Определение периодов обращения галилеевых спутников Юпитера

VI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Определение периодов обращения галилеевых спутников Юпитера

Мальцев М.И. 1
1ГАОУ ТО "ФМШ"
Тарасов  О.А. 1
1ГАОУ ТО "ФМШ"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Изучение Вселенной, один из самых благородных

и смелых подвигов человеческого разума.

Р.З. Сагдеев.

К концу 2018 года в Солнечной системе известно почти 200 ее крупных членов  8 больших планет и 185 спутников. Процесс изучения Солнечной системы активно происходит и в наше время. В ближайшем будущем можно ожидать открытие новых спутников планет, а также других небесных тел за орбитой Плутона. Для того, чтобы открыть новые спутники планет нужны мощные телескопы. Эта задача, пока, нам не по силам.

В рамках данной работы мы поставили перед собой более скромную цель  доказать, что с помощью обычного цифрового фотоаппарата можно получить изображения галилеевых спутников Юпитера, а затем, по этим изображениям рассчитать период обращения этих спутников.

Такие методики наблюдения и расчетов были бы полезны в преподавании предмета «Астрономия» в школе, дисциплины «Астрофизика» в вузе, а также, интересны для отдельных любителей астрономии и астрономических клубов.

Задачи исследования:

1. Вывести формулу для расчета периода спутника планеты по ее угловым расстояниям и позиционным углом в разные моменты времени.

2. С помощью недорогого цифрового фотоаппарата с ультра-зум объективом получить изображения Юпитера с его спутниками текущим летом.

3. Обработать результаты вычислить периоды спутников по выведенной формуле, сравнить результаты с точными значениями, сделать выводы.

4. Подготовить лабораторную работу по определению периодов спутников Юпитера для учеников физико-математической школы Тюменской области.

5. Опубликовать данное исследование в российском журнале любителей астрономии «Звездочет».

Объект исследования – орбиты спутников Юпитера.

Предмет исследования – методика определения периодов спутников планет.

1. экспериментальная часть

1.1. Получение фотографий

Для получения изображений спутников Юпитера нужен фотоаппарат с фокусным расстоянием объектива более 300мм, так как при меньшем из-за мелкого масштаба кадра изображения Юпитера и спутников сольются друг с другом. Мы использовали фотоаппарат Olympus SP-500, который имел F=380мм. Чтобы избежать дрожания изображения, мы закрепили фотоаппарат на треножнике ECSA-3750, рис.1. Снимали с максимальным разрешением фотоаппарата в 6мегапикселей и минимальным сжатием изображения. Лучшие из полученных снимков за шесть дней наблюдений приведены на рис2.

 

Рис.1. Фотоаппарат Olympus SP-500 на треножнике ECSA-3750.

1.2. Расчет поля зрения фотоаппарата и масштаба кадра

О
пределим угол поля зрения фотоаппарата в горизонтальной плоскости, , при фокусном расстоянии объектива F=380 мм. Указанное фокусное расстояние соответствует горизонтальному размеру кадра =36мм.

Из треугольника ABC имеем

, тогда

окончательно

=22.71=5.42.

Выразим теперь поле зрения фотоаппарата сначала в минутах дуги, а потом в секундах дуги. Это сделать просто, т.к. в одном градусе 60 минут дуги (т.е. 1=60'), а в одной минуте дуги 60 секунд дуги (т.е. 1'=60"). Тогда

=5. 42=5.4260'=325,2'=325,260"=19512".

Горизонтальные и вертикальные размеры кадра при разрешении 6 МПс были 2816 и 2112 пикселей, соответственно.

Тогда масштаб кадров был

19512" / 2816 пикселей = 6.93 " в одним пикселе.

1.3. Определение углового расстояния спутников по фотографиям в программе Microsoft Paint

Полученные снимки Юпитера и его спутников обрабатывали в программе Microsoft Paint. Выделяли на снимке такой прямоугольный участок изображения, чтобы одна из вершин прямоугольника попала в центр изображения спутника, а противоположная ей вершина  в центр изображения Юпитера, рис.3.

Инструмент «Выделение» позволяет определить ширину и высоту прямоугольника в пикселях, информация о которых появляется в нижнем поле окна программы. Линейное расстояние между спутником и планетой  это расстояние, равное диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора это расстояние легко рассчитать, как

К примеру, на рис.3 имеем =71пиксель, =14пикселей. Тогда =72.4 пикселя.

Рассчитав линейное расстояние между спутником и Юпитерам в пикселях, можно перейти к определению углового расстояния между ними. Так, для рис.2 мы получили =72.4пикселя. Значит, угловое расстояние равно =72.4пикселя6.93(секунддуги/пиксель)502секундыдуги.

Результаты расчета угловых расстояний спутников Юпитера по снимкам (рис.2) за шесть дней наблюдений приведены в таблице2. Видно достаточно хорошее совпадение расчетных (в программе StarCalc) и наблюдаемых величин угловых расстояний.

   

2 июля 2018

3 июля 2018

   

8 июля 2018

9 июля 2018

   

11 июля 2018

13 июля 2018

Рис. 2. Фотографии Юпитера и его спутников (внизу) и их взаимные положения (вверху), рассчитанные в программе StarCalc, на те же моменты местного времени  2300. Изображения Юпитера и спутников вытянуты вследствие вращения небесной сферы (вызванной вращением Земли вокруг оси). Длительность снимков от 2 до 5 секунд.

Рис. 3. Вид окна программы Microsoft Paint при определении

углового расстояния спутника от Юпитера

1.4. Определение положения спутников в программе StarCalc

Четыре галилеевых спутника Юпитера имеют очень близкую яркость, поэтому различить их при наблюдениях друг от друга невозможно (см. табл. 1).

Табл. 1. Средняя яркость спутников на период наблюдений:

Ио

5.2 m

Европа

5.5 m

Ганимед

4.8 m

Каллисто

5.8 m

Для определения положения спутников мы пользовались программой StarCalc версии 5.73, которую написал российский любитель астрономии и программист из г.Воронежа А.Е.Завалишин.

В отдельном окне программы можно получить информацию о линейном угле, о позиционном угле и угловом расстоянии спутников от планеты. Эти данные для шести моментов времени наших наблюдений приведены в таблице2, ниже. Расчетные и полученные из наблюдений значения имеют хорошее совпадение. Методика расчета приведена в следующей главе.

 

Рис. 4. Вид окна программы StarCalc в масштабе 43600% с Юпитером и его спутниками.

Таблица2. Данные о Юпитере и его четырех галилеевых спутниках,

рассчитанные в программе StarCalc и полученные из наблюдений.

Дата/ Величина

Юпитер

Спутники Юпитера:

Ио

Европа

Ганимед

Каллисто

Расстояние до Земли l, астрономи-ческие единицы а.е.

[StarCalc]

Позици-онный угол , градусы

[Star Calc]

Угловое расстояние , секунды дуги

Позици-онный угол , градусы

[Star Calc]

Угловое расстояние , секунды дуги

Позици-онный угол , градусы

[Star Calc]

Угловое расстояние , секунды дуги

Позици-онный угол , градусы

[Star Calc]

Угловое расстояние , секунды дуги

расчет

[Star Calc]

наблю-дение

расчет

[Star Calc]

наблю-дение

расчет

[Star Calc]

наблю-дение

расчет

[Star Calc]

наблю-дение

2 июля

4.397

78

131.2

132

98

207.2

212

277

327.0

351

279

504.2

509

3 июля

4.404

97

126.4

133

285

71.6

-

272

148.7

155

278

584.1

577

8 июля

4.444

100

94.6

76

268

55.2

64

281

239.7

229

120

70.4

-

9 июля

4.453

279

121.6

106

98

205.8

194

278

330.1

314

103

274.6

264

11 июля

4.471

276

116.2

118

277

196.4

201

107

98.1

83

99

548.3

534

13 июля

4.490

268

36.6

91

96

148.1

165

97

290.7

298

97

519.1

496

Среднее

4.44 а.е.

 

Примечания:

1 а.е. = 149.6 млн. км

4,44 а.е. = 664.22 млн. км

Наблюдения проводились в 2300 по местному времени.

Прочерк означает отсутствие данных, из-за того, что спутник имел слишком малое угловое расстояние от Юпитера и потерялся в его блеске (смотри, например, фото за 13 июля на рис.2).

2. расчетная часть

2.1. Расчет периода обращения спутников Юпитера.

Пусть  это радиус орбиты спутника Юпитера, а  это позиционный угол спутника (рис.5). Тогда при наблюдениях с Земли спутник имеет линейное расстояние от Юпитера .
Из треугольника АВС следует, что радиус орбиты и линейное расстояние спутника связаны, как
(1).
Спутник движется по своей орбите с постоянной угловой скоростью . Поэтому угол меняется по линейному закону от времени
(2)
где  начальный позиционный угол в момент времени =0.
При наблюдениях с Земли линейному расстоянию (удалению) спутника от Юпитера соответствует угловое расстояние (угол) . Из треугольника ACE следует, что угол связан с линейным расстоянием спутника от Юпитера и с расстоянием от Земли до Юпитера как
(3)
Поскольку расстояние от Земли до Юпитера велико (на момент наших наблюдений около 664.22 млн. км), а радиус орбиты самого удаленного из четырех галилеевых спутников  Каллисто равен 1.88 млн. км, то угол очень мал. Для спутника Каллисто он не превышает = (1.88/664.22)= (0.0028)= 0.16, а для трех более близких галилеевых спутников еще меньше. Это мы учтем далее при выводе формулы.
Подставив в формулу (3) формулы (1) и (2) имеем
(4).
 
Рис. 5. К расчету периода обращения спутника.
Пусть мы наблюдаем спутник Юпитера в два момента времени =0 и = . Им соответствуют два значения углового расстояния спутника от планеты и , для которых, согласно (4), справедливо
,
и, следовательно
(5)
Так как величины и <<1, то
Следовательно, формулу (5) можно упростить до
(6)
Угловая скорость связана с периодом обращения спутника как . Заменив в формуле (6) имеем
Тогда, выражая искомый период , имеем
(7)
Расчеты периодов обращения галилеевых спутников Юпитера будем делать, в дальнейшем, по формуле (7).

2.2. Результаты расчетов и их обсуждение

По данным таблицы 2 мы рассчитали периоды обращения Ганимеда и Каллисто вокруг Юпитера.

Для Ганимеда использовали пары данных о его позиционном угле и угловом расстоянии 2-3 июля, 8-9 июля и 11-13 июля.

Для Каллисто использовали пары данных за 2-3 июля и 11-13 июля. Данными за 8-9 июля воспользоваться было нельзя, т.к. 8 июля Каллисто был расположен близко к Юпитеру и их изображения слились (рис.2). Поэтому данные об угловом расстоянии Каллисто за 8 июля отсутствовали.

Периоды обращения Ио и Европы рассчитаны не были, т.к. за интервал времени между наблюдениями (одни сутки) эти спутники смещались более чем на 45 по позиционному углу (а именно, на 360/1.77=203.4 и 360/3.55=101.4) и тогда формула (7) неприменима.

Для расчетов по формуле (7) необходимо привести значения позиционного угла к диапазону 0-45. Это легко сделать вычитанием из действительного значения угла величины в 90, 180 или 270. Результаты расчетов периодов обращения Ганимеда и Каллисто приведены в таблице 3.

Для наглядности покажем пример расчетов для Ганимеда по данным за 2-3 июля. Из таблицы 2 находим, что позиционный угол Ганимеда 2 июля равен 277. Тогда приведенный угол равен 277270=7. Интервал времени между наблюдениями (2 и 3 июня) равен 1 сутки. Подставляя теперь данные за 2 и 3 июня в формулу (7), и пользуясь тем, что в 1радиан=57.3, получим период обращения Ганимеда в сутках

Таблица3. Приведенные значения позиционных углов, наблюдаемые значения угловых расстояний и рассчитанные значения периодов

обращения Ганимеда и Каллисто.

Спутник

Ганимед

Каллисто

Дата

Приведен-ный позицион-ный угол, градусы

Угловое расстояние, секунды дуги

Рассчитан-ный период обращения, сутки

Приведен-ный позицион-ный угол, градусы

Угловое расстояние, секунды дуги

Рассчитан-ный период обращения, сутки

2 июля

7

351

6.31

9

509

17.65

3 июля

 

155

 

577

8 июля

11

229

6.51

30

9 июля

 

314

 

264

11 июля

17

83

6.25

9

534

18.89

13 июля

 

298

 

496

Среднее значение

6.36

 

18.27

Истинное значение

7.16

 

16.69

Рассчитанные значения периодов обращения Ганимеда (три значения) и Каллисто (два значения) соответственно усреднили и получили 6.36 и 18.27 суток. Полученные средние результаты периодов обращения находятся в достаточно хорошем соответствии с истинными значениями периодов в 7.16 и 16.69 суток. Относительные погрешности определения периодов обращения Ганимера и Каллисто составили соответственно

(7.166.36)100%/7.1611,2%

(18.2716.69)100%/16.699,5%

Это очень неплохо, учитывая, что мы использовали далеко не профессиональную астрономическую аппаратуру.

Выводы

1. Мы доказали на практике, что с помощью обычного недорогого цифрового ультра-зум фотоаппарата можно получить изображения всех четырех галилеевых спутников Юпитера.

2. Кроме того, мы установили, что при попиксельной обработке полученных снимков можно определить угловые расстояния спутников от Юпитера с точностью порядка 10%.

3. Это дает возможность с помощью выведенной нами формулы определить периоды спутников с точностью около 10%.

4. Полученный практический результат позволил подготовить лабораторную работу по определению периодов спутников Юпитера, которая проводится в рамках предмета «Астрономия» для учеников физико-математической школы Тюменской области.

5. Проанализировав советскую и современную учебную и методическую литературу по астрономии, мы с удивлением обнаружили, что в ней отсутствуют лабораторные работы по определению периода спутников планет. Это кажется досадным упущением, особенно в свете теперешнего развития любительской фотоаппаратуры. Мы надеемся, что наше исследование поможет исправить этот недостаток и сделает астрономию для многих нагляднее и ближе.

Список литературы

Уипл Ф.Л. Семья Солнца: Планеты и спутники Солнечной системы: Пер. с англ. Ю.И. Ефремова.  М.: Мир, 1984. стр. 169-264.

В.С. Уральская. Спутниковые системы планет. Журнал «Земля и Вселенная». № 2, 2002 г. стр. 3-15.

Зигель Ф.Ю. Астрономия в ее развитии. М.: Просвещение, 1988 г.

Спутники Юпитера. Википедия: http://ru.wikipedia.org.

И.Розивика. Танцы спутников Юпитера. // Звездочет: научно-популярный астрономический журнал. №8, 1998 г., стр. 26-29.

Томилин А.Н. Небо Земли. Очерки по истории астрономии.  Л.: «Детская литература», 1974. стр. 136-138.

Просмотров работы: 138