VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Номограммо-аналитические методы конструкторских расчетов устройств автоматики
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
На практике могут встретиться случаи, когда структурная схема измерительного устройства автоматики не может быть приведена к стандартным видам (т.е. когда обобщенная передаточная функция устройства построена методом измерения упругой деформации; силовой компенсации или интегральной силовой компенсации).
В этих случаях определение результирующей передаточной функции ведется на основе анализа структурной схемы устройства в следующем порядке:
- составляют структурную схему устройства, представляющую собой совокупность измерительных звеньев, каждое из которых осуществляет элементарное преобразование сигналов (физических величин);
- определяют динамические, статические характеристики и погрешности элементарных измерительных звеньев путем их расчета или, если эти звенья типовые, по имеющимся справочным данным;
- определяют характеристики и погрешности устройства в целом по правилам преобразования структурных схем.
В связи с этим возникла необходимость разработки дополнительных методических рекомендаций на основе изучения и анализа конструкторской документации.
Целью исследования – разработка сетчато-номограммных методов конструкторских расчетов переходной функции динамической системы 3-его порядка; оптимального определения коэффициента характеристического уравнения устройства; характера и длительности переходного процесса устройства с заданной передаточной функцией.
Настоящий материал ориентирован на студентов, обучающих по специальности 35.02.08 «Системы автоматизации сельскохозяйственного производства», 22.03.01 «Автоматизация технологических процессов и производств» в системе профессионального образования, но может быть полезен студентам других технических специальностей, изучающих теорию АСУ, автоматику, а так же студентам вузов, обучающимся по данным специальностям по программам бакалавриата.
Работа выполнена ГБПОУ КО «Губернаторский аграрный колледж» в лаборатории «Системы автоматизации сельскохозяйственных предприятий» с дальнейшей разработкой учебного пособия по использованию номограммных расчетов в конструкторских разработках, курсового и дипломного проектирования.
Основная часть
Определение реакции устройства на изменение входного сигнала и выбор параметров по сетчатой номограмме
Анализ результатов исследований показывает, что на основании экспериментального исследования обосновывается структурная схема, намечается конструкция устройства, а также имеется реальная возможность определить реакцию устройства на внешнее воздействие.
Поэтому для анализа и синтеза измерительного устройства часто используют эталонные типовые воздействия, среди которых рассмотрим три основные:
- единичная (ступенчатая) функция;
- единичная импульсная функция;
- гармоническая функция.
Иногда рассматривают поведение устройства при других видах внешних воздействий (см. таблицу 1) [1].
Если устройство описывается дифференциальным уравнением следующего вида [2]:
то при нулевых начальных условиях
операторная форма его записи имеет следующий вид:
и передаточная функция определяется как:
Таблица 1 – Примерные виды осциллограмм некоторых импульсов, способов определения их основных параметров и параметров искажений
|
Математическая модель |
Примерный вид осциллограммы |
Основные параметры |
Параметры искажений |
|
Прямоугольный импульс |
- длительность фронта прямоуголь-ного импульса; - длительность среза прямоугольного импульса; b1 – выброс на вершине прямо угольного импу-льса; b2 - выброс в паузе прямоугольного импульса; неравномерность вершины прямоуго-льного импульса. Примечание. Значение параметра Ап находится путем продления плоской части вершины до пересечения с фро-нтом прямоуго-льного импульса |
||
|
Трапецеидальный импульс |
– неравномер-ность вершины трапецеидального импульса; - нелинейность фронта трапецеидального импульса; - нелинейность среза трапецеидаль-ного импульса |
||
|
Экспоненциальный импульс |
Примечание. Значение параметра рассчитывается по формуле: |
— длительность фронта экспонен-циального импульса; – неэкспонен-циальность среза |
Здесь – аргумент преобразования Лапласа; Х – изображение функции по Лапласу.
Таким образом, передаточная функция является своеобразной формой записи дифференциального уравнения измерительного устройства автоматики. Поэтому она полностью отражает его динамические свойства.
Многочлен называется характеристическим многочленом и уравнение называется характеристическим уравнением.
Многочлены и могут быть представлены с помощью их корней следующим образом:
где – корни числителя , т.е. уравнения (нули передаточной функции); – корни знаменателя , т.е. уравнения (полюсы передаточной функции).
Реакцию устройства на некоторые виды внешнего воздействия можно определять используя вычисленные стандартные переходные функции.
Стандартная переходная функция представляет собой уравнение переходного процесса устройства, передаточная функция которой имеет числитель, равный единице:
На основании выше сказанного, делаем вывод что реакция устройства на внешнее воздействие называется закон изменения выходного сигнала , отвечающий заданному закону изменения входного сигнала , а также реакция зависит от распределения корней характеристического уравнения устройства.
Корни уравнений 1-й и 2-й степени вычисляют по обычным алгебраическим формулам.
Для уравнений 3-й и 4-й степени хотя и существуют алгебраические формулы, однако расчеты громоздки и трудоемки, и тогда можно использовать приближенный метод по номограммам.
Номограмма – это графическое изображение функциональной зависимости между несколькими переменными, позволяющее находить числовое значение одной из переменных по заданным значениям других.
F
Сетчатая номограмма для приближенного определения корней характеристического уравнения 3-ей степени приведены на рисунке 1.
Q
Рисунок 1 – Сетчатая номограмма
На номограмме (рисунок 1) построено семейство кривых, определяющих безразмерные корни нормированного уравнения в зависимости от коэффициентов F и Q, значение которых отложены по осям координат номограммы.
Для пользования номограммой характеристическое уравнение 3-й степени приводим к нормированному виду путем замены переменной в уравнении, тогда получаем уравнение вида
где
Рассмотрим, каким условиям должны удовлетворять корни характеристического уравнения, чтобы система устройства была устойчива, т.е. были корни с отрицательной действительной частью т.к. в противном случае система будет заведомо неустойчивой.
Все три корня уравнения (7) действительные:
Этот случай соответствует на номограмме (рисунок 1) зоне класса 0. Значения корней для каждой точки зоны класса 0 обозначены на соответствующих прямых, пересекающихся в данной точке.
Для точек, лежащих между прямыми, проведенными на номограмме, значения корней вычисляют методом интерполяции. Если все три корня действительные ( ), то при нулевых начальных условиях переходной процесс имеет апериодический характер (рисунок 2).
Рисунок 2
Один корень действительный и два комплексно-сопряженные:
Переходная функция содержит колебательную и апериодическую составляющие, причем в зависимости от соотношения показателей экспонент и переходный процесс может приближаться к колебательному или апериодическому.
Если , то апериодическая составляющая затухает значительно быстрее, чем колебательная составляющая, и процесс получается колебательным, похожим на процесс в системе 2-го порядка (рисунок 3).
Рисунок 3
Этот случай соответствует зоне класса 1А на номограмме. Границей области служит прямая, обозначенная , соответствующая незатухающим колебаниям системы.
Точки плоскости, расположенные левее этой прямой, отвечают неустойчивой системе с расходящимися колебаниями.
Если , то колебательная составляющая затухает быстрее и процесс приближается к апериодическому (рисунок 4).
Рисунок 4
Этот случай соответствует зоне класса 1Б на номограмме. Численное значение корней в любой точке зоны 1А, 1Б обозначено на прямых и кривых, пересекающихся в данной точке. Прямые линии дают значение и , кривые – значение . Две кривые, соответствующие , являются границей перехода комплексных корней в действительные.
Номограмма (рисунок 1) дает безразмерные значения , и .
Для получения корней в размерности 1/сек необходимо умножить найденные безразмерные значения на отношение :
1.1.1 Определение по полю сетчатой номограммы переходную функцию динамической функцией системы третьего порядка с передаточной функцией W(p) при подаче ступенчатого воздействия
Примером ступенчатого воздействия может явиться воздействие, оказываемое на систему регулирования напряжения резким сбросом или подключения нагрузки на генератор.
Определяем коэффициенты F и Q нормированного уравнения (7)
На поле сетчатой номограмме (рисунок 1) находим точку (А) с координатами , , которая лежит в зоне класса 1А, следовательно безразмерные корни будут: действительный корень ; комплексно-сопряженные корни .
Для получения корней в размерности 1/сек надо умножить найденные безразмерные значения на отношение ,
По таблице «Стандартные переходные функции измерительных систем при воздействии » определяем стандартную переходную функцию для системы 3-го порядка с передаточной функцией.
Стандартная переходная функция для случая одного действительного и двух комплексно-сопряженных корней будет иметь следующий вид:
Дифференцируя выражение стандартной переходной функции, определяем первую и вторую производные от переходной функции
Реакция устройства автоматики на ступенчатое воздействие описывается уравнением переходного процесса при нулевых начальных условиях (переходную функцию) по формуле:
где – коэффициенты полинома в числителе передаточной функции, ;
– производные от стандартной переходной функции
Определяем искомую переходную функцию подстановкой (9), (10) и (11) в (12) с учетом коэффициентов заданной передаточной функции
Получаем переходную функцию следующего вида:
1.1.2 Определение по сетчатой номограмме характер и длительность переходного процесса измерительного устройства с передаточной функцией W(p)
Исследование по сетчатой номограмме характера и безразмерной длительности переходного процесса устройства с передаточной функцией , осуществляет в следующий последовательности.
Для пользования полем сетчатой номограммы используем характеристическое уравнение 3-й степени
и определяем коэффициенты Q, F нормированного уравнения
На сетчатой номограмме (рисунок 5) построено семейство кривых, в зависимости от коэффициентов Q и F, значения которых отложены по осям координат номограммы.
F
В верхней и правой части поля сетчатой номограммы приводятся безразмерная длительность переходного процесса ( ) от 10 до . Номограмма построена для случая, когда величина допустимой динамической ошибки .
Q
т.А
Рисунок 5
На поле сетчатой номограммы определяем точку (т.А) с координатами и , которая лежит в плоскости класса 1А, следовательно переходной процесс будет иметь вид, показанный на рисунке 6, т. к. уравнение 3-й степени имеет три корня (один корень основательный и два комплексно-сопряженные ( )[2].
Рисунок 6 – Параметры переходного процесса: x(t) – регулируемая величина; хуст – установившееся значение регулируемой величины; – допустимая ошибка; Тр – время регулирования; – частота колебаний.
Переходная функция содержит колебательную и апериодическую составляющие, причем в зависимости от соотношения показателей экспонент и переходной процесс может приближаться к колебательному или апериодическому.
По сетчатой номограмме (рисунок 5) находим безразмерную длительность переходного для значений и , т. е. из т.А проводим прямую линию Н линии семейства кривых до пересечения с верхней шкалой безразмерной длительности переходного процесса.
Безразмерная длительность переходного процесса . Определяем действительную длительность переходного процесса по формуле:
Измерительное устройство автоматики формирует сигнал с допустимой динамической ошибкой .
1.1.3 Номограммо-аналитическое исследование оптимальности коэффициентов характеристического уравнения третьего порядка
При экспериментальном исследовании, было установлено, что один коэффициент ( характеристического уравнения или должен иметь другую величину.
Для нахождения оптимального значения, приведем характеристическое уравнение к следующему виду где
Связь между коэффициентами уравнения и нормированного уравнения (14) будет иметь величину
На основании выше сказанного, согласно выражения (15) находим коэффициент , который равен:
F
Тогда используя сетчатую номограмму (рисунок 7) проводим из величины прямую линию, параллельные оси абсцисс (0Q).
Q
Рисунок 7 – Сетчатая номограмма
Определяем значения при котором безразмерная длительность переходного процесса . Этому значению отвечает минимальное время переходного процесса
Оптимальное значение коэффициента будет определяться по формуле:
В том, что значение дает минимум, убеждается, используя сетчатую номограмму (рисунок 7) длительность ( ) для других значений , отличающихся от выбранного на .
Первое условие.
Для
тогда ,
Следовательно 1,05 1 сек
Второе условие.
Для
тогда ,
Следовательно 1,25 1 сек
При втором условии поле сетчатой номограммы показано, что точка с координатами () лежит в зоне класса 1Б, т. е. колебательная составляющая затухает быстрее и процесс приближается к апериодическому звену, которому характерно наличие элементов, способных накапливать или отдавать энергию.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1. При подаче ступенчатого воздействия на вход устройства найдена переходная функция следующего вида
2. По сетчатой номограмме определен характер и длительность переходного процесса измерительного устройства с передаточной функцией
3. Найдено минимальное время переходного процесса , с оптимальным значением коэффициента .
ЛИТЕРАТУРА
ГОСТ. Сигналы радиотехнические измерительные. Термины и определения.
Петрова А.М. Автоматическое управление М., Форум 2010.
Шишмарев В.Ю. Типовые элементы систем автоматического управления, Среднее профессиональное образование [1738]-М., Academia, 2009.