спутников, как работают навигаторы, мы должны начинать с малого: понять что же это такое, как оно выглядит, научиться оперировать с данным видом чисел. Таким образом, делая небольшие шаги, мы сможем приблизиться к природе гиперкомплексных чисел.

Для действительных чисел существуют калькуляторы, упрощающие ведение расчетов. Как ускорить вычисления с гиперкомплексным числами?

Цель

Улучшенное понимание гиперкомплексных чисел, через изучение истории их открытия и выполнения арифметических операций.

Задачи

Познакомиться с множеством чисел, расширяющим множество действительных чисел. Выяснить алгоритмы выполнения арифметических операций и проверить выполнение переместительного, сочетательного и распределительного законов в этом множестве.

Изучить области применения гиперкомплексных чисел.

Разработать программу, помогающую быстро и точно производить расчеты с гиперкомплексными числами и визуализировать их.

1. Работа с источниками

1.1 История открытия

Кватернионы были открыты выдающимся ирландским математиком и физиком XIX века — Уильямом Роуэном Гамильтоном. В течение десяти лет он пытался придумать правило умножения триплетов (тройки чисел), хотя умел их складывать и вычитать. Первоначально задача показалась для него простой, но все формулы, которые пробовал использовать Гамильтон, не подходили — всегда нарушалось то или иное из обычных свойств.

Однажды в один из прекрасных дней 1843 года Гамильтон решил рассматривать не триплеты, а четверки чисел, или, как он их назвал, кватернионы. Гамильтон вспоминает в одном из своих писем сыну: «Это был 16-й день октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длинные годы определенно направленной мысли и труда, моего — если доведется, или труда других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k, i^2=j^2=k^2=i*j*k=-1, содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил, и получил разрешение на доклад о кватернионах на норном заседании сессии, который и был прочитан соответственно в понедельник 13-го следующего месяца — ноября»

1.2 Вид числа и выполнение арифметических операций

Кватернион — это четверки действительных чисел ( ; ; ; ;), которые удобно записывать в виде: , где , , , и - коэффициенты, являющиеся произвольными вещественными числами. Кватернион , у которого вещественная часть , называется чисто мнимым или векторным кватернионом.

С кватернионами, как и с простыми числами, можно производить различные математические операции, например сложение и вычитание, умножение и деление.

Пусть у нас будет два кватерниона:

Тогда сложение и вычитание этих кватернионов будет выглядеть следующим образом:

– сложение,

– вычитание.

Произведение кватернионов имеет более сложную формулу. Также при нахождении произведения двух кватернионов необходимо учитывать правила перемножения мнимых единиц , и , задаваемых в таблице 1.

Таблица 1

Произведение единиц	i	j	k
i	-1	k	-j
j	-k	-1	i
k	j	-i	-1

В результате произведения кватернионов и получаем

1.3 Применение кватернионов

Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение:

В небесной механике и механике космического полёта.

В навигации, управлении движения тел.

В квантовой механике.Обобщение, состоящее в замене стандартного гильбертова пространства, определённого над полем комплексных чисел, на гильбертово пространство, определённое над телом кватернионов.

В программировании игр, компьютерной графике и создании трёхмерной анимации.Существует несколько путей представления вращения объектов. Многие программисты используют для этого матрицы вращения или углы Эйлера. Например, представьте себе объект, который просто свободно вращается в пространстве. Хотя и можно попытаться наиболее близко расставить временные ключи на стадии создания анимации, однако это влечет за собой хранение большого количества данных для данного вращения и не совсем ясно, какой выбирать шаг. Многие игры от третьего лица используют кватернионы для анимации движения камеры. Все игры от третьего лица располагают камеру на некотором расстоянии от персонажа. Так как камера имеет другое движение, отличающееся от движения персонажа, например, при повороте персонажа - камера движется по дуге, то иногда бывает, что это движение выглядит не натурально, скачками. Это одна из проблем, которую можно решить при помощи кватернионов. Кватернионы также удобно использовать в лётных симуляторах. Вместо манипулирования тремя углами, представляя вращение вокруг осей x, y и z соответственно, намного проще использовать один кватернион. Много игр и приложений трёхмерной графики сохраняют ориентацию объектов в кватернионах. Например, легче добавить угловую скорость к кватерниону, чем к матрице.

В вычислительной математике.

В приборостроении.

В робототехнике.

В теории поля.

В общей теории относительности.

В динамике твёрдого тела.

В релятивистской физике. Кватернионы преимущественно используются в физике элементарных частиц.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Мы узнали о новых множествах чисел, выйдя за пределы множества действительных чисел. Выяснили как выполняются арифметические операции с этими числами, проверили справедливость переместительного, сочетательного и распределительного законов.

В процессе исследования нам удалось создать программу, имеющую возможность производить сложение и вычитание, умножение и деление двух кватернионов, а также визуализировать кватернион, что является первым шагом на пути изучения столь сложных и непривычных чисел.

Калькулятор кватернионов разрабатывался в среде программирования Delphi 7. Сначала он выполнял только операции сложения, вычитания и умножения гиперкомплексных чисел. Позже появилась функция деления.

Но так как кватернионы позволяют работать с пространством, мы добавили в калькулятор дополнительную часть – визуализатор.

Сейчас наш калькулятор имеет, помимо старых функций, новые возможности. Калькулятор может вычислять косинус, синус, модуль, производную кватерниона.

3. Заключение и выводы

В связи с интенсивным освоением космического пространства, возникает необходимость быстрого расчета местоположения космических аппаратов в пространстве, их стыковке. При этих расчетах используют гиперкомплексные числа, поэтому возникает необходимость в устройстве, которое сможет выполнить арифметические операции с этими числами.

Калькулятор, который мы разработали, позволяет выполнять арифметические операции с гиперкомплексными числами, визуализировать их, то есть показывать нахождение и положение кватерниона в пространстве.

Кроме того, калькулятор может находить косинус, синус, производную, модуль гиперкомплексного числа.

Как уже говорилось ранее, кватернионы имеют обширный спектр применения, позволяя выполнять ёмкие вычисления с минимальными затратами времени и памяти компьютера. Гиперкомплексные числа используются в самых разных областях: в космонавтике, астрономии, физике, робототехнике, в медицине, для создания компьютерных игр и симуляторов. Их изучение поможет не только разбираться в определенных областях, но и сможет развивать мышление человека, представления о мире.

В чем же заключаются основные преимущества нашего калькулятора? Мы не нашли ни одного описания подобного калькулятора. Существуют калькуляторы имеющие возможность работы с гиперкомплексными числами. Однако, они выполняют лишь простейшие арифметические операции без визуализации. Мы нашли только один аналог нашего калькулятора, который работает на платформе Android.

Мы познакомились с множеством гиперкомплексных чисел. Выяснили алгоритмы выполнения арифметических операций. Проверяя выполнение переместительного, сочетательного и распределительного законов в этом множестве, узнали, что переместительный закон умножения в данной системе счисления не справедлив.

Гиперкомплексные числа используются в самых разных областях: в космонавтике, астрономии, физике, робототехнике, в медицине, для создания компьютерных игр и симуляторов - там, где требуется много быстрых расчётов. Каждый из нас с ними встречается и неосознанно взаимодействует.

Мы разработали программу-калькулятор, помогающую производить расчеты с гиперкомплексными числами и визуализировать их.

С развитием новых информационных технологий и совершенствованием технической базы, человечество будет иметь возможность при помощи кватернионов делать новые открытия, находить ответы, и, быть может, получать новые вопросы.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

Википедия, свободная энциклопедия [Электронный ресурс] / Кватернионы; 26 января 2012. Режим доступа: ru.wikipedia.org/Кватернионы.

И. Л. Кантор, А. С. Солодовников Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 144 с.

Квант. Изд. «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1983 (9).

Портал Vikent.ru [Электронный ресурс] / Универсальная теория кватернионов по Уильяму Гамильтону Режим доступа: http://vikent.ru/enc/1268/

Проблема таланта. Мысли о таланте, интеллекте, одаренности и гениальности. 1000 аналогий, изменивших науку [Электронный ресурс] / Открытие кватернионов, аналогия Вильяма Гамильтона Режим доступа: http://problema-talanta.ru/page/otkrytie_kvaternionov

Челябинский государственный университет «Университетская набережная» [Электронный ресурс] / А.П. Ефремов Законы физики ищите ... в математике кватернионов! Режим доступа: http://un.csu.ru/gazeta/51/1007_1.html

GameDev.ru — Разработка игр [Электронный ресурс] / Кватернионы в программировании игр Режим доступа: http://wat.gamedev.ru/articles/quaternions

Приложение

Фрагменты работы программы