Определение периодов обращения галилеевых спутников Юпитера

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Мальцев М.И. 1

---

1ГАОУ ТО "ФМШ"

Тарасов  О.А. 1

---

1ГАОУ ТО "ФМШ"

Работа в формате PDF

459.3 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Изучение Вселенной, один из самых благородных

и смелых подвигов человеческого разума.

Р.З. Сагдеев.

К концу 2018 года в Солнечной системе известно почти 200 ее крупных членов  8 больших планет и 185 спутников. Процесс изучения Солнечной системы активно происходит и в наше время. В ближайшем будущем можно ожидать открытие новых спутников планет, а также других небесных тел за орбитой Плутона. Для того, чтобы открыть новые спутники планет нужны мощные телескопы. Эта задача, пока, нам не по силам.

В рамках данной работы мы поставили перед собой более скромную цель  доказать, что с помощью обычного цифрового фотоаппарата можно получить изображения галилеевых спутников Юпитера, а затем, по этим изображениям рассчитать период обращения этих спутников.

Такие методики наблюдения и расчетов были бы полезны в преподавании предмета «Астрономия» в школе, дисциплины «Астрофизика» в вузе, а также, интересны для отдельных любителей астрономии и астрономических клубов.

Задачи исследования:

1. Вывести формулу для расчета периода спутника планеты по ее угловым расстояниям и позиционным углом в разные моменты времени.

2. С помощью недорогого цифрового фотоаппарата с ультра-зум объективом получить изображения Юпитера с его спутниками текущим летом.

3. Обработать результаты вычислить периоды спутников по выведенной формуле, сравнить результаты с точными значениями, сделать выводы.

4. Подготовить лабораторную работу по определению периодов спутников Юпитера для учеников физико-математической школы Тюменской области.

5. Опубликовать данное исследование в российском журнале любителей астрономии «Звездочет».

Объект исследования – орбиты спутников Юпитера.

Предмет исследования – методика определения периодов спутников планет.

1. экспериментальная часть

1.1. Получение фотографий

Для получения изображений спутников Юпитера нужен фотоаппарат с фокусным расстоянием объектива более 300мм, так как при меньшем из-за мелкого масштаба кадра изображения Юпитера и спутников сольются друг с другом. Мы использовали фотоаппарат Olympus SP-500, который имел F=380мм. Чтобы избежать дрожания изображения, мы закрепили фотоаппарат на треножнике ECSA-3750, рис.1. Снимали с максимальным разрешением фотоаппарата в 6мегапикселей и минимальным сжатием изображения. Лучшие из полученных снимков за шесть дней наблюдений приведены на рис2.

1.2. Расчет поля зрения фотоаппарата и масштаба кадра

О
пределим угол поля зрения фотоаппарата в горизонтальной плоскости, , при фокусном расстоянии объектива F=380 мм. Указанное фокусное расстояние соответствует горизонтальному размеру кадра =36мм.

Из треугольника ABC имеем

, тогда

окончательно

=22.71=5.42.

Выразим теперь поле зрения фотоаппарата сначала в минутах дуги, а потом в секундах дуги. Это сделать просто, т.к. в одном градусе 60 минут дуги (т.е. 1=60'), а в одной минуте дуги 60 секунд дуги (т.е. 1'=60"). Тогда

=5. 42=5.4260'=325,2'=325,260"=19512".

Горизонтальные и вертикальные размеры кадра при разрешении 6 МПс были 2816 и 2112 пикселей, соответственно.

Тогда масштаб кадров был

19512" / 2816 пикселей = 6.93 " в одним пикселе.

1.3. Определение углового расстояния спутников по фотографиям в программе Microsoft Paint

Полученные снимки Юпитера и его спутников обрабатывали в программе Microsoft Paint. Выделяли на снимке такой прямоугольный участок изображения, чтобы одна из вершин прямоугольника попала в центр изображения спутника, а противоположная ей вершина  в центр изображения Юпитера, рис.3.

Инструмент «Выделение» позволяет определить ширину и высоту прямоугольника в пикселях, информация о которых появляется в нижнем поле окна программы. Линейное расстояние между спутником и планетой  это расстояние, равное диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора это расстояние легко рассчитать, как

К примеру, на рис.3 имеем =71пиксель, =14пикселей. Тогда =72.4 пикселя.

Рассчитав линейное расстояние между спутником и Юпитерам в пикселях, можно перейти к определению углового расстояния между ними. Так, для рис.2 мы получили =72.4пикселя. Значит, угловое расстояние равно =72.4пикселя6.93(секунддуги/пиксель)502секундыдуги.

Результаты расчета угловых расстояний спутников Юпитера по снимкам (рис.2) за шесть дней наблюдений приведены в таблице2. Видно достаточно хорошее совпадение расчетных (в программе StarCalc) и наблюдаемых величин угловых расстояний.

Рис. 2. Фотографии Юпитера и его спутников (внизу) и их взаимные положения (вверху), рассчитанные в программе StarCalc, на те же моменты местного времени  23⁰⁰. Изображения Юпитера и спутников вытянуты вследствие вращения небесной сферы (вызванной вращением Земли вокруг оси). Длительность снимков от 2 до 5 секунд.

Рис. 3. Вид окна программы Microsoft Paint при определении

углового расстояния спутника от Юпитера

1.4. Определение положения спутников в программе StarCalc

Четыре галилеевых спутника Юпитера имеют очень близкую яркость, поэтому различить их при наблюдениях друг от друга невозможно (см. табл. 1).

Табл. 1. Средняя яркость спутников на период наблюдений:

Для определения положения спутников мы пользовались программой StarCalc версии 5.73, которую написал российский любитель астрономии и программист из г.Воронежа А.Е.Завалишин.

В отдельном окне программы можно получить информацию о линейном угле, о позиционном угле и угловом расстоянии спутников от планеты. Эти данные для шести моментов времени наших наблюдений приведены в таблице2, ниже. Расчетные и полученные из наблюдений значения имеют хорошее совпадение. Методика расчета приведена в следующей главе.

Рис. 4. Вид окна программы StarCalc в масштабе 43600% с Юпитером и его спутниками.

Таблица2. Данные о Юпитере и его четырех галилеевых спутниках,

рассчитанные в программе StarCalc и полученные из наблюдений.

Примечания:

1 а.е. = 149.6 млн. км

4,44 а.е. = 664.22 млн. км

Наблюдения проводились в 23⁰⁰ по местному времени.

Прочерк означает отсутствие данных, из-за того, что спутник имел слишком малое угловое расстояние от Юпитера и потерялся в его блеске (смотри, например, фото за 13 июля на рис.2).

2. расчетная часть

2.1. Расчет периода обращения спутников Юпитера.

Пусть  это радиус орбиты спутника Юпитера, а  это позиционный угол спутника (рис.5). Тогда при наблюдениях с Земли спутник имеет линейное расстояние от Юпитера .

Из треугольника АВС следует, что радиус орбиты и линейное расстояние спутника связаны, как

(1).

Спутник движется по своей орбите с постоянной угловой скоростью . Поэтому угол меняется по линейному закону от времени

(2)

где  начальный позиционный угол в момент времени =0.

При наблюдениях с Земли линейному расстоянию (удалению) спутника от Юпитера соответствует угловое расстояние (угол) . Из треугольника ACE следует, что угол связан с линейным расстоянием спутника от Юпитера и с расстоянием от Земли до Юпитера как

(3)

Поскольку расстояние от Земли до Юпитера велико (на момент наших наблюдений около 664.22 млн. км), а радиус орбиты самого удаленного из четырех галилеевых спутников  Каллисто равен 1.88 млн. км, то угол очень мал. Для спутника Каллисто он не превышает = (1.88/664.22)= (0.0028)= 0.16, а для трех более близких галилеевых спутников еще меньше. Это мы учтем далее при выводе формулы.

Подставив в формулу (3) формулы (1) и (2) имеем

(4).

Рис. 5. К расчету периода обращения спутника.

Пусть мы наблюдаем спутник Юпитера в два момента времени =0 и = . Им соответствуют два значения углового расстояния спутника от планеты и , для которых, согласно (4), справедливо

,

и, следовательно

(5)

Так как величины и <<1, то

Следовательно, формулу (5) можно упростить до

(6)

Угловая скорость связана с периодом обращения спутника как . Заменив в формуле (6) имеем

Тогда, выражая искомый период , имеем

(7)

Расчеты периодов обращения галилеевых спутников Юпитера будем делать, в дальнейшем, по формуле (7).

2.2. Результаты расчетов и их обсуждение

По данным таблицы 2 мы рассчитали периоды обращения Ганимеда и Каллисто вокруг Юпитера.

Для Ганимеда использовали пары данных о его позиционном угле и угловом расстоянии 2-3 июля, 8-9 июля и 11-13 июля.

Для Каллисто использовали пары данных за 2-3 июля и 11-13 июля. Данными за 8-9 июля воспользоваться было нельзя, т.к. 8 июля Каллисто был расположен близко к Юпитеру и их изображения слились (рис.2). Поэтому данные об угловом расстоянии Каллисто за 8 июля отсутствовали.

Периоды обращения Ио и Европы рассчитаны не были, т.к. за интервал времени между наблюдениями (одни сутки) эти спутники смещались более чем на 45 по позиционному углу (а именно, на 360/1.77=203.4 и 360/3.55=101.4) и тогда формула (7) неприменима.

Для расчетов по формуле (7) необходимо привести значения позиционного угла к диапазону 0-45. Это легко сделать вычитанием из действительного значения угла величины в 90, 180 или 270. Результаты расчетов периодов обращения Ганимеда и Каллисто приведены в таблице 3.

Для наглядности покажем пример расчетов для Ганимеда по данным за 2-3 июля. Из таблицы 2 находим, что позиционный угол Ганимеда 2 июля равен 277. Тогда приведенный угол равен 277270=7. Интервал времени между наблюдениями (2 и 3 июня) равен 1 сутки. Подставляя теперь данные за 2 и 3 июня в формулу (7), и пользуясь тем, что в 1радиан=57.3, получим период обращения Ганимеда в сутках

Таблица3. Приведенные значения позиционных углов, наблюдаемые значения угловых расстояний и рассчитанные значения периодов

обращения Ганимеда и Каллисто.

Рассчитанные значения периодов обращения Ганимеда (три значения) и Каллисто (два значения) соответственно усреднили и получили 6.36 и 18.27 суток. Полученные средние результаты периодов обращения находятся в достаточно хорошем соответствии с истинными значениями периодов в 7.16 и 16.69 суток. Относительные погрешности определения периодов обращения Ганимера и Каллисто составили соответственно

(7.166.36)100%/7.1611,2%

(18.2716.69)100%/16.699,5%

Это очень неплохо, учитывая, что мы использовали далеко не профессиональную астрономическую аппаратуру.

Выводы

1. Мы доказали на практике, что с помощью обычного недорогого цифрового ультра-зум фотоаппарата можно получить изображения всех четырех галилеевых спутников Юпитера.

2. Кроме того, мы установили, что при попиксельной обработке полученных снимков можно определить угловые расстояния спутников от Юпитера с точностью порядка 10%.

3. Это дает возможность с помощью выведенной нами формулы определить периоды спутников с точностью около 10%.

4. Полученный практический результат позволил подготовить лабораторную работу по определению периодов спутников Юпитера, которая проводится в рамках предмета «Астрономия» для учеников физико-математической школы Тюменской области.

5. Проанализировав советскую и современную учебную и методическую литературу по астрономии, мы с удивлением обнаружили, что в ней отсутствуют лабораторные работы по определению периода спутников планет. Это кажется досадным упущением, особенно в свете теперешнего развития любительской фотоаппаратуры. Мы надеемся, что наше исследование поможет исправить этот недостаток и сделает астрономию для многих нагляднее и ближе.

Список литературы

Уипл Ф.Л. Семья Солнца: Планеты и спутники Солнечной системы: Пер. с англ. Ю.И. Ефремова.  М.: Мир, 1984. стр. 169-264.

В.С. Уральская. Спутниковые системы планет. Журнал «Земля и Вселенная». № 2, 2002 г. стр. 3-15.

Зигель Ф.Ю. Астрономия в ее развитии. М.: Просвещение, 1988 г.

Спутники Юпитера. Википедия: http://ru.wikipedia.org.

И.Розивика. Танцы спутников Юпитера. // Звездочет: научно-популярный астрономический журнал. №8, 1998 г., стр. 26-29.

Томилин А.Н. Небо Земли. Очерки по истории астрономии.  Л.: «Детская литература», 1974. стр. 136-138.